Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Задачи

1.Рассмотрите нейтральное векторное поле vμ(x). Какие условия следует наложить на сумму Õ μν(k) вкладов одночастично не-

приводимых диаграмм с двумя внешними линиями векторного поля, чтобы поле было правильно перенормировано и описывало частицу с перенормированной массой m? Как следует для этого разделить в лагранжиане слагаемые, отвечающие свободному полю и взаимодействию?

2.Выведите обобщенное тождество Уорда, которому подчиняется электромагнитная вершинная функция заряженного скалярного поля.

3.Какой вид имеет наиболее общая форма матричного элемента áp2s2|Jμ(x)|p1s2ñ электромагнитного тока Jμ(x) между двумя од-

ночастичными состояниями спина 1/2, одинаковой четности и

разных масс m1 è m2? Как изменится результат, если четности разные? (Предполагается сохранение четности.)

4.Выведите спектральное представление Челлена−Лемана для

среднего по вакууму áT{Jμ(x) Jν(y)}ñ0, ãäå Jμ(x) − комплексный

сохраняющийся ток.

5.Выведите спектральное представление Челлена−Лемана для

среднего по вакууму áT{yn(x)`ym(y)}ñ0, ãäå y(x) − дираковское

ïîëå.

6.Не делая никаких предположений об асимптотическом поведении амплитуды рассеяния или сечения, покажите, что амплитуда рассеяния фотона на угол нуль не может удовлетворять дисперсионному соотношению без вычитаний.

7.Выведите спектральное представление Челлена−Лемана для

комплексного скалярного поля, используя методы теории дисперсионных соотношений.

8.С помощью теории дисперсионных соотношений и результатов раздела 8.7 вычислите в порядке е4 амплитуду рассеяния вперед фотонов на электронах в системе покоя электрона.

Список литературы

1.Furry, W.H., Phys. Rev., 51, 125 (1937).

2.Yukawa, H., Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, 17, 48 (1935).

3.Lehmann, H., Symanzik, K., and Zimmerman, W., Nuovo Cimento, 1, 205 (1955).

4.Takahashi, Y., Nuovo Ñimento, Ser. 10, 6, 370 (1957).

5.Ward, J.C., Phys. Rev., 78, 182 (1950).

6.Schwinger, J., Phys. Rev. Lett., 3, 296 (1950).

7.Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc. (London), A117, 610 (1928).

8.Rosenbluth, M.N., Phys. Rev., 79, 615 (1950).

9.Kä llen, G., Helv. Phys. Acta, 25, 417 (1952); Quantum Electrodynamics (Springer-Verlag, Berlin, 1972); Lehmann, H., Nuovo Cimento, 11, 342 (1954).

10.Howard, J.C. and Jouvet, B., Nuovo Cimento, 18, 466 (1960); Vaughan, M.J., Aaron, R., and Amado, R.D., Phys. Rev., 125, 1258 (1961); Weinberg, S., in: Proceedings of the 1962 HighEnergy Conference at CERN (CERN, Geneva, 1962), p. 683.

11.Stratonovich, R.I., Sov. Phys. Dokl., 2, 416 (1957); Hubbard, J.,

Phys. Rev. Lett., 3, 77 (1959).

12.Weinberg, S., Phys. Rev., 137, B672 (1965).

13.Kramers, H.A., Atti Congr. Intern. Fisici, Como (Nicolo Zanichelli, Bologna, 1927); reprinted in: Kramers, H.A., Collected Scientific Papers (North-Holland, Amsterdam, 1956); Kronig, R., Ned. Tyd. Nat. Kunde, 9, 402 (1942); Physica, 12, 543 (1946); Toll, J.S., The Dispersion Relation for Light and its Application to Problems Involving Electron Pairs (Princeton University Ph. D.

Thesis, 1952). Исторические обзоры см. в работах: Jackson, J.D., in Dispersion Relations, ed. by G.R.Screaton (Oliver and Boyd, Edinburgh, 1961); Goldberger, M.L., in Dispersion Relations and Elementary Particles, ed. by C. de Witt and R. Omnes (Hermann, Paris, 1960).

14.Gell-Mann, M., Goldberger, M.L., and Thirring, W., Phys. Rev., 95, 1612 (1954). Непертурбативное происхождение этого результата было показано в работе: Goldberger, M.L., Phys. Rev., 97, 508 (1955).

15.Goldberger, M.L., Phys. Rev., 99, 979 (1955).

16.Pomeranchuk, I.Ya., J. Expt. Theor. Phys. (USSR), 34, 725 (1958). Обобщение результатов этой работы см. в статье: Weinberg, S., Phys. Rev., 124, 2049 (1961).

17.См., например, книгу: Collins, P.D.B., An Introduction to Regge Theory and High Energy Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 1977) (есть рус. пер.: Дж. Коллинз. Введение в теорию полюсов Редже. М.: Мир, 1980). Оригинальные работы: Regge, T., Nuovo Cimento, 14, 951 (1959); 18, 947 (1960).

18.График зависимости спина от квадрата массы называется диаграммой Чу–Фраучи. См. работу: Chew, G.F. and Frautschi, S.C.,

Phys. Rev. Lett., 8, 41 (1962).

11

Однопетлевые радиационные поправки

âквантовой электродинамике

Âэтой главе мы займемся некоторыми, ставшими уже классическими, однопетлевыми вычислениями в теории взаимодействия заряженных лептонов — массивных частиц спина 1/2 —

ñэлектромагнитным полем. Известны три сорта лептонов, отли- чающихся своим «ароматом»: электрон, мюон и самый тяжелый сравнительно недавно открытый тауон. Для определенности будем все заряженные частицы в наших расчетах называть электронами, хотя большая часть вычислений в равной степени применима к мюонам и тауонам.

После ряда общих соображений в разделе 11.1, мы перейдем к вычислению поляризации вакуума в разделе 11.2, аномального магнитного момента электрона в разделе 11.3 и собственной энергии электрона в разделе 11.4. Попутно мы введем ряд математиче- ских приемов, оказывающихся полезными при таких вычислениях, в том числе фейнмановскую параметризацию, виковский пово-

рот, а также размерную регуляризацию ′т Хофта–Вельтмана и бо-

лее ранний метод регуляризации Паули–Вилларса. Хотя при расчетах и появятся бесконечности, мы увидим, что окончательные результаты конечны, если их выразить через перенормированные массу и заряд. В следующей главе мы распространим полученные здесь результаты, касающиеся перенормировки, на случай общих теорий в произвольных порядках теории возмущений.

11.1. Контрчлены

Возьмем лагранжиан электронов и фотонов в виде *:

B, ψB è ψB — голые (т. е. неперенормированные) поля фотона

èэлектрона, а −å è mB — голые заряд и масса электрона. Согласно

предыдущей главе, можно ввести перенормированные поля, массу

èзаряд соотношениямиμ

где константы Z2, Z3 è δm подбираются так, чтобы пропагаторы

перенормированных полей имели полюсы в тех же точках и с теми же вычетами, что и пропагаторы свободных полей в отсутствие взаимодействий. Тогда лагранжиан можно записать через перенормированные величины в виде

* В этой главе нам не потребуется переходить от гейзенберговских операторов к операторам в представлении взаимодействия, поэтому мы вернемся к общепринятым обозначениям, когда заглавная буква А и строчная буква ψ

используются для обозначения соответственно полей фотона и заряженной частицы.

640 Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

à L2 есть сумма «контрчленов»:

Оказывается, что все слагаемые в L2 − второго и более высоких

порядков по е, и их как раз хватает для того, чтобы сократить ультрафиолетовые расходимости, возникающие от петлевых диаграмм.

11.2 Поляризация вакуума

Начнем наши вычисления петлевых радиационных поправок с так называемого эффекта поляризации вакуума, т. е. с поправок к пропагатору, отвечающему внутренней фотонной линии. Поляризация вакуума приводит к измеряемым сдвигам энергетических уровней атома водорода и дает важный вклад в значения энергии связи мюонов, находящихся на орбитах вокруг тяжелых ядер. Кроме того, как мы увидим в т. II, вычисление поляризации вакуума является ключевым для определения поведения электродинамики и других калибровочных теорий при высоких энергиях.

Как и в разделе 10.5, определим i(2π)4∏*ρσ(q) как сумму всех

связных диаграмм с двумя внешними фотонными линиями, несущими индексы поляризаций μ è ν и 4-импульс q. В это выражение

не входят фотонные пропагаторы от двух внешних фотонных линий, а звездочка означает, что исключаются диаграммы, которые становятся несвязными после разрезания некоторой внутренней фотонной линии. Точный фотонный пропагатор Δ′μν(q) дается форму-

ëîé (10.5.3):

ãäå μν(q) — пропагатор фотона без радиационных поправок. Наша задача — вычислить главные вклады в ∏*ρσ(q).

В низшем порядке имеется однопетлевой вклад в ∏*, îòâå-

чающий диаграмме рис. 11.1: