Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1919

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

646

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

Воспользуемся хорошо известными формулами (в более общем виде они даны в Приложении к этой главе):

 

X∞

 

d−1

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Y

 

κ

 

 

 

 

 

κ

 

+ ν

 

dκ =

 

(ν

 

 

) 2

 

Γ(d 2) Γ(2 − d 2) , (11.2.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X∞

 

d+1

 

 

 

 

 

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

−2

 

 

 

 

 

κ

 

κ

2

+ ν

2

dκ =

1

(ν

2

) 2

Γ(1

+ d / 2) Γ(1 − d 2) , (11.2.12)

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

ρσ

 

 

 

 

2e2Ω

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Π1LOOP

(q) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2π)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ(1 + d 2)Γ(1 − d 2)

 

× Y dxM(1

− 2 / d)ηρσ dm2 + q2x(1 − x)i 2

 

 

Y

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

+ d2qρqσx(1 − x) − q2ηρσx(1 − x) + m2ηρσ idm2 + q2x(1 − x)i 2 −2

O

× Γ(d 2)Γ(2 − d 2)P .

Q

Два слагаемых в подынтегральном выражении можно объединить, если учесть соотношение

(1 − 2d)Γ(1 + d2)Γ(1 − d2) = −Γ(d / 2)Γ(2 − d2) .

В результате

Π*ρσ

(q) =

4e2Ωd

Γ(d 2)Γ(2 − d

2)(qρqσ

− q2ηρσ )

 

 

 

1LOOP

 

(2π)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1

dx x(1 − x) (m

2

+ q

2

x(1

− x))

d 2

−2

(11.2.13)

 

 

× Y

 

 

 

 

.

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очень важно то, что найденный вклад в ∏ρσ удовлетворяет соотно-

шению

11.2. Поляризация вакуума

647

qρΠ1*ρσLOOP (q) = 0 ,

(11.2.14)

полученному в разделе 10.5 на основании сохранения и нейтральности электрического тока. Именно ради достижения этого результата мы и применили схему размерной регуляризации. Причина, по которой размерная регуляризация приводит к такому результату, заключается в независимости закона сохранения тока от размерности пространства−времени.

Гамма-функция Γ(2 − d/2) в (11.2.13) неограниченно растет при d → 4. К счастью, как мы видели в разделе 11.1, существует другое слагаемое, возникающее от слагаемого − 14 (Z3 − 1)FμνFμν в лагранжиане взаимодействия, которое необходимо добавить к ∏ρσ(q).

Структура этого слагаемого аналогична (11.2.13):

Π*ρσ (q) = −(Z3 − 1)(q2ηρσ − qρqσ ) ,

L2

так что в порядке е2 суммарная величина ∏* имеет вид

Π*ρσ (q) = (q2 ηρσ − qρqσ )π(q2 ) ,

ãäå

π(q2 ) = −

4e2Ω

d

Γ(d 2)Γ(2

− d 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2π)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1

dx x(1 − x) (m

2

+ q

2

x(1

− x))

d 2

−2

− (Z3

− 1) .

× Y

 

 

 

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.2.15)

(11.2.16)

(11.2.17)

Как мы видели в разделе 10.5, определение перенормированного электромагнитного поля требует, чтобы π(0) = 0 (äëÿ òîãî,

чтобы вычет в полюсе точного фотонного пропагатора при q2 = 0 был бы таким же, как и для голого пропагатора, если не считать слагаемых, зависящих от калибровки). Поэтому в порядке е2

 

 

e2Ω

 

d

−2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Z3

= 1 −

4

d

Γ(d / 2)Γ(2

− d / 2)(m2 ) 2

z0 x(1

− x) dx,

(11.2.18)

(2π)

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так что в этом же порядке

648

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

 

p(q2 ) = -

4e2Wd

G(d 2)G(2 - d 2) z01 x(1 - x) dx

 

 

4

 

 

 

(2p)

 

 

(11.2.19)

 

´ Ldm2

+ q2x(1 - x)id 2−2 - (m2 )d 2−2 O.

 

 

M

 

P

 

 

 

N

 

Q

 

Теперь можно снять регуляризацию, разрешив d принять его физическое значение d = 4. Выше отмечено, что однопетлевой вклад содержит бесконечность, возникающую из-за поведения гаммафункции в этом пределе:

G(2 - d / 2) ®

 

1

- g ,

 

 

 

- d 2)

(2

 

ãäå g = 0,5772157 — постоянная Эйлера. Бесконечная часть Z3 − 1 получается, если заменить G(2 − d/2) íà 1/(2 − d/2) è âî âñåõ îñ-

тальных местах положить d = 4:

(Z

 

- 1)

∞ = -

4e2

× 2p2

1

=

e2

1

.

(11.2.20)

 

3

 

 

6(2p)4

 

2 - d 2

 

6p2

 

d - 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В т. II мы увидим, что этот результат можно использовать для нахождения главного члена в уравнении ренормгруппы для заряда электрона.

Очевидно, что полюсы при d = 4 в p(q2) сокращаются, так как в этом случае выражения [m2 + q2x(1-x)]d/2–2 è (m2)d/2–2 имеют одинаковый предел, равный единице. По этой же причине слагаемое -g â G(2-d/2) сокращается в полном выражении для p(q2), хотя оно и вносит конечный вклад в Z3 - 1. Есть и другие конечные вклады в Z3 - 1, возникающие от произведения полюса в G(2-d/2) и линейных слагаемых в разложении WdG(d/2) в окрестности d = 4, но и они сокращаются в полном p(q2). В действительности, проводя размерную регуляризацию, можно было бы заменить (2p)–4 íà (2p)–d, à Tr 1 = 4 —

на размерность 2d/2 гамма-матриц в пространстве-времени с произвольной четной размерностью d. Однако все это дало бы вклад только в конечную часть Z3 - 1, íî íå â p(q2). Далее, нельзя считать

å2 независящим от d, поскольку из формулы (11.2.13) вытекает, что квадрат заряда имеет зависящую от d размерность [масса]4−d. Если положить e2 µ m4−d, ãäå m — некая величина размерности

11.2. Поляризация вакуума

649

массы, то в Z3 - 1 появятся дополнительные конечные слагаемые, возникающие от произведения полюса в G(2 - d/2) и слагаемого (4- d) ln m в разложении m4−d по степеням (4 - d). Однако и они сокращаются с аналогичными слагаемыми в однопетлевом вкладе в p(q2).

Единственные слагаемые, реально дающие вклад в p(q2) в пределе d ® 4, возникают от произведения полюса в G(2-d/2) и линейных слагаемых в разложении [m2 + q2x(1-x)]d/2–2 è (m2)d/2–2 по степеням d - 4:

 

 

 

d 2−2

 

 

−

 

 

 

 

 

F

 

q2x(1

- x)I

dm2 + q2x(1 - x)i

 

 

 

-

(m2 )d 2

 

2

® bd 2

- 2g lnG

1 +

 

 

 

J .

 

 

 

 

 

m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.2.21)

В результате приходим к выражению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

e2

X1

 

 

 

F

 

q2x(1 - x)I

 

 

 

 

p(q

 

) =

 

 

 

Y

x(1 - x) lnG1

+

 

 

 

J dx .

 

(11.2.22)

 

2p

2

 

 

m

2

 

 

 

 

 

 

Z0

 

 

 

H

 

 

 

K

 

 

 

 

Физический смысл поляризации вакуума раскрывается, если рассмотреть влияние этого эффекта на рассеяние двух заряженных частиц спина 1/2. Фейнмановские диаграммы на рис. 11.3 дают следующие вклады в матричный элемент рассеяния:

Sa (1,2 ® 1¢,2¢) = (2p)−12/2 d4 (p1′ + p2′ - p1 - p2 ) e1(2p)4 u1′ g μ u1

L

−4 1

O

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´ M-i(2p)

 

 

2

P

×

e1(2p)

u2′ g μ u2

,

N

 

q

 

Q

 

 

 

 

 

 

Sb (1,2 ® 1¢,2¢) = (2p)−12/2 d4 (p1′ + p2′ - p1 - p2 ) e2(2p)4 u1′ g μ u1

L

−4 1

O2

 

4

2

 

2

 

 

4

 

 

ν

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´ M-i(2p)

 

 

2

P

×

 

i(2p) (q

 

hμν - qμqν )p(q

 

)

e2(2p)

u2′ g

 

u2

,

N

 

q

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå å1 è å2 — заряды рассеивающихся частиц, p(q2) вычисляется по

формуле (11.2.22), причем в качестве е следует взять заряд частицы, которой отвечают линии, образующие петлю на рис. 11.3, qμ — передаваемый импульс, q º p1 − p1′ = p2′ − p2. С учетом закона сохранения qμ u1′ g μ u1 = 0 обе диаграммы совместно приводят к выраже-

нию для элемента S-матрицы:

Смотрите также файлы