Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1918

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

11.3. Аномальные магнитные моменты

655

дит к сдвигу энергетического уровня на величину mμ3me−2 =(210)2mμ.

Однако в этом случае радиус мюонной орбиты ненамного больше комптоновской длины волны электрона, так что приближенный результат (11.2.39) дает лишь порядок величины сдвига энергии за счет поляризации вакуума.

* * *

Имея в виду сравнение с последующими вычислениями, заметим, что если обрезать интеграл (11.2.7) на κ = Λ, то вместо (11.2.20) мы

придем к интегралу вида

 

 

 

 

e2

X

Λ

d−5

 

e2 μd−4 − Λd−4

(Z

− 1)

∞

= −

 

 

Y

κ

 

dκ =

 

 

.

 

π2

 

 

π2

3

 

 

6

Z

 

 

 

6

d − 4

 

 

 

 

 

μ

 

 

 

 

ãäå μ − эффективное инфракрасное обрезание порядка массы заря-

женной частицы в петле на рис. 11.1. (Простейший способ определения постоянного множителя в этом выражении состоит в требовании, чтобы его предел при d < 3 и Λ → ∞ совпадал с (11.2.20).) Введя такое обрезание, можно перейти к пределу d → 4, получая при

ýòîì

(Z3 − 1)∞ = −

e2

lnaΛ μf .

(11.2.43)

6π2

 

 

 

11.3Аномальные магнитные моменты

èзарядовые радиусы

Âкачестве следующего примера вычислим изменение магнитного момента и зарядового радиуса электрона или мюона за счет радиационных поправок низшего порядка. Однопетлевые диаграммы и диаграмма перенормировки фотон-лептонной вершины показаны на рис. 11.4. Как обсуждалось в разделе 10.3, те из этих диаграмм, которые содержат вставки во внешние входящие или выходящие лептонные линии, обращаются в нуль, поскольку лептон находится на массовой поверхности. Диаграмма, содержащая вставку во внешнюю фотонную линию, описывает обсуждавшийся

656

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

в предыдущем разделе эффект поляризации вакуума. Таким образом, надлежит вычислить единственную однопетлевую диаграмму (последнюю на рис. 11.4):

μ

X

 

4

 

 

ρ

 

4

 

L

-i

 

 

 

 

 

G1LOOP

(p¢, p) = Y

d

 

k

eg

 

(2p)

 

 

M

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

N(2p)4

L

-i

 

-i(p - k/ ) + m O

 

 

 

 

 

´ M

 

/

P

 

eg

 

 

 

 

N(2p)4

 

(p - k)2 + m2 - ie Q

 

 

 

 

-i(p/ ¢ - k/ ) + m

O

 

g

μ

 

 

P

 

 

(p¢ - k)2 + m2 - ie Q

 

 

 

 

 

 

ρ (2p)4

 

L

-i

1

O

(11.3.1)

 

 

M

P ,

 

 

 

 

 

 

N(2p)4 k2 - ie Q

 

ãäå ð′ и р — 4-импульсы конечного и начального лептонов, соответ-

ственно. (Вклад от вершины, связывающей внешнюю фотонную линию с внутренними электронными линиями, берется равным gμ, т. к. множитель е(2p)4 был включен в определение Gμ.)

Выписанный интеграл очевидно содержит ультрафиолетовую расходимость типа òd4k/(k2)2. В отличие от поляризации вакуума,

здесь не нужно прибегать к специальным процедурам типа размерной регуляризации, чтобы сохранить требуемую калибровоч-

à

á

â

ã

Рис. 11.4. Однопетлевые диаграммы для фотон-лептонной вершинной функции Γμ. Волнистые линии изображают фотоны, остальные линии —

электроны или мюоны. Диаграммы а и б сокращаются вкладом контрчленов перенормировки лептонного поля, диаграмма в происходит от поляризации вакуума, вычисленного в разделе 11.2, вклад диаграммы д вычисляется в разделе 11.3

11.3. Аномальные магнитные моменты

657

ной инвариантностью структуру, поскольку фотон − нейтральная

частица. Поэтому интеграл можно сделать конечным подходящей модификацией фотонного пропагатора (например, путем включе- ния множителя M2/(k2 + M2) с большой регуляри-зующей массой М), не вводя для сохранения калибровочной инвариантности никаких других изменений. Более того, мы увидим, что аномальный магнитный момент и зарядовые радиусы можно вычислить, вообще не учитывая ультрафиолетовые расходимости. В последующем изложении оставим все интегралы для вершинной функции в их расходящейся форме, понимая при этом, что при необходимости любой расходящийся интеграл можно выразить через регуляризующую массу М.

Начнем с объединения знаменателей, используя описанную в Приложении к этой главе расширенную версию формулы Фейнмана:

1

 

1

x

 

−3 .

 

= 2z

 

dxz

dy

Ay + B(x − y) + C(1

− x)

(11.3.2)

ABC

 

0

0

 

 

 

 

 

Применяя ее к знаменателям в формуле (11.3.1), находим:

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(p′ − k)2 + m2 − iε

 

(p − k)2 + m2 − iε

 

k2 − iε

 

 

 

 

 

= 2X1 dx

Xx dy

 

(p′ − k)2 + m2 − iε

h

y +

(p

− k)2

+ m2 − iε (x

− y)

 

Y

Y

 

 

c

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

h

 

 

Z0

Z0

 

 

 

 

 

 

 

−3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ck2 − iεh(1 − x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1

Xx

dy

 

 

 

′

y − p(x − y)f

2

 

 

2

x

2

+ q

2

y(x − y) − iε

 

−3

 

 

 

 

 

 

= 2Y dx Y

 

ak − p

 

+ m

 

 

 

,

Z0

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.3.3)

ãäå q = p − p′ — переданный фотону импульс. После сдвига пере-

менной интегрирования

k → k + p′y + p(x − y)

интеграл (11.3.1) принимает вид

658 Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

μ

 

2ie2

X1

Xx

X

d4k

Γ1LOOP

(p′, p) =

 

Y dx

Y dy

Y

 

 

 

(2π)4

 

k2 + m2x2 + q2y(x − y) − iε

 

 

 

Z

Z

Y

3

 

 

 

0

0

Z

 

 

× γ

ρ

 

−ibp/ ′(1

− y)

/

− p/ (x − y)g

+ m

 

γ

μ

 

 

 

 

 

− k

 

 

×

−

ibp/ (1

−

 

+

 

− /

−

p/

′

yg

+

 

γ

 

 

 

(11.3.4)

 

 

 

 

x

 

y)

k

 

 

 

m

 

ρ .

 

Следующий шаг — виковский поворот. Как объяснено в предыдущем разделе, добавка −iε в знаменателе диктует необходимость

поворота контура интегрирования по k0 в сторону мнимой оси против часовой стрелки, так что интеграл по k0 îò −∞ äî +∞ заменяется интегралом по мнимым значениям от −i∞ äî +i∞, или, эквивалентно, по действительным значениям величины k4 ≡ −ik0 îò −∞ äî +∞.

Воспользуемся также вращательной симметрией знаменателя в (11.3.4), что позволяет отбросить в числителе слагаемые нечетной степени по k, заменить kλkσ íà ηλσk2/4 и заменить элемент объема d4k = idk1dk2dk3dk4 íà 2iπ2κ3dκ, ãäå κ — евклидова длина 4-векто-

ра k. После всех этих действий формула (11.3.4) принимает вид

μ

 

 

 

 

−4π2e2 X1

Xx

 

 

X∞

 

3

 

 

 

2

 

ρ

 

σ

 

μ

 

 

 

Γ1LOOP

(p′, p)

=

 

 

 

 

Y dx

Y

dy Y

κ

 

 

dκ

{

−κ

 

γ

 

γ

 

γ

 

γ σ γ ρ / 4

(2π)

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

Z0

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ γ ρ

 

−ibp/ ′(1 − y) − p/ (x − y) + mg

 

γ μ

 

−ibp/ (1 − x + y) − p/ ′yg + m

 

γ ρ }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

κ2 + m2x2 + q2y(x − y)

 

−3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.3.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нас интересует только матричный элемент`u′Γμu вершинной функ-

ции между дираковскими спинорами, удовлетворяющими соотношениям

u′[ip/ ′ + m] = 0 , [ip/ + m]u = 0 .

Поэтому можно упростить выражение (11.3.5), переместив с помощью соотношений антикоммутации дираковских матриц все множители p/ ′ налево и все множители p/ направо, и заменив их после

этого на im. После прямого, но утомительного вычисления можно привести выражение (11.3.5) к виду

Смотрите также файлы