Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1917

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

650

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

à

á

Рис. 11.3. Две диаграммы рассеяния заряженных частиц. Линии со стрелками отвечают заряженным частицам, волнистые линии — фотонам. Диаграмма б является поправкой низшего порядка, учитывающей эффект поляризации вакуума, к древесной диаграмме а

S

 

(1,2 ® 1¢,2¢) =

 

 

−ie1e2

[1

+ p(q2 )]d4 (p

+ p

- p

- p )

 

 

 

4p2q2

 

 

a+b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1¢

 

2¢

 

1

 

2

(11.2.23)

 

 

´

 

 

 

 

g m u

 

×

 

 

 

g

 

u

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

u

2¢

m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1¢

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В нерелятивистском пределе

 

1g 0 u1 g - i ds1¢s1

, à

 

1γ i u1 g 0

(анало-

u

u

гично для частицы 2). Кроме того, в этом пределе можно пренебречь

q0 по сравнению с |q|. Тогда формула (11.2.23) принимает вид

 

S

(1,2 ® 1¢,2¢) =

−ie1e2

[1

+ p(q2 )]d4 (p

 

+ p

- p

- p )d

s¢s1

d

.

 

 

a+b

 

 

4p2q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1¢

 

2¢

 

1

 

 

2

 

1

s¢2s2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.2.24)

Это выражение можно сравнить с борновским приближением для матричного элемента рассеяния на локальном, не зависящем от спина центральном потенциале V(r):

 

′

′

) = −2πiδ(E1¢ + E2¢

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

′

) . (11.2.25)

SÁîðí (12, → 1 ,2

 

− E1 − E2 )TÁîðí (1,2 → 1 ,2

 

T

(1,2

® 1¢,2¢) = d

1 1

d

2

 

2 z

d3x

z

d3x

Vb| x

 

- x

 

|g

Áîðí

 

 

 

s¢s

 

s¢ s

 

1

 

2

 

1

 

2

 

 

 

(11.2.26)

´ (2p)-12/2 e-ip1′ ×x1 e-ip2' ×x2 eip1 ×x1 eip2 ×x2 .

Полагая x1 = x2 + r, получаем

S

=

−i

d4 (p

+ p

- p

- p

)d

s¢s

d

s¢ s

 

z

d3r V(r)e-iq×r

 

 

Áîðí

 

4p2

1¢

2¢

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

2

2

 

. (11.2.27)

11.2. Поляризация вакуума

651

Сравнение этой формулы с формулой (11.2.23) показывает, что в нерелятивистском пределе диаграммы рис. 11.3 приводят к такому же матричному элементу рассеяния, что и потенциал V(r), такой, что

z d3r V(r)e-iq×r = e1e2 1 + p(q2 ) q2

или, обращая фурье-преобразование,

V(r) = e e

X

3

 

iq×r L1

+ p(q2 ) O

 

 

Y d

 

q e

 

 

 

 

 

.

 

 

M

 

2

P

(11.2.28)

1 2 Z

 

 

 

 

 

 

 

 

N

q

 

Q

 

 

В первом порядке по радиационным поправкам * выражение (11.2.28) определяет ту же потенциальную энергию, что и энергия электростатического взаимодействия двух пространственных распределений зарядов e1h(x) è e2h(y) на расстоянии r:

X

3

X

3

 

η(x)η(y)

 

 

V(| r| ) = e1e2 Y

d x

Y d

 

y

 

,

(11.2.29)

 

4p| x - y + r|

Z

 

Z

 

 

 

 

ãäå

 

 

 

 

 

 

 

 

h(r) = d3 (r) +

1

 

 

d3q p(q2 ) eiq×r .

 

(11.2.30)

 

 

 

 

2(2p)3 z

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что

z d3r h(r) = 1 + 21

p(0) = 1,

(11.2.31)

так что полные заряды частиц 1 и 2, определяемые по (кулоновской) асимптотике потенциала V(r) на больших расстояниях, — это те же константы е1 è å2, которые определяют взаимодействия перенормированного электрического поля.

Ïðè |r| ¹ 0 интеграл (11.2.30) можно вычислить с помощью кон-

турного интегрирования:

* Т. е. по параметру е2. — Ïðèì. ðåä.

652

 

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

 

e2

 

X1

L

 

 

mr

 

O

F

-mr

 

I

h(r) = -

 

 

 

 

Y

x(1 - x)dxM1

+

 

 

 

P expG

 

 

 

J .

8p

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

Z0

N

 

 

x(1 - x) Q

H

x(1 - x) K

Это выражение везде отрицательно. Однако мы видели, что интеграл от h(r) по всем r равен +1. Поэтому функция h(r) должна содержать слагаемое (1+L)d3(r), которое сингулярно при r = 0, а L

выбрано так, чтобы удовлетворить соотношению (11.2.31):

 

e2

X d3r X1

L

 

 

mr

 

O

F

-mr

 

I

L =

 

 

Y

 

 

Y

x(1 - x)dxM1

+

 

 

 

P expG

 

 

 

J . (11.2.32)

8p

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

r

 

Z0

N

 

 

x(1 - x) Q

H

x(1 - x) K

Соответственно полное выражение для плотности распределения заряда имеет вид:

 

 

 

e2

 

X1

 

L

 

 

mr O

 

F

-mr

 

I

 

h(r) = (1

+ L)d3

(r) -

 

 

 

 

x(1

- x)dx 1

+

 

 

 

P

exp

 

 

 

 

 

.

3

 

3

Y

 

 

 

G

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8p

r

 

Z0

 

N

 

 

x(1 - x) Q

 

H

x(1 - x) K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.2.33)

Физическая интерпретация этого результата заключается в том, что голый точечный заряд притягивает из вакуума частицы с противоположным зарядом и отталкивает на бесконечность соответствующие античастицы, так что голый заряд частично экранируется. В результате перенормированный заряд становится в 1/(1+L) раз меньше. В качестве проверки заметим, что если обрезать расходящийся интеграл (11.2.32), полагая, что он берется только по области r ³ a, то расходящаяся при a ® 0 часть интеграла равна

L∞

=

e2

 

ln a−1 .

(11.2.34)

 

2

 

12p

 

 

 

Следовательно, если отождествить обрезание L в импульсном пространстве * с а−1, то расходящаяся часть в L окажется связанной с расходящейся частью Z3 − 1 соотношением

* Коротко его называют импульсом обрезания. — Прим. ред.

11.2. Поляризация вакуума

653

(Z3 − 1)¥ = −2L¥ ,

(11.2.35)

поскольку в порядке е2 перенормированный заряд (10.4.18) дается выражением

e

= Z1/2e

 

F

1

+

1

(Z

− 1)I e

 

(1

+ L)

-1e

 

.

(11.2.36)

Bl

 

Bl

Bl

l

3

G

 

2

3

J

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

Формула (11.2.35) подтверждается ниже.

Поляризация вакуума оказывает заметное влияние на энергети- ческие уровни мюонных атомов. Как будет показано в гл. 14, диаграмма рис. 11.3, б приводит к сдвигу энергии атомного состояния с волновой функцией ψ(r) на величину

E = z d3 r V(r) | ψ(r)|2 ,

(11.2.37)

где V(r) — добавочное к кулоновскому слагаемое в потенциале (11.2.28):

 

e e

X

L

π(q2 ) O

 

V(r) =

1 2

Y d3q eiq×r M

 

 

P .

(11.2.38)

3

 

2

 

(2π)

Z

N

q

 

Q

 

Ïðè r . m−1 эта добавка экспоненциально уменьшается. С другой

стороны, волновая функция электронов в обычных атомах в общем случае сосредоточена в значительно большей области радиусом а . m−1. Например, для орбит электронов вокруг ядра зарядом Ze

в водородоподобном атоме a = 137/(Zm) (здесь m = me). Поэтому сдвиг энергетического уровня будет зависеть только от поведения волновой функции в области r n a. Если орбитальный момент равен l, волновая функция ведет себя как rl при r n a, так что из (11.2.37) находим, что E пропорционально множителю (ma)–(2l+3). Отсюда эффект поляризации вакуума для случая l = 0 много больше, чем для более высоких угловых моментов. При l = 0 волновая функция приблизительно постоянна и равна ψ(0) для r, меньших или порядка m−1, так что формула (11.2.37) принимает вид

E =| ψ(0)|2 z d3r V(r) .

(11.2.39)

654

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

С учетом формул (11.2.38) и (11.2.22) интеграл от добавки к потенциалу (при e1e2 = −Ze2) имеет вид:

z d3r DV(r) = -Ze2p¢(0) = -

4Za

2

 

 

 

.

(11.2.40)

 

2

15m

 

 

 

Кроме того, для состояний водородоподобного атома с l = 0 и главным квантовым числом n волновая функция в начале координат принимает значение

y(0) =

 

2

 

F

ZamI

3/2

 

 

 

 

G

 

J

.

(11.2.41)

 

 

 

 

 

 

 

4p H

n K

 

 

Поэтому энергетический сдвиг (11.2.39) оказывается равным

DE = -

4Z4a5m

.

(11.2.42)

 

 

15pn3

 

Например, для 2s состояния атома водорода этот сдвиг равен –1,222 × 10–7 эВ, что соответствует сдвигу частоты DE/2p$, равному

–37,13 МГц. Иногда этот эффект называют эффектом Юлинга 4. Как обсуждалось в гл. 1, эти ничтожные сдвиги энергии оказалось возможным измерить, поскольку в отсутствие разных радиационных поправок чисто дираковская теория предсказывает полное вырождение 2s и 2p состояний атома водорода. В гл. 14 будет показано, что основная часть «лэмбовского сдвига» между 2s и 2p состояниями, равная +1058 МГц, обусловлена другими радиационными поправками, но согласие между теорией и экспериментом достаточно для того, чтобы убедиться в наличии сдвига –37,13 МГц, обязанного поляризации вакуума.

Хотя в обычных атомах поляризация вакуума определяет лишь малую часть радиационных поправок, она становится определяющей в радиационных поправках для мюонных атомов, в которых вместо электрона на орбите находится мюон. Это происходит потому, что по размерным соображениям большинство радиационных поправок приводит к энергетическим сдвигам уровней мюонных атомов, которые пропорциональны mμ, в то время как суммарная энергия поляризации вакуума òd3r DV за счет электронной петли остается пропорциональной me−2, как в формуле (11.2.40), что приво-

Смотрите также файлы