Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1915

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

11.3. Аномальные магнитные моменты

659

 

μ

(p′, p)u =

−4π2e2

X1

Xx

X∞

3

dκ

 

u′Γ1LOOP

(2π)4

Y

dx Y

dy Y

κ

 

 

 

Z0

Z0

Z0

 

 

 

′oγ μ

 

−κ2 + 2m2 (x2 − 4x + 2) + 2q2 (y(x − y) + 1 − x)

 

 

 

 

u

 

+4imp′μ (y − x + xy) + 4impμ (x2 − xy − y)su

(11.3.6)

×

 

κ2 + m2x2 + q2y(x − y)

 

−3

 

 

 

 

 

 

.

 

Воспользуемся теперь симметрией последнего множителя в подынтегральном выражении относительно отражения y → x − y. В результате такого отражения функции y − x + xy è x2 − xy − y, на которые умножаются p′μ è pμ соответственно, меняются местами,

поэтому их можно заменить на среднее

 

 

1 (y

− x + xy)

+

1

(x2

− xy − y) = −

1

x(1 − x) .

 

 

2

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Окончательно получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ

 

 

−4π2e2 X1

Xx

 

 

X∞

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

u′Γ1LOOP

(p′, p)u =

 

 

 

 

 

Y

dx Y

dy Y

κ

 

dκ

 

(2π)4

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

Z0

 

 

Z0

 

 

 

× u′oγ μ −κ2 + 2m2(x2 − 4x + 2) + 2q2(y(x − y) + 1 − x) (11.3.7)

−2im(p′μ + pμ )x(1 − x)su κ2 + m2x2 + q2y(x − y) −3 .

Заметим, что теперь pμ è p′μ входят только в комбинации pμ + p′μ,

как и требуется сохранением тока.

Необходимо принять во внимание и другие диаграммы. Конеч- но, в Γμ есть вклад нулевого порядка γμ . Слагаемое, пропорцио-

нальное (Z − 1), в контрчленах (11.1.9) дает в Γμ вклад

 

2

 

 

Γμ

= (Z − 1)γ μ .

(11.3.8)

L 2

2

 

Кроме того, поправка во внешний фотонный пропагатор дает слагаемое

660

 

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

 

μ

′

 

1

 

μν

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, p) =

(p′ − p)2 − iε Π

 

 

− p) γ ν .

(11.3.9)

 

Γполяриз. вак.(p

 

(p

 

Форма каждого из этих слагаемых находится в согласии с общим результатом (10.6.10) (с H(q2) = 0):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u′Γμ (p′, p)u = u′Mγ μF(q2 )

 

−

 

 

(p

+ p′)μ G(q2 )Pu .

 

 

 

 

(11.3.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

В порядке е2 форм-факторы имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4π2e2 X1

 

 

 

Xx

 

 

X

 

∞

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(q

 

) =

Z2 + π(q

 

) +

 

Y

 

dx Y dy Y

 

κ dκ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2π)4 Z0

 

 

 

Z0

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

κ2 − 2m2 (x2 − 4x + 2) − 2q2 (y(x − y) + 1 − x)

 

 

,

 

(11.3.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

κ2 + m2x2 + q2y(x − y)

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

) =

−4π2e2 X1

 

Xx

X∞

 

 

 

4m2x(1 − x)κ3dκ

 

 

 

 

 

G(q

 

 

 

 

 

 

 

Y dx

Y

dy Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

(11.3.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

4 Z

 

Z

Z

 

κ

2

2

x

2

+ q

2

y(x − y)

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 )

0

 

0

 

0

 

 

 

+ m

 

 

 

 

 

 

 

ãäå π(q2) − функция поляризации вакуума (11.2.22).

Интеграл, определяющий форм-фактор G(q2), конечен и ра-

âåí

 

2

) =

−e2m2

X1

Xx

x(1 − x)

 

G(q

 

 

Y

dx Y dy

 

.

(11.3.13)

 

4π2

 

 

 

 

Z0

Z0

m2x2 + q2y(x − y)

 

Это позволяет сразу вычислить аномальный магнитный момент. Как отмечалось в разделе 10.6, в магнитный момент дает вклад только слагаемое, пропорциональное γμ, так что результатом радиацион-

ных поправок является умножение дираковского значения магнитного момента e/2m на F(0). Однако определение е как истинного заряда лептона требует, чтобы

F(0) + G(0) = 1,

(11.3.14)

так что магнитный момент можно записать в виде

11.3. Аномальные магнитные моменты

661

μ =

 

e

− G(0)f .

(11.3.15)

 

a1

2m

Из (11.3.13) находим, что

 

 

 

 

 

 

−G(0) =

e2

 

= 0,001161 .

(11.3.16)

8π2

 

 

 

 

Это знаменитая поправка α/2π, впервые вычисленная Швингером 5.

Конечно, это лишь первая низшая радиационная поправка к магнитному моменту. Уже в следующем, четвертом порядке по е количество слагаемых столь велико, что вычисления становятся довольно сложными. Однако из-за большой величины отношения масс мюона и электрона, существует одна поправка четвертого порядка к магнитному моменту мюона, которая несколько больше всех остальных. Она возникает от включения электронной петли в линию виртуального фотона в диаграмме второго порядка (см. рис. 11.5). Включение этой петли приводит к замене фотонного пропагатора 1/k2 â (11.3.1) íà (1 + πe(k2))/k2, ãäå πe(k2) дается формулой (11.2.22),

а масса m полагается равной массе электрона:

 

e2

X1

 

F

 

k2x(1 − x)I

πe(k2 ) =

 

 

Y

x(1

− x) lnG1

+

 

J dx .

2π

2

2

 

 

Z0

 

H

 

me

K

Рис. 11.5. Двухпетлевая диаграмма для магнитного момента мюона. Жирная прямая линия изображает мюон, тонкая волнистая — фотон, остальные тонкие линии — электроны. Эта диаграмма дает относительно большой вклад в четвертом порядке в гиромагнитное отношение для мюона, пропорциональный ln(mμ/me).

662

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

Анализ выражения (11.3.12) показывает, что при вычислении мюонного магнитного момента эффективное обрезание импульса виртуального фотона k равно mμ. Отношение mμ/me столь велико, что при k2 порядка mμ2 можно приближенно записать

 

 

e2

X1

F mμ2 I

 

e2

 

F mμ2 I

 

 

πe

(k2 )

 

Y x(1 − x)dx ln

 

 

 

=

 

ln

 

 

 

,

 

2π2

G m2

J

12π2

G m2

J

(11.3.17)

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

Z0

H

e

K

 

 

 

H

e

K

 

 

где отброшенные слагаемые содержат вместо ln(mμ2/me2) коэффи-

циенты порядка единицы. Полученное выражение есть константа, поэтому изменение в − G(0), обусловленное добавлением электрон-

ной петли в виртуальную фотонную линию, определяется умножением предыдущего результата (11.3.16) для − G(0) на фактор (11.3.17),

òàê ÷òî

 

 

e

F

e2

e4

 

L

mμ2

OI

 

μμ

=

 

G

 

 

+

 

 

Mln

 

+ O(1)PJ .

(11.3.18)

 

8π

2

96π

2

2

 

 

2mμ H

 

 

 

M

me

PK

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

Q

 

(В т. II мы увидим, что это рассуждение есть упрощенная версия метода ренормруппы.) Формулу (11.3.18) можно сравнить с точным результатом расчета до четвертого порядка включительно 6:

 

 

e

F

e2

e4

 

L

mμ2

μμ

=

 

G

 

 

+

 

 

Mln

 

 

8π

2

96π

2

2

 

 

2mμ H

 

 

 

M

me

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

− 25 + 197 + π2 + 9ζ(3) − 3π2 6 24 2 2

F m

ln 2 + OG e

H mμ

I OI

(11.3.19)

J PJ .

 

K QK

 

Оказывается, что слагаемые порядка О(1) вносят величину −6,137 в коэффициент при e4/96π2, что немногим меньше, чем ln(mμ2/me2)

= 10,663, так что приближение (11.3.18) определяет вклад четвертого порядка с точностью до множителя порядка 2. Точный результат четвертого порядка (11.3.19) приводит к значению μμ = 1,00116546(e/2mμ),

что можно сравнить с результатом расчета до второго порядка включительно μμ = 1,001161(e/2mμ) и последним экспериментальным результатом 7 μμ = 1,001165923(e/2mμ).

11.3. Аномальные магнитные моменты

663

Обратимся к другому форм-фактору. Интеграл в выражении (11.3.11) для F(q2) содержит ультрафиолетовую расходимость. Однако для того, чтобы удовлетворить условию неперенормировки заряда (11.3.14), необходимо, чтобы константа Z2 имела значение

 

e2

 

 

4π2e2 X1

 

 

Xx

X

∞

3

 

Z2 = 1 +

 

 

−

 

 

Y

dx Y dy Y

 

κ

dκ

8π2

 

 

 

 

 

 

(2π)4 Z0

 

 

Z0

Z0

 

 

 

×

κ2

− 2m2 (x2

− 4x + 2)

.

 

 

(11.3.20)

 

 

 

 

 

κ2 + m2x2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Напомним, что π(0) = 0.) Это выражение также расходится, при-

чем расходящаяся часть имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1)∞ = −

 

e2 X∞ dκ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Z2

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

(11.3.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

κ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8π2 Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (11.3.20) обратно в (11.3.11), получаем

 

 

 

 

 

 

2

) = 1

+

 

 

 

e2

 

 

+ π(q

2

 

+

4π2e2

X1

 

Xx

 

 

X

∞

κ

3

dκ

F(q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

Y dx Y

dy Y

 

 

 

 

 

8π2

 

 

(2π)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

Z0

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

R

 

κ

2

− 2m

2

(x

2

− 4x +

2) − 2q

2

(y(x − y) + 1

− x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

κ2 + m2x2 + q2y(x − y)

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.3.22)

 

 

 

 

κ

2

−

2m

2

(x

2

− 4x + 2)

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

κ2 + m2x2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь интеграл по κ сходится:

 

2

) = 1

+

 

e2

+ π(q

2

) +

2π2e2

X1

 

Xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y dx Y dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8π2

 

(2π)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

−

m

2

(x

2

−

4x

+

2)

−

q

2

[y(x

−

y)

+

1

−

x]

 

x

2

−

4x

+

2

 

 

 

 

× S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2x2 + q2y(x − y)

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lm2x2

 

+ q2y(x − y) OU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− lnM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PV .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.3.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

m2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

QW

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы