Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 460

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

80

:

뤥«¥­¨¥ ®¡ê¥¬­®£® ¬­®¦¨â¥«ï ¢ ä㭪樮­ «ì­®¬ ¨­â¥£à «¥.

¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâ७¨î ­¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ⥮਩. «ï ®¯à¥¤¥«¥­­®áâ¨

à áᬮâਬ á«ãç © ¯®«¥© ­£

- ¨««á á ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯®© SU (2). £à ­-

¦¨ ­ â ª®© ⥮ਨ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

 

1

F a F a a = 1; 2; 3

 

L = ;

 

(3.16)

16

£¤¥

 

 

 

F a = @ Aa ; @ Aa + g"abcAb Ac

(3.17)

¤¥áì g { ï­£-¬¨««á®¢áª ï ª®­áâ ­â á¢ï§¨. ந§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ®¯à¥¤¥«¨¬, ª ª ®¡ëç­®, ¢ ¢¨¤¥:

~

~

~ ~

(x)]

 

Z[J] = Z

DA exp i Z

dx[L(x) + J A

(3.18)

¥©á⢨¥ ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï:

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

A ! A

 

 

 

 

(3.19)

£¤¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

~

~

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 2

= U( ) A 2

+ ig U;

( )@ U ( ) U;

( )

(3.20)

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

U( ) = exp i (x) 2

 

(3.21)

{ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ᯨ­®à­®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £à㯯ë SU(2). ¡«¨§¨ ¥¤¨­¨ç­®£® ¯à¥- ®¡à §®¢ ­¨ï U ( ) ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥:

~

~

2

 

 

U( ) = 1 + i

2

+ O(

)

(3.22)

~

¥«¨ç¨­ë (x) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯ à ¬¥âàë £à㯯ë, § ¢¨áï騥 ®â â®çª¨ ¯à®- áâà ­á⢠- ¢à¥¬¥­¨, ~ { ¬ âà¨æë 㫨 ¢ ¨§®â®¯¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥.

¥©á⢨¥ ­ 襩 ⥮ਨ ¯®áâ®ï­­® (¨­¢ ਠ­â­®) ­ ®à¡¨â¥ ª «¨¡à®¢®ç­®©

~

£à㯯ë, á®áâ®ï饩 ¨§ ¢á¥å A , ¯®«ã祭­ëå ¨§ ­¥ª®â®à®© 䨪á¨à®¢ ­­®© ª®­-

~

д¨£га ж¨¨ A ¯а¥®¡а §®¢ ­¨¥¬ U ( ), ¯а®¡¥£ ой¨¬ ¯® ¢б¥¬ н«¥¬¥­в ¬ £аг¯¯л SU (2). а¨ ¯а ¢¨«м­®¬ ª¢ ­в®¢ ­¨¨ дг­ªж¨®­ «м­®¥ ¨­в¥£а¨а®¢ ­¨¥ ¤®«¦­® ®бг- й¥бв¢«пвмбп ¯® \£¨¯¥а¯®¢¥ае­®бв¨" ¢ дг­ªж¨®­ «м­®¬ ¯а®бва ­бв¢¥, ª®в®а п ¯¥- а¥б¥ª ¥в ª ¦¤го ®а¡¨вг «¨им ®¤¨­ а §. ª¨¬ ®¡а §®¬, ¥б«¨ ¬л § ¯¨и¥¬ га ¢­¥- ­¨¥ нв®© £¨¯¥а¯®¢¥ае­®бв¨ ¢ ¢¨¤¥:

~

(3.23)

fa (A ) = 0 a = 1; 2; 3

â® ãà ¢­¥­¨¥

 

~

(3.24)

fa(A ) = 0

~

~

¤®«¦­® ¨¬¥âì ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥ ¯à¨ ¤ ­­®© ¯®«¥¢®© ª®­ä¨£ãà 樨 A . â® ãá«®¢¨¥ 䨪á¨àã¥â ¢ë¡®à ª «¨¡à®¢ª¨.

:

81

¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® ¯ à ¬¥âà ¬ ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯ë:

 

3

 

 

~

Y

d a

(3.25)

[d ] =

 

 

a=1

 

 

 

 

~ ~

, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï

᫨ ¬ë ᮢ¥àè ¥¬ ¤¢ ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¨ 0

 

 

 

~ ~

¬ âà¨æ ¨¬¥¥â ¢¨¤ U( )U ( 0 ) ¨ ¯ а ¬¥вал ¯а¥®¡а §®¢ ­¨п б㬬¨аговбп: + 0. ®-

í⮬㠮¯à¥¤¥«¥­­ ï ᮣ« á­® (3.25) ¬¥à

¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ï¥âáï ¨­¢ ਠ­â­®©

®â­®á¨â¥«ì­® ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©, ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ã£«ë ¯à®¡¥£ îâ

¯à¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¢á¥ ¬ë᫨¬ë¥ §­ 祭¨ï ¨ ᤢ¨£ ­ ª®­áâ ­âã 0 ­¨ç¥£® ­¥

~~ ~ ~

¬¥­ï¥â. ¨¬¢®«¨ç¥áª¨ íâ® § ¯¨áë¢ îâ ª ª d( 0) = d 00 = d .

¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®áâ㯨âì ª ª ¨ ¢ëè¥ (¯à¨ à áᬮâ७¨¨ ®¡ëç­®£® ¨­â¥-

~

£à « ), ¨ ¢¢¥á⨠f [A ]:

1

~

 

Z

~

~

)]

(3.26)

;

[A ] =

 

[d (x)] [fa(A

 

f

 

 

 

 

 

 

 

âáî¤ ¨¬¥¥¬:

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

] = DetMf

 

 

 

(3.27)

 

f [A

 

 

 

{ ¤¥â¥à¬¨­ ­â ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ , £¤¥

 

 

 

 

 

 

 

(Mf )ab = fa

 

 

 

(3.28)

 

 

 

 

b

 

 

 

 

®¤à®¡­¥¥ í⨠¢ëª« ¤ª¨ ¢ë£«ï¤ïâ â ª. ஢®¤ï ®¡ëç­ãî ¤¨áªà¥â¨§ æ¨î ¯à®áâà ­á⢠¨ ¯®á«¥- ¤ãî騩 ¯à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤, ¬®¦¥¬ ­ ¯¨á âì:

;

1

~

Z

YY

d a(x) [fa(x)] =

YYZ

dfa(x) [fa(x)]

@( 1(x); 2

(x); 3 (x))

=

 

 

[A ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@(f1(x); f2

(x); f3(x))

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Y

Det

h

@ a(x)

i

= Det

h

a(x)

i

 

(3.29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@fb(x)

 

fb(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

f=0

 

f=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯®á«¥¤­¥¬ à ¢¥­á⢥ (¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤

ª ­¥¯à¥à뢭®¬ã x) ¢®§­¨ª ¥â ä㭪樮­ «ì­ë© ¤¥â¥à¬¨-

­ ­â (类¡¨ ­) ¬ âà¨æë á ­¥¯à¥à뢭묨 ¨­¤¥ªá ¬¨ a(x) , ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬

fb(y)

ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© í⮩ ¬ âà¨æë.

âà¨æ Mf á¢ï§ ­

á ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ë¬¨ ª «¨¡à®¢®ç­ë¬¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬¨

~

 

 

 

 

 

 

 

 

ä㭪樨 fa [A ]:

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

Z

 

fa(x)

2

 

 

 

f [A (x)] = fa [A (x)] +

dy

b(y)

b(y) + O( ) =

 

 

 

 

~

 

 

 

 

2

 

 

= fa[A (x)] + Z

dy[Mf (x; y)]ab b(y) + O(

 

)

(3.30)

 

 

 

 

 

 

 

 

~

®£¤ ¨§ âॡ®¢ ­¨ï ¥¤¨­á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (3.24) fa (A ) = 0 ®â­®á¨-

~

®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï. ®­ªà¥â­ë© ¢¨¤ Mf , ¥áâ¥á⢥­­®,

⥫쭮 á«¥¤ã¥â, çâ® DetMf

§ ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ⮣® ¨«¨ ¨­®£® ãá«®¢¨ï ª «¨¡à®¢ª¨ (¢¨¤ ä㭪樨 fa), ë¥

¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï á«ãç ï ª «¨¡à®¢ª¨ ®à¥­æ ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥­ë ­¨¦¥.

¥â¥à¬¨­ ­â ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢

~

f [A ] ª «¨¡à®¢®ç­® ¨­¢ ਠ­â¥­. á ¬®¬ ¤¥«¥, § ¯¨è¥¬

1

~

Z

~

~ 0

(3.31)

;

[A ] =

 

[d 0

(x)] [fa(A ) ]

f

 

 

 

 

 

82

:

 

®£¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

~

 

] =

 

 

~

 

 

~ 0

 

 

 

~ ~

 

 

 

~

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

[A

 

 

 

[d 0

(x)] [fa(A )] =

 

[d (x) 0(x)] [fa(A )] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Z

 

~

 

~ 00

 

 

 

 

1

~

]

 

(3.32)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[d 00(x)] [fa(A

 

)] = ;

 

[A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. â® ¢¯®«­¥ ­ «®£¨ç­® (3.12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®¤áâ ¢¨¬ ⥯¥àì ¢®§­¨ª î饥 ¨§ (3.26) \¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¥¤¨­¨æë"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 =

Z

~

 

 

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[d (x)] f[A ] [fa

(A )]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢ (3.18). ®£¤ , ®¡®§­ ç ï ¤«ï ¥¤¨­®®¡à §¨ï ¬¥àã ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® ¯®«ï¬ ­£ -

 

¨««á

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ª ª [dA (x)], ¯®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

~

(x)] exp i Z dxL(x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

[dA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

~

 

 

 

 

~

 

Z

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

[d (x)]

 

 

[dA (x)] f [A ] [fa(A )] exp i

 

dx

 

 

(x)

 

=

 

 

 

 

 

 

= Z [d (x)]Z

 

~

 

 

 

~

 

 

 

 

 

~

 

 

i Z dxL(x)

 

 

 

 

 

 

[dA

(x)] f [A

(x)] [fa(A )] exp

(3.34)

 

ਠ¯®«ã祭¨¨ ¯®á«¥¤­¥£® à ¢¥­áâ¢

 

 

¬ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ¨­¢ ਠ­â­®áâìî ¢ë-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

] ¨ exp

 

i

dxL(x)

 

 

®â­®á¨â¥«ì­® ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ -

 

à ¦¥­¨© ¤«ï f [A

 

 

 

 

 

~

!

~

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

~

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­¨© A

 

 

 

 

. ®£¤

¢¨¤¨¬, çâ® ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â (x) ¨

 

R

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[d (x)] =

 

 

x d (x) ¤ ¥â ¯à®áâ® ¡¥áª®­¥ç­ë© \®¡ê¥¬" ®à¡¨âë, ª®â®àë© ¬ë ¨ å®â¥«¨

 

¢ë¤¥«¨âì! ®í⮬ã, ®¯ã᪠ï íâ®â ­¥­ã¦­ë© ¬­®¦¨â¥«ì, ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ «

 

ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯®«ï A ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

~

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

~

] =

 

 

 

 

 

Z[J] = Z [dA

] f [A ] [fa(A )] exp i Z dx[L(x) + J

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Z [dA

](DetMf ) [fa(A )] exp i Z dx[L(x) + J A ]

(3.35)

 

í⮬ áãâì â ª ­ §ë¢ ¥¬®£® ­§ âæ

 

 

¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ , ¬ë ãáâà ­ï¥¬ ¢á¥ «¨è­¨¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï, ¢¢®¤ï ¢ ä㭪樮­ «ì­ãî ¬¥àã ¬­®¦¨â¥«ì DetMf [f (A )].

 

¡¥«¥¢ ª «¨¡à®¢®ç­ ï ⥮à¨ï ( ).

áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 ¯à¨¬¥à { ª¢ ­â®¢ãî í«¥ªâத¨­ ¬¨ªã. í⮬ á«ãç ¥ ª - «¨¡à®¢®ç­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:

A

1

 

 

= A (x) ; g

@ (x)

(3.36)

í⮬ á«ãç ¥, ¯à¨ «î¡®¬ ¢ë¡®à¥ ª «¨¡à®¢®ç­®£® ãá«®¢¨ï (3.23), «¨­¥©­®£® ¯® ¯®«î A (x), ¬ âà¨æ Mf (3.28) ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¯®«ï A (x). ®í⮬㠤¥â¥à¬¨­ ­â¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ­¥ áãé¥á⢥­ á 䨧¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï, ¥£® ¬®¦­® ¢ë­¥á⨠§

:

83

§­ ª ä㭪樮­ «ì­®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® A (x) ¨ ¯à®áâ® ®¯ãáâ¨âì3. ®£¤

¯à®¨§-

¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:

 

Z[J] = Z [dA ] [f(A )] exp i Z dx[L(x) + J (x)A (x)]

(3.37)

£¤¥ [f(A )] 䨪á¨àã¥â ª®­ªà¥â­ãî ª «¨¡à®¢ªã, ¯®á«¥ 祣® ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ®¡ëç­®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ .

¥©­¬ ­®¢áª¨¥ ¤¨ £à ¬¬ë ¢ ­¥ ¡¥«¥¢®© ⥮ਨ.

¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¯®¤à®¡­®¬ã à áᬮâ७¨î ¯®áâ஥­¨ï ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨ ¤«ï ­¥ ¡¥«¥¢®© ⥮ਨ. ¥à¥¯¨è¥¬ ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « (3.35) ¢ ¢¨¤¥:

~

~

~

~

 

Z[J] = Z [dA ] exp iSeff + i Z

dxJ

A

(3.38)

 

~

 

 

~

£¤¥ ¬ë ¯à®áâ® ¯¥à¥¯¨á «¨ ¬­®¦¨â¥«ì DetMf [fa (A )] ¢ ¢¨¤¥ exp ln(DetMf [fa(A )]),

¢¥«¨ç¨­ã i ln(DetMf [fa (A )]) ¢ª«î稫¨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ íä䥪⨢­®£® ¤¥©á⢨ï

; ~

Seff . áâ¥á⢥­­®, çâ® ­ «¨ç¨¥ â ª®£® ç«¥­ ¢ íä䥪⨢­®¬ ¤¥©á⢨¨ ãá«®¦­ï¥â

§ ¤ çã ¯®áâ஥­¨ï ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨. 㦭® á­ ç « ¯®¯ëâ âìáï ¯à¥¤áâ ¢¨âì íâ®â ¢ª« ¤ ¢ ¡®«¥¥ ¥áâ¥á⢥­­®¬ ¢¨¤¥.

\ ãå¨" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ .

¥«¨ç¨­ã DetMf ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ íªá¯®­¥­âë, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ä®à¬ã«®©:

DetMf = exp[Sp lnMf ]

(3.39)

®ª § ⥫ìá⢮ (3.39) âਢ¨ «ì­®. ¢¥­á⢮ ln DetMf = Sp ln Mf ®ç¥¢¨¤­® ¤«ï «î¡®© ¬ - âà¨æë: DetMf ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢á¥å ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© Mf , ln DetMf ¤ ¥â ⮣¤ á㬬㠫®£ à¨ä¬®¢ ¢á¥å ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© Mf , â.¥. ª ª à § Sp ln Mf .

।áâ ¢«ïï ¬ âà¨æã Mf ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

 

 

Mf

= 1 + L

 

 

(3.40)

¨ à §« £ ï «®£ à¨ä¬ ¢ àï¤, ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:

 

 

 

1

1

1

 

exp[Sp lnMf ] = exp SpL +

2SpL2 + ::: +

 

SpLn + ::: =

 

n

 

= exp Z dxLaa(x; x) + 2 Z dx Z dyLab(x; y)Lba (y; x) + :::

(3.41)

 

 

 

 

 

 

3 â®çª¨ §à¥­¨ï ¯®á«¥¤ãî饣® ¨§«®¦¥­¨ï ¬®¦­® ᪠§ âì, çâ® ¢ \¤ãå¨" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ­¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ á ¯®«¥¬ A , ¯®â®¬ã ­¥ áãé¥á⢥­­ë.

Смотрите также файлы