Файл: Исследование устойчивости методами Ляпунова Исследование устойчивости методом В. М. Попова.docx

_{Лекция 10 Тема. НЕЛИНЕЙНЫЕ САУ}

1. 
   Устойчивость нелинейных САУ
   
2. 
   Понятие устойчивости нелинейных САУ
   
3. 
   Исследование устойчивости методами Ляпунова
   
4. 
   Исследование устойчивости методом В.М. Попова
   
5. 
   Алгебраический метод анализа автоколебаний
   

1. Особенности нелинейных САУ

САУ называется нелинейный, если имеет хотя один нелинейный элемент (НЭ), который описывается нелинейным уравнением (обла- дает нелинейной характеристикой) [1, 9, 13, 15]. Строго говоря, все реальные САУ являются нелинейными из-за естественных ограниче- ний возрастания выходного значения напряжения, мощности, скоро- сти и других физических величин, а также нелинейностей их взаимо- зависимостей (насыщение, люфт, зона нечувствительности и др.).

По виду нелинейного уравнения «вход-выход» НЭ делятся на бе- зынерционные (статические) и инерционные (динамические).

Безынерционные (статические) НЭ мгновенно реагируют на входное воздействие xсоответственно статической нелинейной ха- рактеристике выходной величины y=F(x), которая может быть непре- рывной или релейной (рис. 4.1.1, а), типа ограничение (рис. 4.1.1, в), типа люфт (рис. 4.1.1, г), однозначной или неоднозначной. В послед- нем случае (гистерезисные петли) величина yзависит от входной ве- личины xи от направления ее изменения (рис. 4.1.1, б).
у у у y


0 х 0 х 0 х 0x

а б в г

Рис. 4.1.1. Характеристики нелинейных элементов
Инерционные (динамические) НЭ описываются дифференциаль- ным уравнением зависимости выходной величины yот входной вели- чины xи ее производных, например, y=F(x, dx/dt).

В САУ также используются особые нелинейности (множительное звено, элементы с переключаемой структурой или параметрами, эле- менты логического типа и т.п.), улучшающие качество САУ и обес- печивающие оптимальное и адаптивное управление процессами.

---

Присутствие нелинейностей обычно ухудшает качество работы линейных САУ – увеличиваются ошибки управления, ухудшается ус- тойчивость и т.д. Однако, в некоторых случаях нелинейности вводят

в САУ специально – для ограничения тока или скорости двигателя на заданном уровне, для достижения максимального быстродействия САУ за счет применения релейного регулятора, для улучшения свойств САУ за счет введения нелинейных корректирующих уст- ройств и т. д. [1, 9, 13, 15].

Нелинейные САУ отличаются от линейных САУ тем, что к ним неприменим принцип суперпозиции (наложения), а переходные про- цессы и динамическая устойчивость зависят от величины и формы внешних воздействий. Поэтому для нелинейных САУ существуют понятия «устойчивость в малом», «устойчивость в большом», «ус- тойчивость в целом» соответствующих устойчивости САУ только при малых, больших или любых начальных внешних воздействиях. Особенностями нелинейных САУ также является возможность воз- никновения в них установившихся рабочих режимов автоколебаний, т.е. устойчивых собственных колебаний с постоянной амплитудой, не превышающей допустимого значения при отсутствии внешних коле- бательных воздействий [1, 9, 13, 15].

Для упрощения расчетов структуру нелинейных САУ путем эк- вивалентных структурных преобразований стараются представить в виде одноконтурной, с последовательно соединенными нелинейным звеном F(x) и линейной динамической частью W(p) [1, 13, 15]. Струк- турные преобразования нелинейных САУ проводят при неизменно- сти входных воздействий нелинейных элементов.

При исследованиях нелинейных САУ обычно решают задачи оценки влияния нелинейностей на процессы в САУ с линейной ча- стью или задачи анализа и синтеза нелинейных САУ, которые специ- ально проектируются как нелинейные.
Контрольные вопросы

1. 
   Почему возникают нелинейности в САУ?
   
2. 
   Какие нелинейности относятся к статическим, динамическим и особым?
   
3. 
   Для чего нелинейности могут специально вводиться в САУ?
   
4. 
   Какие основные отличия и особенности имеют нелинейные САУ по от- ношению к линейным САУ?
   
5. 
   Какие две основные задачи обычно решаются при исследованиях нели- нейных САУ?
   
6. 
   Какие условия следует выполнять при эквивалентных преобразованиях структурных схем САУ, содержащих нелинейный элемент?
   

---

1.   1   2   3   4   5   6   7

---

Методы исследования нелинейных САУ

Поскольку общие аналитические методы решения нелинейных дифференциальных уравнений отсутствуют, то при анализе и синтезе нелинейных САУ используются приближенные методы решения практических задач. Эти методы можно разделить на две группы [15]:

1) методы, основанные на приближенном решении нелинейных диф- ференциальных уравнений (методы «припасовывания», фазовых тра- екторий, точечных преобразований, графо-аналитические, частотный В.М. Попова, численные, моделирования); 2) методы, использующие линеаризацию нелинейных характеристик звеньев САУ с последую- щим применением хорошо разработанных методов анализа и синтеза линейных САУ (методы малого параметра, гармонического баланса, статистической линеаризации). Рассмотрим часто используемые для расчетов переходных процессов в нелинейных САУ методы припасо- вывания, фазовых траекторий, гармонической линеаризации.

Метод припасовывания [1, 13, 15] заключается в том, что нели- нейная характеристика заменяется несколькими линейными участка- ми и на каждом участке решается система линейных дифференциаль- ных уравнений САУ. Полученные решения припасовывают (сшива- ют), принимая конечные значения решения и его производных на предыдущем участке за начальные условия решения на последующем участке. Метод характеризуется громоздкостью расчетов.
Пример 4.1. Исследовать методом припасовывания переходный процесс в нелинейной системе (рис. 4.2.1) при условиях: x₁(0)=0,01; x₂(0)=0 [7].

K₃ =1

---

b=2

x

–b=–2

K₁ 0,01

=

p p

K₂

1
x F(x) x₂ x₁



=




K₄ = 5
Рис. 4.2.1. Нелинейная САУ
Из схемы получается следующая система дифференциальных уравнений

_x₁  K₂ x₂;



В зависимости от знака координаты xсистема уравнений (4.2.1), описы- вающая движения САУ, распадается на две линейные системы уравнений:

---