Файл: Курсовая работа по динамике исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы.doc

, если направления момента и угловой скорости одинаковы, а знак "–" если их направления противоположны.

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, не деформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому мощности внутренних сил будут равняться нулю .

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы

Сумма мощностей остальных сил равна:



или

.

С учетом кинематических соотношений (1.6) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

	,	(Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0)
где		(Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0)

называется приведенной силой.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины равно сумме статического и динамического удлинений

.

Тогда упругая сила будет равна:

.

Момент вязкого сопротивления . Тогда приведенная сила (Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0) в развернутой форме будет определяться выражением:

---

.	(Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0)

В состоянии покоя и условиемравновесия системы будет служить уравнение

.

(Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0)

Из уравнения (Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0) определяется статическое удлинение пружины

.

(Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0)

Таким образом, окончательное выражение для приведенной силы (Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0) будет иметь вид:

(Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0)

Подставим выражения для кинетической энергии (Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0) и сумму мощностей всех сил (Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0)с учетом (Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0) в уравнение (Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0). Тогда, после дифференцирования, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

---

Общепринято такие уравнения представлять в виде:

(Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

– частота собственных колебаний,

– показатель степени затухания колебаний.

Начальные условия:

при  .

(Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0)

Уравнения (Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0), (Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0) представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

---

2.Определение закона движения системы.

Возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:



где – амплитуда возмущающей силы, – циклическая частота возмущения.

Дифференциальное уравнение движения механической системы (Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы..0) с учетом выражения для возмущающей силы примет вид:

(Определение закона движения системы..0)

где .

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (Определение закона движения системы..0) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (Определение закона движения системы..0), имеет вид:

(Определение закона движения системы..0)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

(Определение закона движения системы..0)

где и – неопределенные постоянные величины.

Подставляя (Определение закона движения системы..0) в (Определение закона движения системы..0), получим:

---

Так как мы ищем нетривиальное решение, то . Следовательно, должно выполняться условие

(Определение закона движения системы..0)

Уравнение (Определение закона движения системы..0) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (Определение закона движения системы..0). Это уравнение имеет два корня:

(Определение закона движения системы..0)

где .

В этом случае ( ) общее решение уравнения (2.2) имеет вид:



Данное выражение нетрудно представить в виде

(Определение закона движения системы..0)

где , – постоянные интегрирования.

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения (Определение закона движения системы..0). Частное решение ищем в виде правой части

,

(Определение закона движения системы..0)

где

---