Файл: Плоские фермы.pdf

 îáùåì ñëó÷àå, ÷òîáû ïîñòðîèòü ëèíèè âëèÿíèÿ, íåîáõîäèìî 

ó÷èòûâàòü ðàñïîëîæåíèå ãðóçîâîãî ïîÿñà, ò. å. ïîÿñà, ïî êîòîðîìó 

ïåðåìåùàåòñÿ ïîäâèæíàÿ íàãðóçêà. 

Òàáëèöà

1.2 

Ãðóç 

Ð

= 1 ëåâåå ñå÷åíèÿ 

I–I

 Ãðóç 

Ð

 = 1 ïðàâåå ñå÷åíèÿ 

I–I

0

ïðàâ

2

=

∑

M

; 

0

5

2

4

3

=

−

−

h

N

d

V

B

,

; 

B

V

h

d

N

5

2

4

3

,

=

−

 (

óðàâíåíèå ëåâîé ïðÿìîé

)

0

ëåâ

2

=

∑

M

; 

0

5

1

4

3

=

−

−

d

V

h

N

A

,

; 

A

V

h

d

N

5

1

4

3

,

=

−

 (

óðàâíåíèå ïðàâîé ïðÿìîé

)

0

ïðàâ

=

∑

Y

; 

0

3

2

=

α

−

−

sin

N

V

B

; 

B

V

N

α

=

sin

1

3

-

2

(

óðàâíåíèå ëåâîé ïðÿìîé

)

0

ëåâ

=

∑

Y

; 

0

3

2

=

α

+

−

sin

N

V

A

; 

A

V

N

α

−

=

sin

1

3

-

2

(

óðàâíåíèå ïðàâîé ïðÿìîé

)

0

ïðàâ

3

=

∑

M

; 

0

3

2

1

=

+

−

h

N

d

V

B

; 

B

V

h

d

N

3

2

1

−

=

−

 (

óðàâíåíèå ëåâîé ïðÿìîé

)

0

ëåâ

3

=

∑

M

; 

0

2

1

=

−

−

−

h

N

d

V

A

; 

A

V

h

d

N

−

=

−

2

1

 (

óðàâíåíèå ïðàâîé ïðÿìîé

)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðóçîâûì ÿâëÿåòñÿ âåðõíèé ïîÿñ. Ðàññìîò-

ðèì ïîñòðîåíèå ëèíèè âëèÿíèÿ. Äëÿ ýòîãî, ñîãëàñíî òàáëèöå 1.2, 

îòëîæèì íàä ëåâîé îïîðîé âåëè÷èíó 1,5

d

/

h

 è ïîñòðîèì ñêîððåê-

òèðîâàííóþ ëèíèþ âëèÿíèÿ îïîðíîé ðåàêöèè 

V

A

 (øòðèõîâàÿ ëè-

íèÿ íà ðèñóíêå 1.20, 

â

). Íàä ïðàâîé îïîðîé ââåðõ îòëîæèì îòðå-

çîê 2,5

d

/

h

 è ïîñòðîèì ëåâóþ âåòâü ëèíèè âëèÿíèÿ 

N

3–4

. 

Ïðîåöèðóåì óçëû 1 è 2 íà ëèíèè âëèÿíèÿ è ïîëó÷åííûå òî÷-

êè ñîåäèíÿåì ïðÿìîé ëèíèåé. Òàêèì îáðàçîì, ëèíèÿ âëèÿíèÿ 

óñèëèÿ 

N

3–4

 ñîñòîèò èç 3 ó÷àñòêîâ: ëåâåå òî÷êè 1 ñïðàâåäëèâû 

óðàâíåíèÿ äëÿ ëåâîé ïðÿìîé, ïðàâåå òî÷êè 2 ñïðàâåäëèâû óðàâ-

íåíèÿ äëÿ ïðàâîé ïðÿìîé, â ïðåäåëàõ ðàññå÷åííîé ãðóçîâîé ïàíå-

ëè 1–2 ðàñïîëàãàåòñÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ïðÿìàÿ. 

Àíàëîãè÷íî ñòðîÿòñÿ ëèíèè âëèÿíèÿ óñèëèé 

N

3–2

 è 

N

1–2

 (ðè-

ñóíîê 1.20, 

ã

, 

ä

).  

Ðàññìîòðèì äâèæåíèå íàãðóçêè 

P

 = 1 ïî íèæíåìó ïîÿñó (ðè-

ñóíîê 1.22, 

à

). Ëèíèè âëèÿíèÿ îïîðíûõ ðåàêöèé áóäóò òàêèìè 

æå, êàê íà ðèñóíêå 1.20, 

á

, ò. ê. îíè íå çàâèñÿò îò òîãî, êàêîé 

ïîÿñ ãðóçîâîé.  

Óðàâíåíèå ëåâîé ïðÿìîé ñïðàâåäëèâî ëåâåå òî÷êè 3, à óðàâíå-

íèå ïðàâîé ïðÿìîé – ïðàâåå òî÷êè 4. Ïðîåöèðóåì ýòè óçëû íà 

ëèíèè âëèÿíèÿ è ñîåäèíÿåì ïîëó÷åííûå òî÷êè ìåæäó ñîáîé ïåðå-

äàòî÷íîé ïðÿìîé. Ëèíèè âëèÿíèÿ äëÿ óñèëèé â ñòåðæíÿõ ïîêà-

çàíû íà ðèñóíêå 1.22, 

â

, 

ã

,

 ä

. 

26 

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru

d

P=

1

4

3

1

2

A

B

d

d

d

V

B

V

A

I

I

h

Ãðóçîâîé ïîÿñ

(

)

íèæíèé

1

1

Левая

пряма

я

Правая

прямая

Правая

прямая

Правая

прямая

Передаточная

прямая

Левая

прямая

Передаточ

ная

прямая

Ë. â.

Ë. â.

V

A

V

Â

Ë. â.

Ë. â.

Ë. â.

N

1-2

N

3-2

N

3-4

1

sin

1

sin

1,5

d

h

2,5

d

h

d

h

3

d

h

à

)

á

)

â

)

ã

)

ä

)

Левая

прямая

Передат

очная

прямая

Ðèñóíîê 1.22 

1.7 

Определение

усилий

по

линиям

влияния

Ñ ïîìîùüþ ëèíèé âëèÿíèÿ ìîæíî îïðåäåëèòü óñèëèÿ â ñòåðæ-

íÿõ ôåðìû ïðè äåéñòâèè íåïîäâèæíîé íàãðóçêè.

Çàãðóæåíèå ñîñðåäîòî÷åííûìè ñèëàìè.

 Ïóñòü ïî ãðóçîâîìó 

ïîÿñó äâèæåòñÿ ãðóç âåñîì 

Ð

. Òîãäà óñèëèå â ñòåðæíå  

Py

N

=

, 

ãäå 

y

 – îðäèíàòà ëèíèè âëèÿíèÿ ïîä òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ ñèëû 

Ð

. 

Äåéñòâèòåëüíî, 

y

 – óñèëèå, âîçíèêàþùåå â ñòåðæíå îò äåéñò-

âèÿ ïðèëîæåííîé â äàííîé òî÷êå åäèíè÷íîé ñèëû. Â ñèëó ëèíåé-

íîñòè çàäà÷è, ïðè óâåëè÷åíèè íàãðóçêè â 

Ð

 ðàç, óñèëèå â ñòåðæíå 

òîæå âîçðàñòåò âî ñòîëüêî æå ðàç.  

Åñëè ãðóçîâîé ïîÿñ ôåðìû çàãðóæåí íåñêîëüêèìè ñîñðåäîòî-

÷åííûìè ñèëàìè (ðèñóíîê 1.23), òî íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà ñó-

27 

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru

ïåðïîçèöèè óñèëèå â ñòåðæíå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ïî ôîðìóëå  

∑

=

=

+

+

+

+

=

n

i

i

i

n

n

y

P

y

P

y

P

y

P

y

P

N

1

3

3

2

2

1

1

...

, 

ãäå 

y

i

 – îðäèíàòà ëèíèè âëèÿíèÿ ïîä ñèëîé 

P

i

 (ñì. ðèñóíîê 1.23), 

âçÿòàÿ ñî ñâîèì çíàêîì. 

Ïðè ýòîì äëÿ íàãðóçîê, íàïðàâëåííûõ âíèç, ïðîèçâåäåíèå áå-

ðåòñÿ ñî çíàêîì, ñîâïàäàþùèì ñî çíàêîì îðäèíàòû ëèíèè âëèÿ-

íèÿ.  

P

P

1

2

3

n

P

P

y

y

y

y

1

2

3

n

Ë. â.

N

Ðèñóíîê 1.23 

Çàãðóæåíèå ðàñïðåäåëåííîé íàãðóçêîé.

 Ïóñòü íà ó÷àñòêå 

äëèíîé 

L

 ãðóçîâîãî ïîÿñà äåéñòâóåò ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ 

íàãðóçêà èíòåíñèâíîñòüþ 

q

.  

Âî èçáåæàíèå íåäîðàçóìåíèé ïîä÷åðêíåì, ÷òî çäåñü, êàê ðà-

íåå, òàê è äàëåå, ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî íàãðóçêà ïðèëîæåíà ê âñïîìîãà-

òåëüíûì êîíñòðóêöèÿì, à ñ íèõ – ïåðåäàåòñÿ íà óçëû ôåðìû.  

ýòîì ñëó÷àå óñèëèå â ñòåðæíå ôåðìû îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå  

ω

=

q

N

, 

ãäå

ω

 – ïëîùàäü, îãðàíè÷åííàÿ ëèíèåé âëèÿíèÿ ïîä çîíîé äåéñò-

âèÿ íàãðóçêè 

q

.  

Äåéñòâèòåëüíî, âûäåëèì â çîíå äåéñòâèÿ íàãðóçêè 

q

 ó÷àñòîê 

áåñêîíå÷íî ìàëîé äëèíîé 

dz

 (ðèñóíîê 1.24). Ýëåìåíòàðíàÿ ðàâíî-

äåéñòâóþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ôåðìó, ñ ýòîãî ó÷àñòêà ñî-

ñòàâëÿåò 

dF

 = 

q

dz

, à óñèëèå, âîçíèêàþùåå îò åå äåéñòâèÿ  â 

ñòåðæíå, 

dN

 =

 dF

y

(

z

)

=

q

dz

y

(

z

).  

Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè óñèëèå â ñòåðæíå îò äåéñòâèÿ âñåé íà-

ãðóçêè, íåîáõîäèìî ïðîèíòåãðèðîâàòü 

dN

 ïî äëèíå: 

∫

∫

∫

ω

=

=

=

=

L

L

L

q

dz

z

y

q

dz

z

qy

dN

N

)

(

)

(

. 

28 

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru

Ë. â.

N

y z

( )

dz

L

dF=qdz

Ðèñóíîê 1.24

Îòìåòèì, ÷òî ïëîùàäü íåîáõîäèìî îïðåäåëÿòü ñ ó÷åòîì çíàêà, 

ò. å. ÷àñòü ïëîùàäè 

ω

 ñíèçó îò ãîðèçîíòàëüíîé îñè áåðåòñÿ ñî 

çíàêîì ìèíóñ. 

1.8 

Понятие

о

шпренгельных

фермах

Åñëè çàìåíèòü îäèí èëè íåñêîëüêî ñòåðæíåé ôåðìû áîëåå 

ñëîæíûìè ýëåìåíòàìè, èìåþùèìè âèä ôåðì, òî ìîæíî ïîëó÷èòü 

ñîñòàâíóþ ôåðìó. ×àñòíûì ñëó÷àåì òàêèõ ôåðì ìîæíî ñ÷èòàòü 

øïðåíãåëüíûå

 ôåðìû. 

Øïðåíãåëüíûå ôåðìû îáðàçóþòñÿ èç ôåðì ñ ïðîñòîé ðåøåò-

êîé, ó êîòîðûõ âñå èëè íåêîòîðûå ïàíåëè ãðóçîâîãî ïîÿñà ïóòåì 

ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ñòåðæíåé ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà ÷àñòè. 

Ôåðìû ñ ïðîñòîé ðåøåòêîé áåç äîïîëíèòåëüíûõ ñòåðæíåé, âõî-

äÿùèå â øïðåíãåëüíóþ ôåðìó, íàçûâàþò 

îñíîâíûìè

. 

Ê ðàçäåëåíèþ ïàíåëåé îñíîâíîé ôåðìû ïðèáåãàþò â ôåðìàõ 

áîëüøîé âûñîòû, ïåðåêðûâàþùèõ áîëüøèå ïðîëåòû. ×åì áîëüøå 

âûñîòà ôåðìû, òåì ìåíüøå óñèëèÿ â åå ïîÿñàõ. Ïî êîíñòðóêòèâ-

íûì ñîîáðàæåíèÿì óäîáíî ðàñïîëàãàòü ðàñêîñû ïîä óãëîì 45

º

 ê 

ïîÿñàì ôåðìû, ïîýòîìó óâåëè÷åíèå âûñîòû ôåðì ïðèâîäèò ê óâå-

ëè÷åíèþ åå ïàíåëåé. Òàê, ïðè ýòîì óñëîâèè â ôåðìå ñ ïàðàëëåëü-

íûìè ïîÿñàìè ïàíåëè äîëæíû áûòü ðàâíû âûñîòå.  

Îäíàêî ïðîåêòèðîâàíèå áîëüøèõ ïàíåëåé ôåðìû ìîñòà âûçû-

âàåò óâåëè÷åíèå ìàññû åãî ïðîåçæåé ÷àñòè. Ýêîíîìèÿ ìàòåðèàëà, 

äîñòèãàåìàÿ ïðè óâåëè÷åíèè âûñîòû ôåðìû, ìîæåò îêàçàòüñÿ 

ìåíüøå çàòðàò íà óñòðîéñòâî ïðîåçæåé ÷àñòè. Ýòî ïðîáëåìà ìîæåò 

áûòü ðåøåíà ââîäîì â êàæäóþ ïàíåëü ãðóçîâîãî ïîÿñà øïðåíãå-

ëåé. 

Øïðåíãåëü

 – ýòî äîïîëíèòåëüíàÿ ôåðìà, ñòåðæíè êîòîðîé 

âîñïðèíèìàþò ëèøü ìåñòíóþ íàãðóçêó è ïåðåäàþò åå â óçëû îñ-

íîâíîé ôåðìû. Åñëè íàãðóçêà â ïðåäåëàõ äàííîãî øïðåíãåëÿ îò-

ñóòñòâóåò, òî óñèëèÿ â åãî ñòåðæíÿõ ðàâíû íóëþ.  

29 

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru

Øïðåíãåëè ïîçâîëÿþò ïîñòàâèòü ïîïåðå÷íûå áàëêè íå òîëüêî 

â îñíîâíûõ óçëàõ ôåðìû, íî è â äîïîëíèòåëüíûõ, òåì ñàìûì 

óìåíüøèòü ïðîëåò è ðàçìåðû ñå÷åíèé âñïîìîãàòåëüíûõ áàëîê.  

Øïðåíãåëè ìîãóò áûòü 

îäíîÿðóñíûìè

 è 

äâóõúÿðóñíûìè

. Îä-

íîÿðóñíûå ïåðåäàþò íàãðóçêó, ïðèëîæåííóþ ê óçëàì ïîÿñà âåð-

òèêàëüíî ê ýòîìó æå ïîÿñó. Äâóõúÿðóñíûå ïåðåäàþò íàãðóçêó, 

ïðèëîæåííóþ ê îäíîìó ïîÿñó, â äðóãîé ïîÿñ (ðèñóíîê 1.25). 

Ôåðìà ñ äâóõÿðóñíûìè øïðåíãåëÿìè

(

âåðõíèé)

ãðóçîâîé ïîÿñ 

Ôåðìà ñ îäíîÿðóñíûìè øïðåíãåëÿìè

(

íèé)

ãðóçîâîé ïîÿñ íèæ

Ðèñóíîê 1.25 

Ýëåìåíòû ôåðì, â ñîñòàâ êîòîðûõ âõîäÿò îäíîÿðóñíûå øïðåí-

ãåëè (ðèñóíîê 1.26), ìîæíî ðàçáèòü íà òðè ãðóïïû: 

1 Ýëåìåíòû, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò òîëüêî îñíîâíîé ôåðìå. 

Óñèëèÿ â íèõ âû÷èñëÿþòñÿ ðàñ÷åòîì îñíîâíîé ôåðìû. Îíè íå èç-

ìåíÿþòñÿ ïðè âêëþ÷åíèè â ôåðìó øïðåíãåëåé. Ýòè ýëåìåíòû ïî-

êàçàíû íà ðèñóíêå 1.26, 

à

 ñïëîøíîé ëèíèåé. 

2 Ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå òîëüêî øïðåíãåëÿì (øòðèõîâàÿ 

ëèíèÿ íà ðèñóíêå 1.26, 

à

). Óñèëèÿ â íèõ íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèÿ 

ðàâíîâåñèÿ îòäåëüíûõ ÷àñòåé øïðåíãåëÿ, êîòîðûé ðàññìàòðèâàåò-

ñÿ êàê îòäåëüíàÿ äâóõîïîðíàÿ ôåðìà. 

3 Ñòåðæíè, ïðèíàäëåæàùèå îäíîâðåìåííî îñíîâíîé ôåðìå è 

øïðåíãåëþ (äâîéíàÿ ëèíèÿ íà ðèñóíêå 1.26, 

à

). Óñèëèå â íèõ îï-

ðåäåëÿþò ñóììèðîâàíèåì óñèëèé, âîçíèêàþùèõ â ýëåìåíòå îñ-

íîâíîé ôåðìû è øïðåíãåëÿ. 

 ôåðìàõ ñ äâóõúÿðóñíûìè øïðåíãåëÿìè èìååòñÿ ÷åòâåðòàÿ 

ãðóïïà ñòåðæíåé. Ýòî ñòåðæíè îñíîâíîé ôåðìû, ëèíèè âëèÿíèÿ 

äëÿ êîòîðûõ èìåþò ðàçëè÷íûé âèä ïðè åçäå ïîâåðõó è ïðè åçäå 

ïîíèçó.  

Õàðàêòåð ðàáîòû ýëåìåíòîâ øïðåíãåëüíûõ ôåðì ïðåäîïðåäå-

ëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èõ ðàñ÷åòà. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñóïåðïî-

çèöèé, íàãðóçêó, ïðèëîæåííóþ â ïðîìåæóòî÷íûõ óçëàõ, ðàñïðå-

äåëÿþò â óçëû îñíîâíîé ôåðìû (øïðåíãåëè âûêëþ÷àþò èç ðàáî-

òû) è îïðåäåëÿþò óñèëèÿ â ñòåðæíÿõ îñíîâíîé ôåðìû.  

Ðàññìîòðèì ôåðìó ñ îäíîÿðóñíûìè øïðåíãåëÿìè â ãðóçîâîì 

íèæíåì ïîÿñå (ñì. ðèñóíîê 1.26), ê êîòîðîìó â óçëàõ 4, 3, 7 ïðè-

ëîæåíû ñèëû 

F

. Íàãðóçêó 

F

 â óçëå 4 ðàñïðåäåëÿþò ïîðîâíó ìåæ-

äó óçëàìè 1 è 3. Ñèëó 

F

 â óçëå 7 ðàñïðåäåëÿþò â óçëû 3 è 6 îñ-

íîâíîé ôåðìû. Òàêèì îáðàçîì, óçëû 1 è 6 íàãðóæåíû ñèëàìè 

0,5

F

, à óçåë 3 – ñèëîé 0,5

F 

+ 0,5

F 

+ 

F 

= 2

F

 (ðèñóíîê 1.26, 

á

). 

30 

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru