Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

äèìî, ÷òîáû äåéñòâèÿ ýòèõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè íå êîìïåíñèðîâàëèñü âçàèìíî

âíóòðè äâóõïîëþñíèêà.

Ïàññèâíûì

íàçûâàþò äâóõïîëþñíèê, íå ñîäåðæàùèé èñòî÷íèêîâ ýëåêòðè÷å-

ñêîé ýíåðãèè. Ëèíåéíûé äâóõïîëþñíèê ìîæåò ñîäåðæàòü èñòî÷íèêè ýëåêòðè÷å-

ñêîé ýíåðãèè, âçàèìíî êîìïåíñèðóþùèåñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî íàïðÿæåíèå íà

åãî ðàçîìêíóòûõ çàæèìàõ ðàâíî íóëþ.

Îãîâîðêà î âîçìîæíîñòè íàëè÷èÿ âçàèìíî êîìïåíñèðóþùèõñÿ èñòî÷íèêîâ,

ïðè êîòîðûõ äâóõïîëþñíèê îñòàåòñÿ ïàññèâíûì, íåîáõîäèìà, òàê êàê ñàìà èäåÿ

ïðåäñòàâëåíèÿ öåëîé ÷àñòè öåïè êàê äâóõïîëþñíèêà çàêëþ÷àåòñÿ â ðàññìîòðå-

íèè îáùèõ ñâîéñòâ ýòîé ÷àñòè öåïè ëèøü ñî ñòîðîíû åå âõîäíûõ çàæèìîâ. Ýòà

îãîâîðêà îòíîñèòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ê ëèíåéíûì öåïÿì, ïîòîìó ÷òî â íåëèíåé-

íûõ öåïÿõ òàêàÿ êîìïåíñàöèÿ ìîæåò áûòü òîëüêî äëÿ îäíîãî èëè òîëüêî äëÿ íå-

ñêîëüêèõ îïðåäåëåííûõ ðåæèìîâ è íå áóäåò èìåòü ìåñòà äëÿ äðóãèõ ðåæèìîâ,

òàê êàê ïàðàìåòðû íåëèíåéíîé öåïè çàâèñÿò îò òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ.

 ãë. 13, ò. II ââåäåì àíàëîãè÷íî ïîíÿòèå ÷åòûðåõïîëþñíèêà êàê îáîáùåííîãî

ýëåìåíòà öåïè.

3.10. Òîïîëîãè÷åñêèå ïîíÿòèÿ ñõåìû

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ãðàô ñõåìû

 ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåìàõ öåïè èëè â ñõåìàõ çàìåùåíèÿ óçëû èçîáðàæàþòñÿ òî÷-

êàìè. Â ñëîæíûõ ñõåìàõ, ãäå âîçìîæíû âçàèìíûå ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé, èçîáðà-

æàþùèõ ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà, äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èõ ýëåêòðè-

÷åñêèõ ñîåäèíåíèé òàêæå èñïîëüçóþòñÿ òî÷êè (íàïðèìåð, òî÷êè

à

,

b

,

ñ

,

d

,

å

,

f

,

g

,

à

¢

,

b

¢

,

ñ

¢

íà ðèñ. 3.19,

à

). Ôîðìàëüíî âñå ýòè òî÷êè òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòü óçëàìè

ñõåìû. Îñîáåííîñòü òàêèõ ìíèìûõ óçëîâ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíè ñîåäèíåíû

ó÷àñòêàìè öåïè, ãäå ïðîòåêàþò òîêè è íåò íàïðÿæåíèé, òàê êàê ñîïðîòèâëåíèå

òàêèõ ó÷àñòêîâ ñ÷èòàåì ðàâíûì íóëþ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïîòåíöèàëû òàêèõ óçëîâ

ðàâíû, è èõ ìîæíî èçîáðàçèòü îäíèì óçëîì, íåñêîëüêî âèäîèçìåíèâ ñõåìó. Íà

ðèñ. 3.19,

à

ìîæíî îáúåäèíèòü óçëû

à

,

b

,

ñ

â îäèí,

b

¢

,

à

¢

,

ñ

¢

— â äðóãîé è

d

,

å

,

f

,

g

—

â òðåòèé (ðèñ. 3.21).

×òîáû ñäåëàòü áîëåå íàãëÿäíûì èçîáðàæåíèå âçàèìíûõ ñîåäèíåíèé âåòâåé

ñõåìû, öåëåñîîáðàçíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå òàêîå èçîáðàæåíèå ñõåìû ýëåêòðè-

÷åñêîé öåïè, â êîòîðîì âåòâè ñõåìû ïðåäñòàâëåíû îòðåçêàìè — âåòâÿìè ãðàôà,

à óçëû — òî÷êàìè — óçëàìè ãðàôà. Òàêîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ñõåìû

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íîñèò íàçâàíèå ã ð à ô à ý ë å ê ò ð è ÷ å ñ ê î é ñ õ å ì û èëè

êîðî÷å — ã ð à ô à ñ õ å ì û.

Çàìåòèì, ÷òî íà òîïîëîãè÷åñêîé ñõåìå èñòî÷íèêè ÝÄÑ è òîêà íå èçîáðàæà-

þòñÿ. Ïðè ýòîì âåòâü ñ èñòî÷íèêîì ÝÄÑ ñîõðàíÿåòñÿ. Âåòâè æå ñ èäåàëüíûìè

èñòî÷íèêàìè òîêà âîîáùå íå âõîäÿò â òîïîëîãè÷åñêóþ ñõåìó, òàê êàê âíóòðåí-

íÿÿ ïðîâîäèìîñòü òàêèõ èñòî÷íèêîâ ðàâíà íóëþ è, ñîîòâåòñòâåííî, ñîïðîòèâëå-

íèå òàêèõ âåòâåé ðàâíî áåñêîíå÷íîñòè.

Ãðàô, ìåæäó ëþáîé ïàðîé óçëîâ êîòîðîãî èìååòñÿ âåòâü èëè ñîâîêóïíîñòü

âåòâåé, íàçûâàþò ñ â ÿ ç í û ì.

Åñëè íà ãðàôå èìååòñÿ óêàçàíèå óñëîâíî-ïîëîæèòåëüíûõ íàïðàâëåíèé òîêîâ

èëè íàïðÿæåíèé â âèäå îòðåçêîâ ñî ñòðåëêàìè, òî òàêîé ãðàô íàçûâàþò í à -

ï ð à â ë å í í û ì ã ð à ô î ì ñ õ å ì û.

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

153

Íàïðàâëåííûé ãðàô ñõåìû (ðèñ. 3.21,

à

) ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 3.21,

á

. Ìîæíî

çàìåòèòü, ÷òî âñëåäñòâèå îñîáåííîñòè ó÷åòà ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè ãðàô ñõå-

ìû (ðèñ. 3.21,

à

) ðàñïàäàåòñÿ íà òðè ðàçäåëüíûå, ò. å. íåñâÿçàííûå, ÷àñòè.

Óñëîâèìñÿ âïðåäü íà ãðàôå ñõåìû óçëû íóìåðîâàòü ÷èñëàìè â êðóæêàõ, ñòîÿ-

ùèõ ó ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâ, à âåòâè — ÷èñëàìè áåç êðóæêîâ. Íà ãðàôå ñõåìû

(ðèñ. 3.21,

á

) èìååì 7 óçëîâ è 14 âåòâåé.

Âàæíûì òîïîëîãè÷åñêèì ïîíÿòèåì ãðàôà ñõåìû ÿâëÿåòñÿ ä å ð å â î ã ð à ô à

ñ õ å ì û, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé ëþáóþ ñîâîêóïíîñòü âåòâåé ãðàôà, ñîåäèíÿþ-

ùèõ âñå óçëû ãðàôà áåç îáðàçîâàíèÿ êîíòóðîâ. Îäèí è òîò æå ãðàô ñõåìû ìîæåò

èìåòü ðàçëè÷íûå äåðåâüÿ. Óñëîâèìñÿ âåòâè ãðàôà ñõåìû, îáðàçóþùèå äåðåâî,

èçîáðàæàòü æèðíûìè ëèíèÿìè.

Âåòâè, äîïîëíÿþùèå äåðåâî ãðàôà äî ïîëíîãî ãðàôà è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ïðè-

íàäëåæàùèå äåðåâó ãðàôà, ïðèíÿòî íàçûâàòü ñ â ÿ ç ÿ ì è ã ð à ô à ñ õ å ì û. Óñëî-

âèìñÿ òàêèå âåòâè èçîáðàæàòü ïóíêòèðíûìè, ëèáî òîíêèìè ëèíèÿìè. Î÷åâèä-

íî, ÷òî êàæäîìó äåðåâó ãðàôà ñõåìû ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ñîâîêóïíîñòü ñâÿçåé

ãðàôà ñõåìû, íàçûâàåìàÿ êî-ãðàôîì ñõåìû, èëè äîïîëíÿþùèì ãðàôîì ñõåìû.

Íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà ðèñ. 3.22,

á

â äîïîëíÿþùèé ãðàô âîéäóò âåòâè (ñâÿçè ãðà-

ôà), ñîåäèíÿþùèå óçëû

ab

,

bf

,

fd

,

da

,

fa

è

bd

. Íà ðèñ. 3.21,

â

âûäåëåíî îäíî èç

ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ äåðåâüåâ ãðàôà ñõåìû.

Íà ðèñ. 3.22 ïðèâåäåíû ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà (

à

) è ãðàô ýòîé ñõåìû ñ äâóìÿ

ðàçëè÷íûìè äåðåâüÿìè ãðàôà ñõåìû (

á

è

â

).

Åñëè ñâÿçíûé ãðàô èìååò

p

âåòâåé è

q

óçëîâ, òî â åãî äåðåâå áóäåò

q

– 1 âåò-

âåé, à ÷èñëî ñâÿçåé îêàæåòñÿ ðàâíûì

n

=

p

– (

q

– 1). Ýòè óòâåðæäåíèÿ âûòåêàþò

154

×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðèñ. 3.21

èç ñàìèõ îïðåäåëåíèé äåðåâà è ñâÿçåé ãðàôà ñõåìû, òàê êàê

q

óçëîâ ñõåìû ìîãóò

áûòü ñîåäèíåíû ìèíèìóì

q

– 1 âåòâÿìè äåðåâà, à ê ñâÿçÿì îòíåñåíû âñå îñòàëü-

íûå

p

– (

q

– 1) âåòâåé ãðàôà ñõåìû. Íàïðèìåð, â îòäåëüíûõ ÷àñòÿõ íåñâÿçíîãî

ãðàôà ñõåìû, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.21,

â

, èìååì: â ëåâîé ÷àñòè ãðàôà

p

=

2,

q

=

2,

n

=

2 – (2 – 1)

=

1; â ñðåäíåé ÷àñòè

p

=

8,

q

=

3,

n

=

8 – (3 – 1)

=

6; â ïðàâîé

÷àñòè

p

=

4,

q

=

2,

n

=

4 – (2 – 1)

=

3.

Çàìåòèì, ÷òî ýòèõ ñîîòíîøåíèé íåò äëÿ

ãðàôà ñõåìû â öåëîì. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ

âñåãî ãðàôà ñõåìû èìååì

p

=

14,

q

=

7 è

n

=

14 – (7 – 1)

=

8, â òî âðåìÿ êàê ÷èñëî ñâÿ-

çåé ðàâíî 1 + 6 + 3

=

10. Äëÿ íå ñâÿçàííûõ â

òîïîëîãè÷åñêîì ñìûñëå (îäíàêî ñâÿçàííûõ

ýëåêòðîìàãíèòíûìè èëè äðóãèìè ÿâëåíèÿ-

ìè) ãðàôîâ ñõåìû ÷èñëî ñâÿçåé ðàâíî

n

=

p

– (

q

– 1) +

N

– 1

=

p

–

q

+

N

, ãäå

N

— ÷èñ-

ëî îòäåëüíûõ òîïîëîãè÷åñêè íå ñâÿçàííûõ

÷àñòåé ãðàôà ñõåìû. Â äàííîì ñëó÷àå

N

=

3, è ïîýòîìó

n

=

14 – (7 – 1) + 3 – 1

=

10.

Äëÿ ñõåìû ðèñ. 3.22 èìååì

p

=

10,

q

=

5 è

n

=

6.

3.11. Ìàòðèöà óçëîâûõ ñîåäèíåíèé

Èçîáðàæåíèå ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû ãðàôîì ñõåìû äàåò âîçìîæíîñòü ïðåäñòà-

âèòü èõ â âèäå íåêîòîðîé òàáëèöû. Ñîñòàâèì ýòó òàáëèöó ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Ðàçäåëèì òàáëèöó ïî ãîðèçîíòàëè íà

q

ñòðîê ñîãëàñíî ÷èñëó óçëîâ ãðàôà. Ðàçäå-

ëèì òàáëèöó ïî âåðòèêàëè íà

ð

ñòîëáöîâ ñîãëàñíî ÷èñëó âåòâåé ãðàôà ñõåìû.

Ïðîíóìåðóåì ñòðîêè òàáëèöû ñîãëàñíî íîìåðàì óçëîâ, à ñòîëáöû — ñîãëàñíî

íîìåðàì âåòâåé. Óñëîâèìñÿ íóìåðîâàòü ÿ÷åéêè ýòîé òàáëèöû äâîéíûì èíäåê-

ñîì (

j

,

k

). Çäåñü è âïðåäü ïåðâûé èíäåêñ óêàçûâàåò íîìåð ñòðîêè òàáëèöû, à âòî-

ðîé — íîìåð ñòîëáöà. Çàïîëíèì ýòó òàáëèöó, ñîáëþäàÿ ñëåäóþùèå ïðàâèëà. Çà-

ïèøåì â ÿ÷åéêó

jk

âåëè÷èíó +1, åñëè

k

-ÿ âåòâü ñîåäèíåíà ñ

j

-ì óçëîì è ñòðåëêà

âåòâè ãðàôà íàïðàâëåíà îò

j

-ãî óçëà. Çàïèøåì â ÿ÷åéêó

jk

âåëè÷èíó –1, åñëè

k

-ÿ

âåòâü ñîåäèíåíà ñ

j

-ì óçëîì è ñòðåëêà âåòâè ãðàôà íàïðàâëåíà ê

j

-ìó óçëó. ß÷åé-

êó

jk

îñòàâèì ïóñòîé (óñëîâíî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ïóñòûå ÿ÷åéêè çàïîëíåíû

íóëÿìè), åñëè

k

-ÿ âåòâü íå ñîåäèíåíà ñ

j

-ì óçëîì. Ïðè ñîáëþäåíèè ýòèõ ïðàâèë

äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.23,

à

, òàáëèöà åå ãðàôà (ðèñ. 3.23,

á

,

â

) áóäåò

èìåòü âèä

Âåòâè

1

2

3

4

5

6

Ó

çëû

1

1

1

–1

2

–1

1

–1

3

–1

1 –1

4

–1

1

1

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

155

Ðèñ. 3.22

Íîìåðà ñòðîê, íàáðàííûå ïîëóæèðíûì øðèôòîì, ñîîòâåòñòâóþò íîìåðàì

óçëîâ.

Îòìåòèì íåêîòîðûå õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè ýòîé òàáëèöû. Â êàæäîì

ñòîëáöå ìîãóò áûòü òîëüêî äâå íåíóëåâûå (íå ïóñòûå) ÿ÷åéêè, òàê êàê êàæäàÿ

âåòâü ìîæåò áûòü ñîåäèíåíà òîëüêî ñ äâóìÿ óçëàìè. Ñóììà ÷èñåë ÿ÷ååê êàæäîãî

ñòîëáöà ðàâíà íóëþ, òàê êàê ñòðåëêà êàæäîé âåòâè áóäåò íàïðàâëåíà îò îäíîãî

óçëà ê äðóãîìó è, ñëåäîâàòåëüíî, â îäíîé ÿ÷åéêå áóäåì èìåòü +1, à â äðóãîé —

îáÿçàòåëüíî –1. Èìåÿ â âèäó ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, ìîæíî çàïîëíèòü òîëüêî

q

– 1

ñòðîê òàáëèöû, òàê êàê

q

-ÿ ñòðîêà âñåãäà ìîæåò áûòü âîññòàíîâëåíà òàêèì îáðà-

çîì, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë êàæäîãî ñòîëáöà ñòàëà ðàâíîé íóëþ. Òàáëèöå ñîåäèíå-

íèé ìîæíî ïðèäàòü ñìûñë ìàòåìàòè÷åñêîé âåëè÷èíû — ìàòðèöû.

Íàçîâåì ìàòðèöåé óçëîâûõ ñîåäèíåíèé ïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó, ñòðîêè êîòî-

ðîé ñîîòâåòñòâóþò óçëàì áåç îäíîãî, à ñòîëáöû — âåòâÿì íàïðàâëåííîãî ãðàôà

ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû íóëþ, åäèíèöå èëè ìèíóñ åäèíèöå,

åñëè äàííàÿ âåòâü, ñîîòâåòñòâåííî, íå ñîåäèíåíà ñ äàííûì óçëîì, íàïðàâëåíà îò

äàííîãî óçëà, íàïðàâëåíà ê äàííîìó óçëó

.

Îáîçíà÷èì ìàòðèöó óçëîâûõ ñîåäèíåíèé æèðíîé áóêâîé

À

. Äëÿ ãðàôà ñõåìû

(ðèñ. 3.23) èìååì

A

=

=

-

-

-

-

-

=

a

jk

1 0

1 0

0

1

1

1 0

1 0

0

0

0

1

1

1 0

1

2

3

4

5

6

1

1

1

–1

=

2

–1

1

–1

q

– 1 ñòðîê

3

–1

1 –1

p

ñòîëáöîâ

156

×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðèñ. 3.23

Ìàòðèöà óçëîâûõ ñîåäèíåíèé èìååò ïîðÿäîê (

q

– 1)

´

ð

, êîòîðûé îïðåäåëÿåò-

ñÿ ÷èñëîì ñòðîê ìàòðèöû (

q

– 1) è ÷èñëîì ñòîëáöîâ ìàòðèöû (

p

). Óñëîâíóþ çà-

ïèñü (

q

– 1)

´

ð

íå ñëåäóåò ïóòàòü ñ óìíîæåíèåì ÷èñåë. Íàïðèìåð, ïîðÿäîê ìàò-

ðèöû óçëîâûõ ñîåäèíåíèé ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 3.23) ðàâåí 3

´

6, íî íå ðàâåí 3

×

6

=

=

18. Ýëåìåíòû ìàòðèöû îáîçíà÷èì áóêâîé

à

jk

. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ìàòðè-

öû

À

, èìååì

à

jk

=

1, èëè

à

jk

=

–1, èëè

à

jk

=

0.

Åñëè ïðè ïîñòðîåíèè òàáëèöû ñîåäèíåíèé ñòðîêàì ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå

âåòâè ãðàôà ñõåìû, à ñòîëáöàì — óçëû, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ òàêîé òàáëèöå ìàòðè-

öà áóäåò ò ð à í ñ ï î í è ð î â à í í î é ì à ò ð è ö å é

À

. Îáîçíà÷èì òàêóþ òðàíñïî-

íèðîâàííóþ ìàòðèöó ÷åðåç

À

t

. Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 3.23) èìååì

1

2

3

1 –1

0

1

1 –1

0

1

0

2

1

A

t

=

||

a

jk

||

t

=

1

0 –1

=

3

1

–1

0 –1

1

4

–1

1

0

0 –1

5

–1

–1

0

0

6 –1

3.12. Çàêîíû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ïðè ðàñ÷åòå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èñïîëüçóþòñÿ äâà çàêîíà Êèðõãîôà. Ðàññìîò-

ðèì èõ â ïðèìåíåíèè ê öåïè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè.

Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà

, èëè çàêîí Êèðõãîôà äëÿ óçëîâ, ïðèìåíèòåëüíî ê óç-

ëàì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âûòåêàåò èç ïðèíöèïà íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî

òîêà (ñì. § 1.7). Îõâàòèì óçåë öåïè çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ

s

(ðèñ. 3.24). Â ñî-

îòâåòñòâèè ñ ïðèíÿòûìè äîïóùåíèÿìè âñÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü â öåïè ñ ñî-

ñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè ïðåäïîëàãàåòñÿ ñîñðåäîòî÷åííîé

â êîíäåíñàòîðàõ, âêëþ÷åííûõ â öåïü. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïðåíåá-

ðåæåíèþ òîêàìè ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ, îòõîäÿùèìè îò ñî-

åäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ê äðóãèì ó÷àñòêàì öåïè. Òàêèì îáðà-

çîì, ñêâîçü çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü

s

ïðîõîäÿò òîëüêî òîêè

ïðîâîäèìîñòè â ïðîâîäíèêàõ, ïåðåñåêàþùèõ ýòó ïîâåðõíîñòü.

Ñîãëàñíî ïðèíöèïó íåïðåðûâíîñòè òîêà, â äàííîì ñëó÷àå ïîëó-

÷àåì

J

d

i

i

i

s

s

= + +

=

ò

1

2

3

0.

Ïðè ëþáîì ÷èñëå

ï

âåòâåé, ïðèñîåäèíåííûõ ê óçëó öåïè, èìååì

i

k

k

n

=

å

=

1

0,

ò. å.

ñóììà òîêîâ, ðàñõîäÿùèõñÿ îò óçëà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ðàâíà íóëþ

, ÷òî

è ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëèðîâêîé ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà.

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

157

Ðèñ. 3.24