Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

(

)

Ai

A

= - Á

Á

= -

Á

-

=

=

å

å

èëè

,

= 1

1 .

a i

a

jk k

k

p

jk

k

k

p

1

1

j

q

K

 òàêîé ôîðìå çàïèñè ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà èñòî÷íèêè òîêà ñïåöèàëüíî

âûäåëåíû.

3.14. Êîíòóðíûå óðàâíåíèÿ öåïè. Ìàòðèöà êîíòóðîâ

Ïðèìåíÿÿ âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà, ìîæíî ñîñòàâèòü ñòîëüêî óðàâíåíèé, ñêîëü-

êî èìååòñÿ êîíòóðîâ â öåïè. Îäíàêî ïðè ýòîì îäíè óðàâíåíèÿ ìîãóò îêàçàòüñÿ

ñëåäñòâèÿìè äðóãèõ. Íåçàâèñèìîñòü óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðîâ, èëè, êàê ãîâîðÿò,

íåçàâèñèìîñòü êîíòóðîâ, áóäåò îáåñïå÷åíà, åñëè ýòè êîíòóðû âûáèðàòü òàê, ÷òî-

áû êàæäûé ïîñëåäóþùèé îòëè÷àëñÿ îò ïðåäûäóùèõ, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíîé

íîâîé âåòâüþ. Íàèáîëåå ïðîñòî òàêîé âûáîð ìîæíî îñóùåñòâèòü, åñëè âîñïîëü-

çîâàòüñÿ ñâîéñòâàìè äåðåâà ãðàôà, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàêóþ ñîâîêóï-

íîñòü âåòâåé, êîòîðàÿ íå îáðàçóåò êîíòóðîâ. Äîáàâëåíèå ëþáîé ñâÿçè ãðàôà ñõå-

ìû ñîçäàåò êîíòóð, êîòîðûé îáðàçóåòñÿ îäíîé ñâÿçüþ è âåòâÿìè äåðåâà ãðàôà

ñõåìû.

Íà ðèñ. 3.28,

à

äîáàâëåíèå ñâÿçè

4

îáðàçóåò êîíòóð

4

, êóäà âõîäÿò âåòâè äåðå-

âà

1

è

3

. Íà ðèñ. 3.28,

á

äîáàâëåíèå ñâÿçè

5

îáðàçóåò êîíòóð

5

, êóäà âõîäÿò âåòâè

äåðåâà

1

,

2

è

3

. Íà ðèñ. 3.28,

â

äîáàâëåíèå ñâÿçè

6

îáðàçóåò êîíòóð

6

, êóäà âõîäÿò

âåòâè äåðåâà

1

è

2

. Òàêèì îáðàçîì,

÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ îïðåäåëÿåòñÿ

÷èñëîì ñâÿçåé â êàæäîì ñâÿçíîì ãðàôå ñõåìû

, ò. å.

n

=

p

– (

q

– 1).

Çàïèøåì êîíòóðíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ãðàôà ñõåìû. Îáîçíà÷èì íàïðÿæåíèÿ âåò-

âåé ãðàôà ñõåìû ÷åðåç ~

u

k

. Êîíòóðíûå óðàâíåíèÿ ïðîíóìåðóåì ñîãëàñíî íîìåðàì

âåòâåé-ñâÿçåé. Îáõîä êîíòóðà ïðîèçâåäåì òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàïðàâëåíèå

ñâÿçè ñîâïàëî ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà. Â êîíòóðíîå óðàâíåíèå íàïðÿæåíèå âåòâè

âîéäåò ñî çíàêîì «ïëþñ», åñëè íàïðàâëåíèÿ îáõîäà è ñòðåëêè âåòâè ñîâïàäàþò,

â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàïðÿæåíèå âîéäåò ñî çíàêîì ìèíóñ. Ó÷òåì ýòî îáñòîÿòåëü-

ñòâî â çàïèñè óðàâíåíèé ââåäåíèåì êîýôôèöèåíòîâ

ñ

sk

, ãäå

s

— íîìåð ñâÿçè;

k

—

íîìåð âåòâè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî

ñ

sk

=

1, åñëè

k

-ÿ âåòâü âõîäèò â

s

-é êîíòóð ñîãëàñ-

íî åãî îáõîäó;

ñ

sk

=

–1, åñëè

k

-ÿ âåòâü âõîäèò â

s

-é êîíòóð ïðîòèâ îáõîäà;

ñ

sk

=

0,

åñëè

k

-ÿ âåòâü íå âõîäèò â

s

-é êîíòóð. Ïðè òàêîì ïîäõîäå âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà

äëÿ ãðàôà ñõåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

c u

s q

p

sk k

k

p

~

,

.

=

å

=

=

1

0

K

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

163

Ðèñ. 3.28

Äëÿ êîíòóðà

4

(ðèñ. 3.28,

à

) èìååì

- +

+

=

= -

=

=

~

~

~

;

,

,

.

u

u

u

c

c

c

1

3

4

41

43

44

0

1

1

1

Äëÿ êîíòóðà

5

(ðèñ. 3.28,

á

)

~

~

~

~

;

,

,

.

u

u

u

u

c

c

c

c

1

2

3

5

51

52

53

55

0

1

1

1

1

+

-

+

=

=

=

= -

=

Äëÿ êîíòóðà

6

(ðèñ. 3.28,

â

)

~

~

~

;

,

,

.

u

u

u

c

c

c

1

2

6

61

62

66

0

1

1

1

+

+

=

=

=

=

Ñîñòàâèì òàáëèöó èç êîýôôèöèåíòîâ

ñ

sk

. Ïðîíóìåðóåì ñòðîêè ýòîé òàáëèöû

íîìåðàìè ñâÿçåé ãðàôà öåïè, à ñòîëáöû — íîìåðàìè âåòâåé ãðàôà öåïè.

Òàêóþ

ïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó, ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò ñâÿçÿì, à ñòîëáöû —

âåòâÿì íàïðàâëåííîãî ãðàôà ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû

íóëþ, åäèíèöå èëè ìèíóñ åäèíèöå, åñëè ïðè îáõîäå êîíòóðà, îáðàçîâàííîãî äàííîé

ñâÿçüþ è âåòâÿìè äåðåâà, âäîëü ñâÿçè âåòâü, ñîîòâåòñòâåííî, íå âõîäèò â êîíòóð,

âõîäèò â êîíòóð ñîãëàñíî îáõîäó, âõîäèò â êîíòóð ïðîòèâ îáõîäà, íàçûâàþò

ìàòðèöåé êîíòóðîâ

.

Îáîçíà÷èì ìàòðèöó êîíòóðîâ áóêâîé

Ñ

.

Ïðåäñòàâèì íàïðÿæåíèÿ âåòâåé ãðàôà ñõåìû â âèäå ìàòðèöû, ñîñòîÿùåé èç

ð

ñòðîê è îäíîãî ñòîëáöà:

~

~

~

~

.

u

=

=

u

u

u

k

p

1

M

Êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû êîíòóðîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîýôôèöèåíòû ó íà-

ïðÿæåíèé âåòâåé ãðàôà â óðàâíåíèè, çàïèñàííîì ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó

Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà, êîòîðûé îáðàçîâàí ñâÿçüþ, íîìåð êîòîðîé îïðåäåëÿåò

íîìåð ñòðîêè ìàòðèöû êîíòóðîâ. Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ïðàâèëàì ìàòðè÷íîãî

óìíîæåíèÿ, êàæäîå êîíòóðíîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

~

u

1

M

=

=

=

å

c u

sk k

k

p

~

.

1

0

s c

s

1

L

c

sk

L

c

sp

´

~

u

k

=

+ +

+ +

c u

c u

c u

s

sk k

sp p

1 1

~ ...

~

...

~

âåêòîð-ñòðîêà (1

´

ð

)

M

ìàòðèöà (1

´

1)

~

u

p

âåêòîð-ñòîëáåö (

ð

´

1)

Òàêèå ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîæåì çàïèñàòü äëÿ âñåõ

ï

ñâÿçåé ãðàôà ñõåìû.

 ìàòðè÷íîé ôîðìå ïîëó÷åííóþ â èòîãå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü

â âèäå

Cu 0

~

.

=

Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ñì. ðèñ. 3.23,

â

) èìååì

164

×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

~

u

1

1

2

3 4

5

6

~

u

2

4 –1

1

1

~

u

3

-

+

+

~

~

~

u

u

u

1

3

4

0

C~u

=

5

1

1 –1

1

´

~

u

4

=

~

~

~

~

u

u

u

u

1

2

3

5

+

-

+

=

0

=

0

.

6

1

1

1

~

u

5

~

~

~

u

u

u

1

2

6

+

+

0

~

u

6

Çäåñü êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ

Cu

~ îïðåäåëÿåò óðàâíåíèå äëÿ

ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíòóðà ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà.

Äëÿ

k

-é îáîáùåííîé âåòâè ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå

~

,

u

u

e

k

k

k

=

-

ãäå

u

k

— íàïðÿæåíèå â ïàññèâíîé ÷àñòè âåòâè

k

, à

å

k

— ÝÄÑ â âåòâè

k

, ïðè÷åì

u

k

è

å

k

íàïðàâëåíû ñîãëàñíî íàïðàâëåíèþ âåòâè ãðàôà.

Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü êîíòóðíûõ óðàâíåíèé äëÿ íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ â âåòâÿõ

ñõåìû áóäåò èìåòü âèä

Cu Cu Ce 0

~

,

=

-

=

ãäå

~

~

~

(

)

(

)

(

)

(

u

u

e

0

=

=

=

=

´

´

´

´

u

u

u

u

e

e

p

p

p

p

p

p

n

1

1

1

;

;

;

M

M

M

M

1

1

1

0

0

1)

.

Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå è â âèäå

Cu Ce

=

=

=

=

=

å

å

èëè

c u

c e

s q p

sk k

k

p

sk k

k

p

1

1

,

... .

÷òî ÿâëÿåòñÿ óæå íàïèñàííûì â § 3.12 óðàâíåíèåì äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíòó-

ðà öåïè.

3.15. Óðàâíåíèÿ äëÿ òîêîâ â ñå÷åíèÿõ öåïè. Ìàòðèöà ñå÷åíèé

Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàí íå òîëüêî ïðèìåíèòåëüíî

ê îòäåëüíûì óçëàì öåïè, íî è ê ñîâîêóïíîñòè óçëîâ. Â ýòîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü,

äëÿ êîòîðîé çàïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèå

J

d

i

k

s

=

=

å

ò

0,

áóäåò îõâàòûâàòü ñîâîêóïíîñòü óçëîâ è ðàññå÷åò (ðàçðåæåò) öåïü èëè ãðàô ñõå-

ìû íà äâå ÷àñòè. Ñå÷åíèÿ íà ðèñóíêàõ îáîçíà÷èì øòðèõîâûìè çàìêíóòûìè ëè-

íèÿìè, ïðåäñòàâëÿþùèìè ñîáîé ñëåäû çàìêíóòûõ ïîâåðõíîñòåé. Íà ðèñ. 3.27

è 3.30 øòðèõîâûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû ñëåäû òàêèõ ïîâåðõíîñòåé. Ñå÷åíèé

â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èëè â ãðàôå ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû ìîæåò áûòü ìíîæåñòâî.

Êàæäîìó ñå÷åíèþ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü îäíî óðàâíåíèå, âûðàæàþùåå ðàâåíñò-

âî íóëþ ñóììû òîêîâ âåòâåé, ðàññåêàåìûõ äàííûì ñå÷åíèåì.

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

165

Ðàíåå ìû âûÿñíèëè, ÷òî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ñîãëàñíî ïåðâîìó çà-

êîíó Êèðõãîôà, ðàâíî

q

– 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé äëÿ

ñå÷åíèé òàêæå äîëæíî áûòü ðàâíî

q

– 1, òàê êàê êàæäîå óðàâíåíèå äëÿ ñå÷åíèÿ

ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñóììèðîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâûõ óðàâíåíèé äëÿ

óçëîâ, îõâà÷åííûõ ñå÷åíèåì. ×òîáû óïðîñòèòü âûáîð ñå÷åíèé, öåëåñîîáðàçíî

ïðîâîäèòü èõ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êàæäîå ñå÷åíèå ðàçðåçàëî òîëüêî îäíó âåòâü

äåðåâà. Ïðè ýòîì ÷èñëî ñå÷åíèé áóäåò ðàâíî ÷èñëó âåòâåé äåðåâà. Óñëîâèìñÿ íó-

ìåðîâàòü ñå÷åíèÿ íîìåðàìè âåòâåé äåðåâà. Óñëîâèìñÿ òàêæå òåðìèí

íàïðàâëå-

íèå âåòâè

ïðèìåíÿòü â êà÷åñòâå ñèíîíèìà òåðìèíà

íàïðàâëåíèå òîêà â âåòâè

.

Íàïðàâèì íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè ñå÷åíèÿ âíóòðü èëè íàðóæó â çàâèñèìîñòè îò

íàïðàâëåíèÿ âåòâè äåðåâà. Òîãäà â óðàâíåíèå äëÿ òîêîâ â ñå÷åíèè òîê âåòâè äå-

ðåâà è òîêè âåòâåé, îðèåíòèðîâàííûå ïî îòíîøåíèþ ê ñå÷åíèþ òàê æå, êàê è òîê

âåòâè äåðåâà, âîéäóò ñî çíàêîì «ïëþñ». Âñå îñòàëüíûå òîêè âîéäóò â óðàâíåíèå

ñî çíàêîì «ìèíóñ». Òîêè âåòâåé, íå ðàçðåçàåìûõ ñå÷åíèåì, íå âîéäóò â óðàâíå-

íèå. Ó÷òåì ýòî îáñòîÿòåëüñòâî â çàïèñè óðàâíåíèé ââåäåíèåì êîýôôèöèåí-

òîâ

d

mk

, ãäå

m

— íîìåð âåòâè äåðåâà, îïðåäåëÿþùèé íîìåð ñå÷åíèÿ;

k

— íîìåð

âåòâè. Ïðè÷åì

d

mk

=

±1, åñëè

k

-ÿ âåòâü ðàçðåçàåòñÿ

m

-ì ñå÷åíèåì, è

d

mk

=

0, åñëè

k

-ÿ âåòâü íå âõîäèò â

m

-å ñå÷åíèå. Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ òîêîâ ñå÷åíèé ìîæíî çà-

ïèñàòü â âèäå

(

)

d i

m

q

mk k

k

p

~

,

...

.

=

å

=

=

-

1

0

1

1

Äëÿ ãðàôà ñõåìû, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.29, äëÿ ñå÷åíèÿ

1

, ãäå òîê ~

i

1

âûõî-

äèò èç ñå÷åíèÿ, èìååì

~ ~ ~ ~

;

,

,

,

.

i

i

i

i

d

d

d

d

1

4

5

6

11

14

15

16

0

1

1

1

1

+ - -

=

=

=

= -

= -

Äëÿ ñå÷åíèÿ

2

, ãäå òîê ~

i

2

âõîäèò â ñå÷åíèå,

~ ~ ~

;

,

,

.

i

i

i

d

d

d

2

5

6

22

25

26

0

1

1

1

- -

=

=

= -

= -

Äëÿ ñå÷åíèÿ

3

, ãäå òîê ~

i

3

âõîäèò â ñå÷åíèå,

~ ~ ~

;

,

,

.

i

i

i

d

d

d

3

4

5

33

34

35

0

1

1

1

- +

=

=

= -

=

Ñîñòàâèì òàáëèöó èç êîýôôèöèåíòîâ

d

mk

. Ïðîíóìåðóåì ñòðîêè ýòîé òàáëèöû

ñîãëàñíî íîìåðàì âåòâåé äåðåâà, à ñòîëáöû — ñîãëàñíî íîìåðàì âåòâåé ãðàôà

ñõåìû.

Ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà, ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò âåòâÿì äåðåâà,

à ñòîëáöû — âåòâÿì íàïðàâëåííîãî ãðàôà ýëåêòðè-

÷åñêîé ñõåìû, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû íóëþ, åäè-

íèöå, ìèíóñ åäèíèöå, åñëè ïðè îáðàçîâàíèè çàìêíó-

òîé ïîâåðõíîñòè, ðàçðåçàþùåé òîëüêî îäíó âåòâü

äåðåâà è ñâÿçè ãðàôà, âåòâü, ñîîòâåòñòâåííî, íå ðàç-

ðåçàåòñÿ, ðàçðåçàåòñÿ è íàïðàâëåíà ê ïîâåðõíîñòè

ñîãëàñíî äàííîé âåòâè äåðåâà, ðàçðåçàåòñÿ è íà-

ïðàâëåíà ê ïîâåðõíîñòè ïðîòèâ äàííîé âåòâè

ãðàôà, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñå÷åíèé

.

Îáîçíà÷èì ìàòðèöó ñå÷åíèé áóêâîé

D

. Ïðåä-

ñòàâèì òîêè âåòâåé ãðàôà ñõåìû â âèäå ìàòðèöû,

ñîñòîÿùåé èç

p

còðîê è îäíîãî ñòîëáöà.

166

×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðèñ. 3.29

Êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû ñå÷åíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîýôôèöèåíòû ó òîêîâ

âåòâåé â óðàâíåíèè äëÿ ñå÷åíèÿ, íîìåð êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ íîìåðîì âåòâè

äåðåâà. Ñîãëàñíî ïðàâèëàì ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ, êàæäîå óðàâíåíèå ñå÷åíèÿ

ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

~

i

1

M

=

=

=

å

d i

mk k

k

p

~

.

1

0

m d

m

1

K

d

mk

K

d

mp

´

~

i

k

=

+ +

+ +

d i

d i

d i

m

mk k

mp p

1 1

~

~

~

K

K

âåêòîð-ñòðîêà (1

´

ð

)

M

ìàòðèöà (1

´

1)

~

i

p

âåêòîð-ñòîëáåö (

ð

´

1)

Òàêèå ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü äëÿ âñåõ

q

– 1 âåòâåé äåðåâà ãðà-

ôà ñõåìû. Â ìàòðè÷íîé ôîðìå ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî ïðåäñòà-

âèòü â âèäå

Di 0

~

.

=

Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 3.29) èìååì

~

i

1

1

2

3 4

5

6

~

i

2

1 1

1 –1 –1

~

i

3

i

i

i

i

~

~

~

~

1

4

5

6

+

-

-

0

D~i

=

2

1

–1 –1

´

~

i

4

=

i

i

i

~

~

~

2

5

6

-

-

=

0

=

0

.

3

1 –1

1

~

i

5

i

i

i

~

~

~

3

4

5

-

+

0

~

i

6

Çäåñü êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïðåäåëÿåò óðàâíåíèå äëÿ òîêîâ

ñå÷åíèÿ ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà.

Äëÿ

k

-é îáîáùåííîé âåòâè ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå

~

,

i

i

k

k

k

=

+ Á

ãäå

i

k

— òîê â ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ

k

-é âåòâè, à

Á

k

— çíà÷åíèå òîêà èñòî÷íèêà

òîêà â

k

-é âåòâè ïðè óñëîâèè, ÷òî

i

k

è

Á

k

íàïðàâëåíû îò îäíîãî è òîãî æå óçëà (ñì.

ðèñ. 3.26).

Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü óðàâíåíèé òîêîâ ñå÷åíèé â ýëåìåíòàõ âåòâåé ñõåìû áóäåò

èìåòü âèä

Di Di D

~

,

=

+ ÁÁ =

0

ãäå

~

~

~

(

)

(

)

(

)

(

i

i

0

=

=

ÁÁ =

Á

Á

=

´

´

´

i

i

i

i

p

p

p

p

p

p

1

1

1

1

1

M

M

M

M

;

;

;

0

0

1

q

- ´

1 1

)

.

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

167