Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê, ÷òî èñòî÷íèêè òîêà áóäóò âûäåëåíû

îñîáî, à èìåííî:

Di

D

= - ÁÁ

.

3.16. Ñâÿçè ìåæäó ìàòðèöàìè ñîåäèíåíèé, êîíòóðîâ è ñå÷åíèé

Äëÿ âûÿñíåíèÿ ñâÿçåé ìåæäó ìàòðèöàìè ïðîèçâåäåì íåêîòîðîå óïîðÿäî÷åíèå

â íóìåðàöèè âåòâåé ãðàôà ñõåìû. Óñëîâèìñÿ âïðåäü íîìåðà îò 1 äî

q

– 1 ïðèïè-

ñûâàòü âåòâÿì äåðåâà è íîìåðà îò

q

äî

p

— ñâÿçÿì ãðàôà. Ïðè òàêîé íóìåðàöèè

ìàòðèöû

À

,

Ñ

è

D

áóäóò ñîñòîÿòü èç äâóõ ïîäìàòðèö (èç äâóõ áëîêîâ):

1

1

M

q

-

1

1

K

q

-

,

q p

K

q

p

M

1

1

K

q

-

,

q p

K

A

=

A

1

A

2

;

C

=

C

1

C

2

;

(

) (

),

q

q

-

´

-

1

1

(

)

q

n

-

´

1

n

q

´

-

(

),

1

(

)

n n

´

1

1

M

q

-

1

1

K

q

-

,

q p

K

D

=

D

1

D

2

.

(

) (

),

q

q

-

´

-

1

1

(

)

q

n

-

´

1

Ñîîòâåòñòâåííî, òîêè (íàïðÿæåíèÿ) ãðàôà ñõåìû òàêæå ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëå-

íû äâóìÿ ñòîëáöîâûìè áëîêàìè — äâóìÿ ïîäìàòðèöàìè. Â ïåðâîì áëîêå-ñòîëáöå

áóäóò ðàñïîëîæåíû òîêè (íàïðÿæåíèÿ) âåòâåé äåðåâà ñ íîìåðàìè îò 1 äî

q

– 1, à âî

âòîðîì áëîêå-ñòîëáöå — òîêè (íàïðÿæåíèÿ) ñâÿçåé ñ íîìåðàìè îò

q

äî

p

:

~

i

=

1

1

M

M

q

q

p

-

~

i

1

(

)

q

-

´

1

1

;

~

u

=

1

1

M

M

q

q

p

-

~

u

1

(

)

q

-

´

1

1

.

~

i

2

(

)

n

´

1

~

u

2

(

)

n

´

1

Ïðè òàêîì ðàçáèåíèè ìàòðèö ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû

â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ áëî÷íûõ ìàòðèö. Ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïðèìåíè-

òåëüíî ê óçëàì ñõåìû èìååì

Çäåñü

A

1

— êâàäðàòíàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà (

q

– 1)

´

(

q

– 1), òàê êàê îíà èìååò

q

– 1 ñòîëáöîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ

q

– 1 âåòâÿì äåðåâà ãðàôà ñõåìû,

q

– 1 ñòðîê,

ñîîòâåòñòâóþùèõ

q

– 1 óçëàì. Ïîäìàòðèöà-ñòîëáåö ~

i

1

òàêæå èìååò

q

– 1 ñòðîê,

ñîîòâåòñòâóþùèõ òîêàì âåòâåé äåðåâà. Ñîîòâåòñòâèå ÷èñëà ñòîëáöîâ ïîäìàò-

ðèöû

A

1

÷èñëó ñòðîê ïîäìàòðèöû ~

i

1

ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ìàòðè÷íîå ïðîèçâåäå-

íèå

A i

1

~

1

. Òî÷íî òàê æå èìååò ñìûñë ïðîèçâåäåíèå

A i

2

~

2

, òàê êàê

A

2

èìååò

n

ñòîëá-

öîâ, à ~

i

2

èìååò

n

ñòðîê, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûõ ÷èñëó ñâÿçåé â ãðàôå ñõåìû.

168

×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìåþò ñìûñë ñëåäóþùèå ìàò-

ðè÷íûå ïðîèçâåäåíèÿ:

Çäåñü, êàê è ðàíåå, ~

i

1

è ~

u

1

— ïîäìàòðèöû-ñòîëáöû òîêîâ è íàïðÿæåíèé âåòâåé

äåðåâà, à ~

i

2

è ~

u

2

— ïîäìàòðèöû-ñòîëáöû òîêîâ è íàïðÿæåíèé ñâÿçåé ãðàôà öåïè.

 ìàòðèöå êîíòóðîâ

C

íîìåð ñòðîêè îïðåäåëÿåòñÿ íîìåðîì ñâÿçè, è ïîñêîëü-

êó â êîíòóð âõîäèò òîëüêî îäíà ñâÿçü, òî î÷åâèäíî, ÷òî â ïîäìàòðèöå

C

2

êàæäàÿ

ñòðîêà áóäåò èìåòü òîëüêî îäèí ïîëîæèòåëüíûé íåíóëåâîé ýëåìåíò. Ýòîò ýëå-

ìåíò áóäåò â òîì ñòîëáöå, íîìåð êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ñâÿçüþ, îáðàçóþùåé äàí-

íûé êîíòóð. Ïî ýòîé ïðè÷èíå âñå íåíóëåâûå ýëåìåíòû ïîäìàòðèöû

C

2

, ðàâíûå 1,

áóäóò ðàñïîëîæåíû ïî äèàãîíàëè ïîäìàòðèöû

C

2

. Òàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ

å ä è í è ÷ í î é, áóäåì îáîçíà÷àòü åå ÷åðåç

1

. Ïîðÿäîê ïîäìàòðèöû

C

2

=

1

ðàâåí

n

´

n

. Îáû÷íî â ëèòåðàòóðå äëÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïðèìåíÿåòñÿ îáîçíà÷åíèå

E

;

îäíàêî, ÷òîáû íå ïóòàòü åäèíè÷íóþ ìàòðèöó ñ ìàòðèöåé ÝÄÑ, áóäåì èñïîëüçî-

âàòü ñèìâîë

1

.

Ïðè ñîñòàâëåíèè ìàòðèöû ñå÷åíèé ñòðîêè íóìåðóþòñÿ ñîãëàñíî íîìåðàì

âåòâåé äåðåâà. Ïîñêîëüêó êàæäàÿ âåòâü äåðåâà âõîäèò òîëüêî â îäíî îïðåäåëÿå-

ìîå íîìåðîì ýòîé âåòâè ñå÷åíèå, ïîäìàòðèöà

D

1

áóäåò èìåòü ñòðîêè ñ îäíèì ïî-

ëîæèòåëüíûì íåíóëåâûì ýëåìåíòîì. Ýòè ýëåìåíòû áóäóò ðàñïîëîæåíû ïî äèà-

ãîíàëè ïîäìàòðèöû

D

1

. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïîäìàòðèöà

D

1

ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íîé

ìàòðèöåé ïîðÿäêà (

q

– 1)

´

(q

– 1).

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü

1

1

M

q

-

1

1

K

q

-

,

q p

K

q

p

M

1

1

K

q

-

,

q p

K

C

=

C

1

1

;

D

=

1

D

2

.

Êàæäîå ñå÷åíèå ðàçðåçàåò îäíó âåòâü äåðåâà è íåêîòîðûå ñâÿçè ãðàôà ñõåìû

(ðèñ. 3.30). Èç ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà âûòåêàåò, ÷òî âåòâü (

m

íà ðèñ. 3.30), îïðåäå-

ëÿþùàÿ ñå÷åíèå, íåïðåìåííî âõîäèò â êîíòóðû (

j

è

s

), îáðàçîâàííûå òåìè ñâÿçÿ-

ìè (

j

è

s

) ãðàôà, êîòîðûå ðàçðåçàþòñÿ ñå÷åíèåì, òàê êàê ðàçðåçàíèå äàííîé âåòâè

äåðåâà ãðàôà ïðèâåäåò ê ðàçðåçàíèþ âñåõ êîíòóðîâ, êîòîðûå îáðàçîâàíû ñâÿçÿ-

ìè ñå÷åíèÿ.

Íà ðèñ. 3.30 ïîêàçàíû äâà ïîäãðàôà, êîòîðûå îáðàçóþòñÿ ñå÷åíèåì âåòâè

m

.

 êîíòóðû, îáðàçîâàííûå ñâÿçÿìè

s

è

j

, âåòâü

m

âõîäèò, ñîîòâåòñòâåííî, ñî çíàêà-

ìè

c

sm

=

– 1 è

c

jm

=

1. Â òî æå âðåìÿ âåòâè

s

è

j

âõîäÿò â

m

-å ñå÷åíèå, ñîîòâåòñòâåí-

íî, ñî çíàêàìè

d

ms

=

1 è

d

mj

=

– 1. Äëÿ âñåõ êîíòóðîâ è ñå÷åíèé, ñëåäîâàòåëüíî,

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

169

ìîæíî çàìåòèòü ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü.

Ñòîëáöû ïîäìàòðèöû

C

1

ìîãóò áûòü îáðàçîâà-

íû ñòðîêàìè ïîäìàòðèöû

D

2

, åñëè ó âñåõ íåíó-

ëåâûõ ýëåìåíòîâ èçìåíèòü çíàêè.

Åñëè ó äâóõ ìàòðèö ñòðîêàì îäíîé ìàòðèöû

ñîîòâåòñòâóþò ñòîëáöû äðóãîé (è íàîáîðîò),

òî òàêèå ìàòðèöû ïîëó÷àþòñÿ ïóòåì âçàèì-

íîãî òðàíñïîíèðîâàíèÿ — ïåðåñòàíîâêè ìåñòàìè

ñòðîê è ñòîëáöîâ. Îáîçíà÷èì ïðîöåäóðó òðàíñ-

ïîíèðîâàíèÿ âåðõíèì èíäåêñîì

t

(èëè «ò»).

Òîãäà èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ

C

D

D

C

1

2

2

1

= -

= -

t

t

èëè

.

×òîáû íå ïèñàòü èíäåêñû ó ïîäìàòðèö

C

1

è

D

2

, ââåäåì îáîçíà÷åíèå

C

1

=

F

. Òîãäà

C

=

F

1

;

D

=

1

–

F

t

.

Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèö

C

è

D

äîñòàòî÷íî ñîñòàâèòü îäíó

ïîäìàòðèöó

F

. Íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà ñõåìû, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.31, èìååì

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

1 –1 –1

D

=

2

1

–1

1

1

1

1

=

1

–

F

t

,

3

1

1

–1

1

4

1

1 –1

1 –1 –1

ò. å.

1

2

3

4

5 –1

1

–1

6

1 –1 –1

1

1 4

K

,

5 10

K

F

=

7

1 –1

è

C

=

5

10

M

F

1

.

8

1 –1

9

–1

1

10

–1 –1

1

Èç çàêîíîâ öåïåé èìååì

A i

A i

1

2

~

~

1

2

= -

è

D i

D i

1

2

~

~

1

2

= -

. Íî

D

1

=

1

, ïîýòîìó

~

~

i

D i

1

2

= -

2

.

170

×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðèñ. 3.30

Ïîäìàòðèöà

A

1

ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíîé ïîäìàòðèöåé. Åñëè îïðåäåëèòåëü

A

1

íå

ðàâåí íóëþ, òî ìîæíî íàéòè òàêóþ ìàòðèöó

A

1

1

-

, ïðè óìíîæåíèè íà êîòîðóþ

ìàòðèöû

A

1

ñëåâà ïîëó÷èì åäèíè÷íóþ ìàòðèöó. Ìàòðèöó

A

1

1

-

íàçûâàþò î á ð à ò -

í î é ì à ò ð è ö å é

A

1

. Óìíîæèì ïåðâîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ñëåâà íà

A

1

1

-

, òîãäà

A A i

1i

i

A A i

D i

1

–1

1

1

–1

2

2

~

~

~

~

~ ,

1

1

1

2

2

=

=

= -

= -

ò. å.

D

A A

2

1

–1

2

=

, îòêóäà òàêæå ñëåäóåò, ÷òî

-

=

F

A A

t

1

–1

2

.

Ïîñëåäíèå ñîîòíîøåíèÿ âàæíû â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè ïîçâîëÿþò ïî ìàòðèöå

ñîåäèíåíèé ïóòåì ìàòðè÷íûõ îïåðàöèé ñîñòàâëÿòü ìàòðèöû êîíòóðîâ è ñå-

÷åíèé, ÷òî èñêëþ÷èòåëüíî âàæíî ïðè èñïîëü-

çîâàíèè âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, ðàñ÷åòû íà

êîòîðûõ òðåáóþò ôîðìàëèçàöèè ïðîöåäóðû ñî-

ñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé. Äëÿ ãðàôà ñõå-

ìû âñåãäà ñóùåñòâóåò ïîäìàòðèöà

D

2

, ïîýòîìó

èç ðàâåíñòâà

D

A A

2

1

–1

2

=

è ñóùåñòâîâàíèÿ

A

2

âûòåêàåò è ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ìàòðèöû

A

1

1

-

.

Ìîæíî ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàò-

ðèöû

A

1

ñóùåñòâóåò âñåãäà è, áîëåå òîãî, îí ðà-

âåí ±1. Ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì

íåêîòîðîé ñòðîêè (èëè ñòîëáöà). Â îïðåäåëèòå-

ëå

A

1

âñåãäà ìîæíî íàéòè ñòðîêó, ãäå èìååòñÿ

òîëüêî îäèí íåíóëåâîé ýëåìåíò, òàê êàê â äåðå-

âå ãðàôà ñõåìû ìîæíî íàéòè âåòâü, êîòîðàÿ çàêàí÷èâàåòñÿ íà òîì óçëå, êîòîðûé

â êà÷åñòâå ëèøíåãî èñêëþ÷åí èç ðàññìîòðåíèÿ (òàêîé èñêëþ÷åííûé óçåë, êàê

ïðàâèëî, íàçûâàþò áàçèñíûì). Ïðè ðàçëîæåíèè ïîëó÷èì äëÿ îïðåäåëèòåëÿ ïðî-

èçâåäåíèå ±1 è ìèíîðà îïðåäåëèòåëÿ

A

1

. Ìèíîð îïðåäåëèòåëÿ

A

1

ñîîòâåòñòâóåò

äåðåâó, èç êîòîðîãî èñêëþ÷åíû îäèí óçåë è îäíà âåòâü. Ïîýòîìó äëÿ îñòàâøåéñÿ

÷àñòè äåðåâà, à ñëåäîâàòåëüíî, è ìèíîðà îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû

A

1

ìîãóò áûòü

ïðèìåíåíû òå æå ñàìûå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è ðàíåå äëÿ ìàòðèöû

A

1

. Òàêèì îáðà-

çîì, îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû

A

1

áóäåò ñîñòîÿòü èç ïðîèçâåäåíèÿ (

q

– 1) ýëåìåíòîâ

±1, ò. å. áóäåò ðàâåí ëèáî +1, ëèáî –1.

3.17. Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.

Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïðîöåññîâ

â öåïÿõ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè

Çàêîíû Êèðõãîôà ïðèìåíèòåëüíî ê ãðàôó ñõåìû èëè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè õàðàê-

òåðèçóþò ñèñòåìó â öåëîì áåç ó÷åòà õàðàêòåðèñòèê åå ýëåìåíòîâ. Ìàòðè÷íûå

óðàâíåíèÿ

Ai

A

Di

Cu Ce

= - ÁÁ

= - ÁÁ

=

(

)

èëè

è

D

îïðåäåëÿþò ñèñòåìó èç

p

îòäåëüíûõ óðàâíåíèé. Òàêàÿ ñèñòåìà íåäîñòàòî÷íà äëÿ

îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, òàê êàê íå èçâåñòíû

p

òîêîâ è

p

íà-

ïðÿæåíèé.

×òîáû äîïîëíèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé, íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü (èëè çàäàòü)

åùå

p

óðàâíåíèé. Ýòè óðàâíåíèÿ äîëæíû îòðàæàòü ñâîéñòâà ýëåìåíòîâ ñèñòå-

Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

171

Ðèñ. 3.31

ìû — âåòâåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêèå ñâÿçè äîëæíû áûòü çàïè-

ñàíû äëÿ

ð

âåòâåé öåïè. Â ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ â âèäå

( )

( )

i

f u

u

i

=

=

èëè

jj

,

ò. å.

i

=

=

i

i

f u

u

f u

p

p

p

1

1

1

1

M

K

K

( , , )

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

( , , )

( , , )

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

u

u

u

i

i

p

p

p

èëè

u

=

=

1

1 1

M

K

j

j

p

p

i

i

( , , )

1

K

.

 çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà ôóíêöèé

f

k

è

(

)

j

k

k

p

=

1

K

ñèñòåìû óðàâíåíèé

ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ìîãóò áûòü ë è í å é í û ì è — äëÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ

öåïåé, ò. å. äëÿ öåïåé, ó êîòîðûõ

r

,

L

,

C

è

M

íå çàâèñÿò îò çíà÷åíèé è íàïðàâëåíèé

òîêîâ è íàïðÿæåíèé â öåïè, è íåëèíåéíûìè — äëÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ

öåïåé, ò. å. äëÿ öåïåé, ó êîòîðûõ

r

,

L

,

C

èëè

M

õîòÿ áû îäíîãî èç ó÷àñòêîâ çàâèñÿò

îò çíà÷åíèé èëè îò íàïðàâëåíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé â ýòîì ó÷àñòêå öåïè. Çàìå-

òèì, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè â çàâèñèìîñòè îò

òîãî, êàêèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ âõîäÿò â óðàâíåíèÿ

ãðàôà ñõåìû, îäíà è òà æå öåïü ìîæåò áûòü ëèáî

ëèíåéíîé, ëèáî íåëèíåéíîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè

äëÿ öåïè (ðèñ. 3.32), ãäå èìåþòñÿ äâå âåòâè ñ èäå-

àëüíûìè äèîäàìè (ÂÀÕ òàêîãî ýëåìåíòà ñì. íà

ðèñ. 3.19,

á

), óðàâíåíèÿ çàïèñàíû äëÿ òîêîâ

i

,

i

1

è

i

2

,

òî ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò íåëèíåéíîé. Â òî æå

âðåìÿ, åñëè â ñèñòåìó óðàâíåíèé öåïè âõîäÿò òîëü-

êî

i

è

u

, òî ýòîò æå ó÷àñòîê ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí

êàê ëèíåéíàÿ öåïü.

Åñëè â ôóíêöèè

f

k

è

j

k

âõîäÿò ïðîèçâîäíûå òîêîâ è íàïðÿæåíèé, òî ïðîöåññû

â ýòîé ëèíåéíîé èëè íåëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè áóäóò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ

ñèñòåìîé, ñîîòâåòñòâåííî, ëèíåéíûõ èëè íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-

íåíèé. Ïðè îòñóòñòâèè ïðîèçâîäíûõ â ôóíêöèÿõ

f

k

è

j

k

ïðîöåññû â ýòîé ëèíåé-

íîé èëè íåëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè áóäóò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ ñèñòåìîé, ñî-

îòâåòñòâåííî, ëèíåéíûõ èëè íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.

Ñèñòåìà èç 2

p

óðàâíåíèé, âêëþ÷àþùàÿ â ñåáÿ óðàâíåíèÿ, çàïèñàííûå ñîãëàñ-

íî çàêîíàì Êèðõãîôà, è óðàâíåíèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå ñâÿçè ìåæäó òîêàìè è íà-

ïðÿæåíèÿìè ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, è åñòü ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, èëè ïîëíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ýòîé öåïè.

Óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè-

÷åñêîé öåïè, ìîãóò áûòü ó÷òåíû ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ñîãëàñíî çàêîíàì

Êèðõãîôà. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñîñòàâëåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöè-

àëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ëèíåéíîé öåïè (ñì. ðèñ. 3.23) ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðà-

ìåòðàìè.

Èìååì (ñì. § 3.13, 3.14)

172

×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðèñ. 3.32