Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

Ñòåïåíü ìàãíèòíîé ñâÿçè êîíòóðîâ õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîé

k

M

L L

=

1 2

,

êîòîðàÿ íîñèò íàçâàíèå ê î ý ô ô è ö è å í ò à ñ â ÿ ç è. Ïîêàæåì, ÷òî âî âñåõ ðå-

àëüíûõ ñëó÷àÿõ

k

ìåíüøå åäèíèöû. Ïóñòü àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå âòîðè÷íîãî

êîíòóðà ðàâíî íóëþ è ýòîò êîíòóð çàìêíóò íàêîðîòêî, ò. å.

r

2

=

0 è

Z

ïð

=

0. Ïðè

ýòîì

r

II

=

0;

x

II

= w

L

2

;

D

x

=

–

w

M

L

2

2

è

x

= w

L

1

–

w

M

L

2

2

= w

L

M

L L

1

2

1 2

1

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ = w

L

1

(1 —

k

2

)

= w

L

ý

.

Âåëè÷èíà

L

ý

äîëæíà áûòü ïîëîæèòåëüíîé, òàê êàê ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ

W

ì

=

1

2 1

2

i L

ý

ïîëîæèòåëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî, òîëüêî â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà

ïåðâè÷íûé è âòîðè÷íûé êîíòóðû ðàñïîëîæåíû ñòîëü áëèçêî, ÷òî ïîòîê âçàèì-

íîé èíäóêöèè è ïîòîê ñàìîèíäóêöèè â ïåðâè÷íîé öåïè âçàèìíî êîìïåíñèðóþò-

ñÿ, âåëè÷èíà

k

ïðèáëèæàåòñÿ ê åäèíèöå.

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñîáåííûå ñâîéñòâà òðàíñôîðìàòîðîâ â ïðåäåëüíûõ

èäåàëèçèðîâàííûõ ñëó÷àÿõ.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

r

r

k

M

L L

1

2

1 2

0

1

=

=

=

=

è

.

Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ òðàíñôîðìàòîðà çàïèøóòñÿ â âèäå

&

&

&

;

&

&

&

&

U

j L I

j MI

j MI

Z I

j L I

U

j L

1

1 1

2

1

2

2 2

2

2

=

+

-

=

+

=

+

w

w

w

w

w

ïð

&

.

I

2

Âûðàçèì

&

U

1

è

&

I

1

÷åðåç

&

U

2

è

&

I

2

. Ïîëó÷èì

&

&

&

&

&

U

j L

U

j M

L

M

I

j MI

L

M

U

j M

1

1

2

2

2

2

1

2

=

-

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ +

= -

+

-

w

w

w

w

L L

M

I

I

U

j M

L

M

I

1 2

2

1

2

2

2

æ
è

ç

ö
ø

÷

= -

-

&

;

&

&

&

.

w

Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïðè

k

=

1 èìååì

M

–

L

1

L

2

/

M

=

0 (

M

=

L

1

L

2

/

M

), è òîãäà,

îáîçíà÷àÿ

c

=

L

1

/

M

, ïîëó÷èì

&

&

;

&

&

&

&

&

.

U

cU

I

cU
j L

c

I

U

j L

c

I

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

= -

= -

-

=

-

w

w

Òðàíñôîðìàòîð, äëÿ êîòîðîãî ñîáëþäàåòñÿ óñëîâèå

U

1

/

U

2

=

c

ïðè ëþáîé íà-

ãðóçêå, íàçîâåì ñ î â å ð ø å í í û ì ò ð à í ñ ô î ð ì à ò î ð î ì.

Åñëè, êðîìå âûøåóêàçàííûõ óñëîâèé, ïðèíÿòü, ÷òî

L

1

=

¥

(ïðàêòè÷åñêè

L

1

äîëæíî èìåòü äîñòàòî÷íî áîëüøîå çíà÷åíèå, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïðåíåáðå÷ü

278

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

òîêîì

U

1

/(

w

L

1

) ïî ñðàâíåíèþ ñ òîêîì 1

2

c

I

&

), òî ìåæäó òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè

èìåëè áû ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ

&

&

&

&

.

U

cU

I

c

I

1

2

1

2

1

= -

= -

è

Òðàíñôîðìàòîð, äëÿ êîòîðîãî ñîáëþäàþòñÿ ýòè óñëîâèÿ, íàçîâåì è ä å à ë ü -

í û ì ò ð à í ñ ô î ð ì à ò î ð î ì. Òàêîé òðàíñôîðìàòîð äåéñòâèòåëüíî îáëàäàåò

ñâîéñòâîì èçìåíÿòü òîêè è íàïðÿæåíèÿ íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ,

âêëþ÷åííîãî âî âòîðè÷íûé êîíòóð, â îïðåäåëåííîå ÷èñëî ðàç. Äëÿ èäåàëüíîãî

òðàíñôîðìàòîðà ïîëó÷èì

&
&

&

&

,

U

I

Z

cU

c

I

c Z

1

1

2

2

2

1

=

= -

-

=

âõ

ïð

îòêóäà âèäíî, ÷òî ïðè ïîìîùè èäåàëüíîãî

òðàíñôîðìàòîðà ìîæíî ïðîèçâåñòè òàêæå è

èçìåíåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ â îïðåäåëåííîå

÷èñëî ðàç, íå çàâèñÿùåå îò õàðàêòåðà ýòîãî

ñîïðîòèâëåíèÿ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îñî-

áåííî âàæíî äëÿ ðàöèîíàëüíîãî êîíñòðóè-

ðîâàíèÿ îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷å-

ñêèõ öåïåé, íàïðèìåð äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ

îòäåëüíûõ ó÷àñòêîâ öåïåé ïî èõ ñîïðîòèâ-

ëåíèÿì.

Ñîâåðøåííûé òðàíñôîðìàòîð ìîæíî

ïîëó÷èòü, ïðèñîåäèíèâ ê çàæèìàì èäåàëü-

íîãî òðàíñôîðìàòîðà èíäóêòèâíîñòè ïî ñõåìàì íà ðèñ. 5.28. Ðåàëüíûé òðàíñ-

ôîðìàòîð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ïðè ïîìîùè èäåàëüíîãî òðàíñôîðìàòîðà è

äîïîëíèòåëüíûõ èíäóêòèâíîñòåé è àêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé, ó÷èòûâàþùèõ íà-

ëè÷èå ñîïðîòèâëåíèé

r

1

è

r

2

è îáìîòîê, à òàêæå óñëîâèå

k

< 1 (ðèñ. 5.28)

Ñâîéñòâàìè, áëèçêèìè ê ñâîéñòâàì èäåàëüíîãî è ñîâåðøåííîãî òðàíñôîðìà-

òîðîâ, îáëàäàþò òðàíñôîðìàòîðû ñ ôåððîìàãíèòíûìè ñåðäå÷íèêàìè, ñ äîñòà-

òî÷íî áîëüøèì ÷èñëîì âèòêîâ è ñ áîëüøîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ ôåððî-

ìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà.

5.20. Öåïè, ñâÿçàííûå ÷åðåç ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå

Îòäåëüíûå ÷àñòè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîãóò áûòü ñâÿçàíû òàêæå ïðè ïîìîùè

ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Òàêóþ ñâÿçü íàçûâàþò åìêîñòíîé. Àíàëîãè÷íî ìàãíèòíîé

ñâÿçè ñòåïåíü åìêîñòíîé ñâÿçè ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êîýôôèöèåíòîì ñâÿ-

çè

k

C

, îïðåäåëÿåìûì çíà÷åíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ åìêîñòíûõ ñîïðîòèâëåíèé.

Äëÿ êîýôôèöèåíòà ñâÿçè â èíäóêòèâíî-ñâÿçàííûõ êîíòóðàõ èìååì

k

M

L L

M

L L

L

L L

L

=

=

=

|

|

|

|

,

1 2

1

2

12

1

2

w

w w

w

w w

ãäå

L

12

= |

M

|.

Ïîýòîìó, îïðåäåëèâ àíàëîãè÷íî è

k

C

, ïîëó÷èì

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

279

Ðèñ. 5.28

k

C

C

C

C C

C

C

=

=

1

1

1

12

1

2

1 2

12

w

w w

.

Êàê è ìàãíèòíîñâÿçàííûå êîíòóðû, êîíòóðû, ñâÿçàííûå òîëü-

êî ïðè ïîìîùè îáùåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ìîæíî ïðåäñòàâèòü

â âèäå ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû (ðèñ. 5.29), ðàñ÷åò òîêîâ â êîòîðîé

ìîæíî ïðîèçâîäèòü ïî âñåì èçëîæåííûì ðàíåå ìåòîäàì.

5.21. Áàëàíñ ìîùíîñòåé â ñëîæíîé öåïè

Áàëàíñ ìîùíîñòåé â ïðèåìíèêàõ è èñòî÷íèêàõ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè äî-

êàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Ëàíæåâåíà. Ýòà òåîðåìà ðåøàåò âîïðîñ î ðàâåíñòâå ñóììû

ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé âñåõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè, èìåþùèõñÿ â ñêîëü óãîäíî

ñëîæíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñóììå ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé ïðèåìíèêîâ â ýòîé

öåïè. Ïîïóòíî ðåøàåòñÿ è âîïðîñ î ðàâåíñòâå ñîîòâåòñòâóþùèõ àêòèâíûõ ìîù-

íîñòåé, êîòîðîå, âîîáùå ãîâîðÿ, âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ

ýíåðãèè.

Äëÿ ëþáîé öåïè ïðè çàïèñè óðàâíåíèé ïî ìåòîäó óçëîâûõ íàïðÿæåíèé èìååì

Y

Y

Y

Y

Y

Y

U

q

q

q

q

q

11

12

1

1

1 1

1 2

1

1

10

K

K

,

,

,

,

. . . . . . . . . . . .

&

-

-

-

-

-

&

&

&

&

.

,

,

,

U

U

q

j

j

q

q

j

j

q

20

1 0

1

1

1

1

1

1

M

M

-

=

-

-

=

-

=

Á

Á

å

å

Ïåðåìíîæàÿ ìàòðèöó ïðîâîäèìîñòè íà ìàòðèöó-ñòîëáåö óçëîâûõ íàïðÿæå-

íèé, ïîëó÷èì âûðàæåíèå, â êîòîðîì êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû-ñòîëáöà ñëåâà îò

çíàêà ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó òîêîâ â âåòâÿõ (â ïðèåìíèêàõ), ñõî-

äÿùèõñÿ ê óçëó, íîìåð êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó èíäåêñó ó òîêà. Êàæäûé

ýëåìåíò â ìàòðèöå ñïðàâà åñòü ñóììà òîêîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ èñòî÷íèêîâ òîêà:

&

&

&

&

,

,

,

,

I

I

j

j

q

q

j

j

q

j

j

q

q

j

j

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

=

-

-

=

-

=

-

-

=

å

å

å

=

Á

Á

M

M

1

1

q

-

å

.

Ïîìíîæèì ýòè ìàòðèöû íà òðàíñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöó ñîïðÿæåííûõ êîì-

ïëåêñíûõ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé. Èìååì

U

U

U

I

I

U

U

q

j

j

q

q

j

j

q

10

20

1

1

1

1

1

1

10

2

1 0

*

*

*

,

,

*

,

&

&

K

M

-

=

-

-

=

-

å

å

=

0

1

1

1

1

1

1

1 0

*

*

,

,

,

&

&

.

K

M

U

q

j

j

q

q

j

j

q

-

Á

Á

=

-

-

=

-

å

å

Ïîñëå âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè ïåðåìíîæåíèÿ ïîëó÷èì ñëåâà è ñïðàâà ÷ëåíû

âèäà

280

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 5.29

U I

U I

U

U

i

ij

j

ji

i

ij

j

ji

0

0

0

0

*

*

*

*

&

&

&

&

.

+

Á +

Á

è

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

&

&

I

I

ji

ij

= -

è

U

U

U

i

j

ij

0

0

*

*

*

-

=

, èìååì

(

&

&

) (

&

&

*

,

*

,

*

,

*

U I

U

I

U

U

q

q

q

q

12 12

1 0

1 0

12 12

1 0

+

+

=

Á + +

Á

-

-

-

K

K

-

1 0

,

).

Ïðîèçâåäåíèå

U I

S

S

ij ij

ij

k

*

*

*

&

= ¢ = ¢

åñòü êîìïëåêñíàÿ ìîùíîñòü ïðèåìíèêà, ïîä-

êëþ÷åííîãî ìåæäó óçëàìè

i

è

j

. Ïðîèçâåäåíèå

U

S

S

ij

ij

ij

k

*

*

*

&

Á =

=

åñòü êîìïëåêñíàÿ

ìîùíîñòü èñòî÷íèêà, òàêæå ïîäêëþ÷åííîãî ê óçëàì

i

è

j

.

Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî

S

S

P

P

Q

Q

k

k

k

k

k

k

*

*

,

å

å

å

å

å

å

=

¢

=

¢

=

¢

èëè

è

ãäå

P

Q

k

k

è

å

å

— ñóììà àêòèâíûõ è ñóììà ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé âñåõ èñòî÷-

íèêîâ ýíåðãèè, èìåþùèõñÿ â öåïè, à

¢

¢

å

å

P

Q

k

k

è

— ñóììà àêòèâíûõ è ñóììà

ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé âñåõ ïðèåìíèêîâ. Ïîñëåäíèå äâà ðàâåíñòâà è âûðàæàþò

òåîðåìó Ëàíæåâåíà.

Äëÿ êàæäîãî ïðèåìíèêà ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ

¢ =

¢ =

-

P

I r

Q

I L

I

C

k

k k

k

k

k

k

k

2

2

2

è

w

w

.

Ïîýòîìó äëÿ êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè âñåé öåïè ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

&

.

¢ =

+

+

å

å

å

å

S

I r

j

I L

j

I

C

k

k k

k

k

k

k

2

2

2

1

w

w

5.22. Ðàñ÷åò ñëîæíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå

Ðàñ÷åò ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èñòî÷íèêîâ ñ ïîñòîÿí-

íûìè âî âðåìåíè ÝÄÑ è òîêàìè â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ìîæíî ïðîèçâîäèòü,

èñïîëüçóÿ âñå èçëîæåííûå âûøå ìåòîäû ðàñ÷åòà ñëîæíûõ öåïåé ïðè ñèíóñîè-

äàëüíûõ ÝÄÑ è òîêàõ. Îñîáåííîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ðåàëüíûõ èíäóê-

òèâíûõ êàòóøêàõ ó÷èòûâàþòñÿ òîëüêî àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ èõ îáìîòîê, à â

ðåàëüíûõ êîíäåíñàòîðàõ — òîëüêî èõ ïðîâîäèìîñòè óòå÷êè. Åñëè ðå÷ü èäåò î

ðàñ÷åòå öåïè, óæå ïðåäñòàâëåííîé â âèäå ýêâèâàëåíòíîé ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû,

â êîòîðîé ó÷àñòêè ñ

L

è

C

íå îáëàäàþò ïîòåðÿìè, à ñîïðîòèâëåíèÿ îáìîòîê êàòó-

øåê è ïðîâîäèìîñòè óòå÷êè êîíäåíñàòîðîâ âûíåñåíû â îòäåëüíûå ó÷àñòêè, òî

ó÷àñòêè ñ

L

ñëåäóåò ñ÷èòàòü êîðîòêîçàìêíóòûìè, à ó÷àñòêè ñ

C

— ðàçîìêíóòûìè.

Ýòî âûòåêàåò ôîðìàëüíî èç âûðàæåíèé äëÿ ñîïðîòèâëåíèé

x

L

è

x

C

ïðè

w ®

0.

Äåéñòâèòåëüíî, ïðè

w =

0 èìååì

x

L

= w

L

=

0,

x

Ñ

=

1/(

w

C

)

=

¥

. Ôèçè÷åñêè ýòî ñâÿ-

çàíî ñ òåì, ÷òî ïðè ïîñòîÿííîì òîêå â êàòóøêàõ íå èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ ñàìîèí-

äóêöèè è ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè íà çàæèìàõ èäåàëüíûõ êîíäåíñàòîðîâ

òîê ÷åðåç íèõ íå ïðîõîäèò.

Àíàëîãè÷íî ïðè ðàñ÷åòå öåïåé ñ èíäóêòèâíûìè ñâÿçÿìè ïðè ïîñòîÿííîì

òîêå îòñóòñòâóþò ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè. Ýòî ôîðìàëüíî ó÷èòûâàåòñÿ òåì,

÷òî ÷ëåíû ñ ìíîæèòåëÿìè

w

M

ðàâíû íóëþ ïðè

w =

0.

Åñòåñòâåííî, ðàñ÷åò öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðîñòûì, ÷åì

ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ, òàê êàê âìåñòî êîìïëåêñíûõ âåëè÷èí â óðàâíåíèÿ

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

281

áóäóò âõîäèòü âåùåñòâåííûå âåëè÷èíû. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíå-

íèé íàäî ñîáëþäàòü âñå ïðàâèëà çíàêîâ.

 îñîáîì ñëó÷àå, êîãäà â ñõåìå öåïè âî âñåõ âåòâÿõ âêëþ÷åíû èäåàëüíûå êîí-

äåíñàòîðû, ïðè äåéñòâèè ïîñòîÿííûõ ÝÄÑ òîê â òàêîé öåïè ðàâåí íóëþ è ìîæåò

ñòîÿòü âîïðîñ òîëüêî îá îòûñêàíèè ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèÿ ïî êîíäåíñàòî-

ðàì öåïè. Â òàêîì èäåàëèçèðîâàííîì ñëó÷àå â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî äî íà÷àëà

äåéñòâèÿ ÝÄÑ âñå êîíäåíñàòîðû áûëè ðàçðÿæåíû, ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ

ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííûõ ÝÄÑ áóäåò òàêèì æå, êàê ðàñïðåäåëåíèå ñèíóñîè-

äàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ â àíàëîãè÷íîé ñõåìå, íî ñîäåðæàùåé âî âñåõ âåòâÿõ òîëüêî

èäåàëüíûå êîíäåíñàòîðû, åñëè â íåé äåéñòâóþò ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, ðàâíûå ïî

äåéñòâóþùåìó çíà÷åíèþ çàäàííûì ïîñòîÿííûì ÝÄÑ è íàõîäÿùèåñÿ äðóã ñ äðó-

ãîì â ôàçå.

 ðåàëüíûõ öåïÿõ âñå êîíäåíñàòîðû îáëàäàþò êîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòüþ

óòå÷êè. Ïîýòîìó ïðè äåéñòâèè ïîñòîÿííûõ ÝÄÑ óñòàíîâèâøèåñÿ íàïðÿæåíèÿ

íà êîíäåíñàòîðàõ áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ñîïðîòèâëåíèÿìè èõ óòå÷åê è ñîïðîòèâëå-

íèÿìè îñòàëüíûõ ó÷àñòêîâ ñõåìû. Çíà÷åíèÿ åìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ ïðè ýòîì íà

ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ íå îêàçûâàþò íèêàêîãî âëèÿíèÿ. Ïîñëåäíåå ñîîò-

âåòñòâóåò ñäåëàííîìó âûøå óêàçàíèþ, ÷òî â ýêâèâàëåíòíîé ñõåìå ó÷àñòêè ñ èäå-

àëüíûìè êîíäåíñàòîðàìè ïðè ðàñ÷åòå äîëæíû áûòü ðàçîìêíóòû.

5.23. Ïðîáëåìû ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ

ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

 ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ â îñíîâíîì ðàññìàòðèâàëèñü íå ñòîëüêî ìåòîäû, ïî-

çâîëÿþùèå ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è, ñêîëüêî ìåòîäû ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû

óðàâíåíèé öåïè. Äëÿ âûïîëíåíèÿ àíàëèçà ïðîöåññîâ â öåïè ýòà ñèñòåìà äîëæíà

áûòü ðåøåíà îòíîñèòåëüíî âûäåëåííûõ èñêîìûõ âåëè÷èí (èíîãäà ãîâîðÿò — èñ-

êîìûõ ïåðåìåííûõ).

 ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå òàêîå ðåøåíèå ñâîäèòñÿ ê îáðàùåíèþ ìàòðèö, ò. å.

ê íàõîæäåíèþ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé èëè ìàòðèöû

ïðîâîäèìîñòåé ñå÷åíèé è èõ

q

– 1 àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé èëè æå ê íàõîæ-

äåíèþ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé è åãî

n

àëãåáðàè÷åñêèõ

äîïîëíåíèé. Ïðè âûñîêîì ïîðÿäêå ýòèõ ìàòðèö òàêîå îáðàùåíèå ñâÿçàíî ñ

áîëüøèì ÷èñëîì âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé

Êðàìåðà, ñîãëàñíî êîòîðîé çàïèñàíû âûðàæåíèÿ äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ è óçëî-

âûõ íàïðÿæåíèé â § 5.11 è 5.12, ò. å. íåïîñðåäñòâåííî ðàñêðûòü îïðåäåëèòåëè

ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû ñ

m

íåèçâåñòíûìè, òî ïîòðåáóåòñÿ âûïîëíèòü ïîðÿäêà

m

×

m

!

àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé. Óæå äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ

m

=

15 ÷èñëî îïåðàöèé

äîñòèãàåò 2

×

10

13

. È äàæå èñïîëüçîâàíèå ìîùíîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû, êî-

òîðàÿ ìîæåò âûïîëíèòü 10

9

îïåðàöèé â ñåêóíäó, âðåìÿ ðåøåíèÿ çàòÿíåòñÿ íà

2

×

10

4

ñ

=

5,5 ÷. Ýòèìè ôîðìóëàìè èìååò ñìûñë ïîëüçîâàòüñÿ, åñëè

m

< 10. Ïî

ýòîé ïðè÷èíå ñèñòåìó óðàâíåíèé ðåøàþò ãëàâíûì îáðàçîì ìåòîäîì èñêëþ-

÷åíèÿ ïî Ãàóññó (èëè åãî ðàçíîâèäíîñòÿìè). Ýòîò ìåòîä òðåáóåò âûïîëíåíèÿ

ìåíüøåãî ÷èñëà îïåðàöèé — ïîðÿäêà 2

m

3

. Îäíàêî è òàêîé ñïîñîá ðåøåíèÿ èìååò

ñìûñë ïðèìåíÿòü ïðè

m

< 10 000, òàê êàê óæå äëÿ

m

=

10 000 ÷èñëî îïåðàöèé

ðàâíî 2

×

10

12

, è âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà ñ ïðîèçâîäèòåëüíîñòüþ 10

9

îïåðàöèé â

ñåêóíäó òàêèå çàäà÷è áóäåò ðåøàòü â òå÷åíèå 33 ìèí. Ìåòîä íåïîñðåäñòâåííîãî

282

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé