Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.01.2021
Просмотров: 5647
Скачиваний: 13
ðàñêðûòèÿ îïðåäåëèòåëåé è ìåòîä Ãàóññà ïîçâîëÿþò ïðè îòñóòñòâèè îêðóãëåíèé
íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è.
Îäíàêî ïðè èñïîëüçîâàíèè ÝÂÌ íåèçáåæíû îøèáêè îêðóãëåíèÿ, è ïîýòîìó
ïðè áîëüøîì ÷èñëå óðàâíåíèé ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ìîæåò çàìåòíî îòëè÷àòüñÿ
îò òî÷íîãî. Êðîìå òîãî, äëÿ ðàçìåùåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû è ïðîìåæóòî÷íûõ
ðåçóëüòàòîâ â ïàìÿòè ÝÂÌ ïîòðåáóåòñÿ
m
2
ÿ÷ååê. Ïîýòîìó íàðÿäó ñî âðåìåíåì
ðåøåíèÿ ñóùåñòâåííûì ïàðàìåòðîì ÿâëÿåòñÿ è ÷èñëî èñïîëüçóåìûõ ÿ÷ååê ïà-
ìÿòè, êîòîðîå ïðè
m
=
10 000 äîñòèãíåò 10
8
.
Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðè áîëüøîì ÷èñëå óðàâíåíèé ïðèõîäèòñÿ îòêàçûâàòüñÿ îò
òî÷íûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ è èñïîëüçîâàòü òå èëè èíûå èòåðàöèîííûå ìåòîäû, êî-
ãäà ðåøåíèå íàõîäèòñÿ êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (èòåðàöèé),
íàïðèìåð âèäà (ïðîñòûå èòåðàöèè)
( )
( )
I
BI
a
n
n
=
+
-
1
,
ãäå
I
(
n
—1)
— ìàòðèöà-ñòîëáåö ðåøåíèé íà (
n –
1)-ì øàãå èòåðàöèé;
I
(
n
)
— ìàòðè-
öà-ñòîëáåö óòî÷íåííûõ ðåøåíèé íà ñëåäóþùåì,
n
-ì, øàãå èòåðàöèé (ïðèáëèæå-
íèé).
5.24. Òîïîëîãè÷åñêèå ìåòîäû ðàñ÷åòà öåïåé
Ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîé èíòåðåñ âîçìîæíîñòü ñîñòàâëåíèÿ ýëåìåíòîâ îáðàòíîé
ìàòðèöû è åå îïðåäåëèòåëÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî ãðàôó ñõåìû, ìèíóÿ ñòàäèþ ñî-
ñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà òàêîãî ïîäõîäà ðàññìîòðèì
ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé.
Äëÿ ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé èìååì âûðàæåíèå
AYA
t
, ãäå
A
— òîïî-
ëîãè÷åñêàÿ ìàòðèöà ñîåäèíåíèé ïîðÿäêà (
q
– 1)
´
n
;
A
t
— òðàíñïîíèðîâàííàÿ
ìàòðèöà ñîåäèíåíèé ïîðÿäêà
n
´
(
q
– 1);
Y
— äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïðîâîäèìî-
ñòåé âåòâåé (â öåïè îòñóòñòâóþò âçàèìíàÿ èíäóêöèÿ è çàâèñèìûå èñòî÷íèêè)
ïîðÿäêà
n
´
n
.
Ñîãëàñíî òåîðåìå Êîøè—Áèíå, îïðåäåëèòåëü òàêîé ìàòðèöû ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåí êàê
det (
AYA
t
)
=
det (
AY) A
t
=
S
ñîîòâåòñòâóþùèõ ìèíîðîâ
ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà ìàòðèö
AY
è
A
t
.
Ñîîòâåòñòâèå ìèíîðîâ îçíà÷àåò ñîâïàäåíèå íîìåðîâ ñòîëáöîâ â ìàòðèöå
AY
ñ íîìåðàìè ñòðîê ìàòðèöû
A
t
. Â ìàòðèöàõ
AY
è
A
èç-çà äèàãîíàëüíîñòè ìàòðè-
öû
Y
îäèíàêîâî ðàñïîëîæåíû íåíóëåâûå ýëåìåíòû (åñëè
a
jk
¹
0, òî
a
jk
Y
k
¹
0).
Ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ìèíîðîâ ðàâåí (
q
– 1)
´
(
q
– 1). Ïðèìåì âî âíèìàíèå,
÷òî òðàíñïîíèðîâàííûé ìèíîð ðàâåí èñõîäíîìó ìèíîðó. Ðàíåå (ñì. § 3.16) ìû
óêàçàëè, ÷òî íåíóëåâîé ìèíîð ïîðÿäêà (
q
– 1)
´
(
q
– 1) ìàòðèöû
A
ðàâåí ±1. Ñëå-
äîâàòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ìèíîðîâ èìååò âñåãäà ïîëîæèòåëü-
íûé çíàê. Êðîìå òîãî, ìèíîð
À
íå ðàâåí íóëþ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âõî-
äÿùèå â åãî ñîñòàâ âåòâè (
q
– 1) ñîåäèíÿþò âñå
q
óçëîâ ãðàôà ñõåìû. Ýòî
ïîëîæåíèå ëåãêî óñìîòðåòü èç ïðîöåäóðû ðàçëîæåíèÿ ìèíîðà ïî ýëåìåíòàì
ñòðîê èëè ñòîëáöîâ. Ïðè èñêëþ÷åíèè ñîîòâåòñòâóþùåé âåòâè è óçëà îñòàâøèé-
ñÿ ìèíîð íå äîëæåí èìåòü ñòðîêó (èëè ñòîëáåö), ñîñòîÿùóþ òîëüêî èç íóëåâûõ
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ
283
ýëåìåíòîâ. Ýòî æå ïîëîæåíèå ëåãêî óâèäåòü èç ðàññìîòðåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî
ìèíîðà [ïîðÿäêà (
q
– 1)
´
(
q
– 1)] ìàòðèöû
AY
. Â ðåçóëüòàòå ðàñêðûòèÿ ìèíîðà
ìû äîëæíû èìåòü ïðîèçâåäåíèå âèäà
Y
i
Y
j
Y
p
Y
q
...Y
n
, ãäå äîëæíû áûòü
q
– 1 ýëåìåí-
òîâ. Ïðè÷åì ýòè ýëåìåíòû äîëæíû ñîñòîÿòü èç ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé, êîòîðûå
ñîåäèíÿò âñå óçëû ãðàôà ñõåìû. Íî òàêàÿ ñîâîêóïíîñòü âåòâåé åñòü äåðåâî ãðàôà
ñõåìû. Ïîýòîìó ìîæåì íàïèñàòü
det (
AYA
t
)
=
S
P
ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé ãðàôà
ñõåìû
=
S
P
Y
k
âåòâåé äåðåâà ãðàôà ñõåìû,
ãäå ñóììèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî âñåì íåïîâòîðÿþùèìñÿ äåðåâüÿì ãðàôà ñõåìû.
Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.30,
à
), äåðåâüÿ êîòîðîãî ïîêàçàíû íà ðèñ. 5.30,
á
det (
AYA
t
)
=
Y
1
Y
3
+
Y
2
Y
3
+
Y
1
Y
2
.
284
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 5.30
Ðèñ. 5.31
Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.31,
à
), äåðåâüÿ êîòîðîãî ïîêàçàíû íà ðèñ. 5.31,
á
det (
AYA
t
)
=
Y
4
Y
5
Y
6
+
Y
1
Y
3
Y
6
+
Y
1
Y
2
Y
4
+
Y
2
Y
3
Y
5
+
Y
1
Y
5
Y
6
+
Y
2
Y
5
Y
6
+
Y
3
Y
4
Y
6
+
+
Y
1
Y
4
Y
5
+
Y
2
Y
4
Y
6
+
Y
3
Y
4
Y
5
+
Y
1
Y
2
Y
5
+
Y
1
Y
3
Y
4
+
Y
2
Y
3
Y
6
+
Y
1
Y
2
Y
6
+
Y
1
Y
3
Y
5
+
Y
2
Y
3
Y
4
.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî äîïîëíåíèÿ ïîðÿäêà
D
jj
, èñõîäÿ èç òåîðåìû
Êîøè—Áèíå, ìû äîëæíû èç ìàòðèöû
AY
èñêëþ÷èòü
j
-þ ñòðîêó, à èç ìàòðèöû
A
t
—
j
-é ñòîëáåö. Ýòî ðàâíîñèëüíî ïðèñîåäèíåíèþ óçëà
j
ê áàçèñíîìó óçëó. Òîãäà
ïîëó÷àåì íîâûé ãðàô ñõåìû, ãäå îáúåäèíåíû
j
-é è áàçèñíûé óçëû ïðåæíåãî ãðà-
ôà ñõåìû. Íàïðèìåð, îïðåäåëèòåëü
D
11
ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.31,
à
) ìîæíî âû÷èñ-
ëèòü èç óñëîâèÿ, ÷òî îí ðàâåí îïðåäåëèòåëþ íîâîãî ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.32,
à
),
äåðåâüÿ êîòîðîãî èçîáðàæåíû íà ðèñ. 5.32,
á
:
D
11
3
1
6
3
2
5
1
6
2
5
=
+
+
+
+
+
+
Y Y Y
Y Y
Y
Y Y Y
Y
(
)
(
) (
)(
).
Íà ðèñ. 5.32,
â
è
ã
, ïðåäñòàâëåíû ãðàôû è äåðåâüÿ ñõåìû äëÿ
D
33
:
D
33
2
1
4
2
3
5
1
4
3
5
=
+
+
+
+
+
+
Y Y Y
Y Y
Y
Y Y Y
Y
(
)
(
) (
)(
).
Àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ âèäà
D
jk
ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû èç òîé æå ôîð-
ìóëû Êîøè–Áèíå, åñëè âû÷åðêíóòü â ìàòðèöå
AY
ñòðîêó
j
è â ìàòðèöå
A
t
—
ñòîëáåö
k.
Î÷åâèäíî, ÷òî ìèíîðû
AY
ñîâïàäóò ñ ìèíîðàìè
D
jj
, à ìèíîðû
A
t
—
ñ ìèíîðàìè
D
kk
. Ïîñêîëüêó ñëåäóåò ñóììèðîâàòü ïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ ìèíîðîâ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èç âûðàæåíèé äëÿ
D
jj
è
D
kk
äîëæíû áûòü âçÿòû
ñîâïàäàþùèå ÷ëåíû. Íàïðèìåð, äëÿ
D
13
òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ
( )
D
13
1 3
1 2
2 3
1 5
1 3
1
= -
+
+
+
+
( )
(
).
Y Y
Y Y
Y Y
Y Y
Óñëîâèå ñîâïàäåíèÿ ìèíîðîâ è òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî óçëû
j
è
k
âû÷åðêíóòû
èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçäåëåíèÿ ãðàôà öåïè
íà äâà íåñâÿçàííûõ ïîäãðàôà ñî ñâîèìè äåðåâüÿìè, ñóììà ïðîèçâåäåíèé ïðîâî-
äèìîñòåé âåòâåé êîòîðûõ îïðåäåëèò
D
jk
. Ïðè ýòîì ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî óçëû
j
è
k
ìûñëåííî óæå ñîåäèíåíû ñ îïîðíûì óçëîì, è ïîýòîìó óçëû
j
è
k
, ñ îäíîé ñòî-
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ
285
Ðèñ. 5.32
ðîíû, è îïîðíûé óçåë — ñ äðóãîé, äîëæíû áûòü â ðàçíûõ ïîäãðàôàõ. Äåðåâüÿ
ýòèõ ïîäãðàôîâ íàçûâàþò ä â î é í û ì ä å ð å â î ì ã ð à ô à ñ õ å ì û (2-äåðåâî).
Íà ðèñ. 5.33 èçîáðàæåíî 2-äåðåâî äëÿ îïðåäåëèòåëÿ
D
13
. Ìèíîð ïîäãðàôà, ñî-
ñòîÿùåãî èç îòäåëüíîãî óçëà (óçåë
4
, îí æå îïîðíûé), ðàâåí åäèíèöå. Èìåÿ â âè-
äó ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, èç ðèñ. 5.33 ïîëó÷èì
( )
D
13
1 3
1 2
2 3
1 5
1 3
1
= -
+
+
+
+
( )
(
).
Y Y
Y Y
Y Y
Y Y
Èñïîëüçîâàíèå òîïîëîãè÷åñêèõ ìåòîäîâ ñâÿçàíî ñ òðóäîåìêèì ïðîöåññîì
îòûñêàíèÿ âñåõ âåòâåé ãðàôà ñõåìû. Ýòà çàäà÷à îòíîñèòåëüíî óïðîùàåòñÿ, åñëè
çàðàíåå èçâåñòíî îáùåå ÷èñëî äåðåâüåâ.
Èç âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëèòåëÿ âûòåêàåò, ÷òî åñëè ïðîâîäèìîñòè âñåõ âåò-
âåé åäèíè÷íû, òî
D
ðàâíî ÷èñëó äåðåâüåâ ãðàôà öåïè, ò. å. åñëè
Y
=
1
, òî
det(
) det(
).
AYA
AA
t
t
=
Åñëè âñå óçëû ñîåäèíåíû ïîïàðíî ìåæäó ñîáîé, òî îáùåå ÷èñëî äåðåâüåâ ïî
ýòîìó âûðàæåíèþ ðàâíî
q
q–
2
. Â ðàññìîòðåííîì âûøå ãðàôå (ðèñ. 5.31,
à
) ìû èìå-
ëè ñëó÷àé, êîãäà âñå óçëû ïîïàðíî ñîåäèíåíû è
q
=
4. ×èñëî äåðåâüåâ ãðàôà öåïè
áûëî ðàâíî 4
4–2
=
4
2
=
16. Åñëè â ãðàôå îòñóòñòâóþò íåêîòîðûå âåòâè, òî ÷èñëî
äåðåâüåâ ñîîòâåòñòâåííî óìåíüøàåòñÿ. Äëÿ ãðàôà (ðèñ. 5.31,
à
) îòñóòñòâèå âåòâè
1
ïðèâåäåò ê ñîêðàùåíèþ ÷èñëà äåðåâüåâ äî 8.
Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.34), ó êîòîðîãî íåïîñðåäñòâåííî íå ñâÿçàíû òîëüêî
äâå ïàðû óçëîâ, à èìåííî
1
,
3
è
2, 4
, ÷èñëî äåðåâüåâ ðàâíî
286
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 5.33
Ðèñ. 5.34
det(
)
AA
t
=
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
-
-
-
+
+
3
1 0
1
1 3
1 0
0
1 3
1
1 0
1 3
3
3
1 0
1 3
1
0
1 3
( )
( )
,
-
-
-
-
-
-
+ -
-
-
-
-
-
=
+
+
1
1
1
0
0
3
1
1
1
3
1
1 3
1
0
1 3
1 0
1
81
1 2
1 4
÷òî ñóùåñòâåííî ìåíüøå ìàêñèìàëüíîãî ÷èñëà äåðåâüåâ, ðàâíîãî 5
5–2
=
125.
Èìåííî íåîáõîäèìîñòü îòûñêàíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà ðàçëè÷íûõ äåðåâüåâ ÿâ-
ëÿåòñÿ ñåðüåçíûì íåäîñòàòêîì òîïîëîãè÷åñêîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà öåïåé, îñíîâíûå
ïîíÿòèÿ è ôîðìóëû êîòîðîãî áûëè ïðåäëîæåíû Êèðõãîôîì åùå â 1847 ã. è Ìàêñ-
âåëëîì â 1892 ã. Âíåäðåíèå â ðàñ÷åòíóþ ïðàêòèêó ÝÂÌ è ðàçâèòèå òåîðèè ãðà-
ôîâ âíîâü âîçáóäèëè èíòåðåñ ê ýòîìó ðàçäåëó òåîðèè öåïåé, îäíàêî äàæå ìîù-
íûå ñîâðåìåííûå ÝÂÌ íå â ñîñòîÿíèè óñòðàíèòü îñíîâíîé íåäîñòàòîê ìåòîäà.
Íåîáõîäèìîñòü îòûñêàíèÿ è õðàíåíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà äåðåâüåâ, êîòîðîå óæå
äëÿ öåïè ñ
q
=
10 äîñòèãàåò 10
8
, ïðîáëåìàòè÷íà äàæå è äëÿ ìîùíûõ ÝÂÌ. Ïîýòî-
ìó òîïîëîãè÷åñêèå ìåòîäû ïðèåìëåìû äëÿ ñõåì ñ îòíîñèòåëüíî ìàëûì ÷èñëîì
óçëîâ.
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ
287