Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

è ïëîòíîñòü òîêà îñòàþòñÿ â ïîñòîÿííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ïîñòîÿííûìè, òàê

êàê êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, ïðèîáðåòàåìàÿ ýòèìè ÷àñòèöàìè ïðè óñêîðåíèè èõ

â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, ïåðåäàåòñÿ àòîìàì âåùåñòâà è ïåðåõîäèò â òåïëîâîå äâè-

æåíèå.

Ýëåêòðè÷åñêèé òîê â ìåòàëëàõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ

ïðîâîäèìîñòè. Ê ïðîâîäÿùèì âåùåñòâàì îòíîñÿòñÿ òàêæå óãîëü è ýëåêòðîëèòû.

 ýëåêòðîëèòàõ ïðîâîäèìîñòü îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè è îòðèöàòåëü-

íûìè èîíàìè.

Óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü

g

è, ñîîòâåòñòâåííî, óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå

r

ïðî-

âîäÿùèõ âåùåñòâ çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû.

Ðàññìîòðèì äðóãîé âèä ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ïðîâîäèìîñòè, èìåíóåìûé ýëåê-

òðè÷åñêèì ò î ê î ì ï å ð å í î ñ à, ïîä êîòîðûì ïîíèìàþò ÿâëåíèå ïåðåíîñà ýëåê-

òðè÷åñêèõ çàðÿäîâ äâèæóùèìèñÿ â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå çàðÿæåííûìè ÷àñ-

òèöàìè èëè òåëàìè. Òîê ïåðåíîñà îòëè÷àåòñÿ îò òîêà ïðîâîäèìîñòè â ïðîâîä-

íèêàõ òåì, ÷òî åãî ïëîòíîñòü íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñîîòíîøåíèåì

J

= g

E

,

ãäå óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü

g

åñòü îïðåäåëåííàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ

ñðåäó, ïðîâîäÿùóþ òîê. Â ñëó÷àå

ñâîáîäíîãî

äâèæåíèÿ îáëàäàþùèõ ýëåêòðè÷å-

ñêèì çàðÿäîì ÷àñòèö èëè çàðÿæåííûõ òåë â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå èõ ñêîðîñòü íå

ïðîïîðöèîíàëüíà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ

E

. Äåéñòâèòåëüíî, ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà

÷àñòèöó ñ çàðÿäîì

q

â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, ðàâíà

qE

. Óñêîðåíèå òàêîé ÷àñòèöû

ïðîïîðöèîíàëüíî íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Ñîîòâåòñòâåííî, äâèæåíèå åå â ñâîáîä-

íîì ïðîñòðàíñòâå áóäåò ðàâíîóñêîðåííûì, òàê êàê îòñóòñòâóåò ñîïðîòèâëåíèå

ñðåäû.

Âàæíûì âèäîì ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ïåðåíîñà ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå â ïóñòîòå

ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, îáëàäàþùèõ çàðÿäîì. Íå ìåíåå âàæíûì âèäîì ýëåêòðè÷å-

ñêîãî òîêà ïåðåíîñà ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé òîê â ãàçàõ. Âûðàçèì ïëîòíîñòü

òîêà ïåðåíîñà ÷åðåç ñðåäíþþ îáúåìíóþ ïëîòíîñòü

r

çàðÿäà

äâèæóùèõñÿ ÷àñòèö è èõ ñêîðîñòü

v

. Ñ ýòîé öåëüþ âûäåëèì â

ïðîñòðàíñòâå ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, èìåþùèé îáúåì

dl ds

(ðèñ. 1.13). Ïóñòü ðåáðî

dl

ïàðàëëåëüíî âåêòîðó ñêîðîñòè.

Çàðÿä âíóòðè ïàðàëëåëåïèïåäà

dq

= r

dl ds

. Âåñü ýòîò çàðÿä

ïðîéäåò ÷åðåç ïîâåðõíîñòü

ds

çà òàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè

dt

, â òå÷åíèå êîòîðî-

ãî ýëåìåíòàðíûå çàðÿæåííûå ÷àñòèöû ïðîõîäÿò ïóòü

dl

. Ýòîò ïðîìåæóòîê âðå-

ìåíè îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì

dl

=

v dt. Ñëåäîâàòåëüíî, òîê ñêâîçü ïîâåðõíîñòü

ds

ðàâåí

di

=

dq/dt

= r

v ds

, è äëÿ ïëîòíîñòè òîêà èìååì

J

=

di/ds

= r

v.

Ïðè äâèæåíèè

÷àñòèö ñ îòðèöàòåëüíûì çàðÿäîì (

r

< 0) óñëîâíîå ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå

òîêà ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ, è ìåæäó àáñîëþòíûìè çíà÷åíèÿ-

ìè

J

è

v

ñóùåñòâóåò ñîîòíîøåíèå

J

=

–

r

v

. Îáà ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ëþáîãî çíàêà

r

îáúåäèíÿþòñÿ â âåêòîðíîé ôîðìå:

J

= r

v

.

Ïðè

r

> 0 âåêòîðû

J

è

v

ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ. Ïðè

r

< 0 îíè ïðîòèâî-

ïîëîæíû.

Åñëè îäíîâðåìåííî èìååò ìåñòî äâèæåíèå ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö

ñî ñêîðîñòüþ

v

+

ïðè îáúåìíîé ïëîòíîñòè çàðÿäîâ

r

+

è äâèæåíèå îòðèöàòåëüíî

38

×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðèñ. 1.13

çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñî ñêîðîñòüþ

v

–

ïðè îáúåìíîé ïëîòíîñòè çàðÿäîâ

r

–

, òî

ïëîòíîñòü òîêà ïåðåíîñà

J

ïåð

= r

+

v

+

+

r

–

v

–

.

Ðàññìîòðèì òåïåðü òðåòèé âèä ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, íàçûâàåìûé ò î ê î ì

ý ë å ê ò ð è ÷ å ñ ê î ã î ñ ì å ù å í è ÿ. Ñ ýòèì âèäîì òîêà ïðèõîäèòñÿ ñ÷èòàòüñÿ

ïðè ïåðåìåííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå â äèýëåêòðèêå.

Ïðè âñÿêîì èçìåíåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âî âðåìåíè èçìåíÿåòñÿ ïîëÿ-

ðèçîâàííîñòü

P

äèýëåêòðèêà. Ïðè ýòîì â âåùåñòâå äèýëåêòðèêà äâèæóòñÿ ýëå-

ìåíòàðíûå ÷àñòèöû ñ ýëåêòðè÷åñêèìè çàðÿäàìè, âõîäÿùèå â ñîñòàâ àòîìîâ è

ìîëåêóë âåùåñòâà. Ýòîò âèä ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà â äèýëåêòðèêå íàçûâàþò

ý ë å ê ò ð è ÷ å ñ ê è ì ò î ê î ì ï î ë ÿ ð è ç à ö è è. Òàê êàê â äèýëåêòðèêå çàðÿæåí-

íûå ÷àñòèöû íå ÿâëÿþòñÿ ñâîáîäíûìè è ìîãóò ñìåùàòüñÿ ïîä äåéñòâèåì ýëåê-

òðè÷åñêîãî ïîëÿ, òî òîê ïîëÿðèçàöèè íàçûâàþò òàêæå ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì ñìå-

ùåíèÿ, ïðè÷åì îí ñîñòàâëÿåò, êàê áóäåò îòìå÷åíî, äàëüøå, òîëüêî ÷àñòü îáùåãî

òîêà ñìåùåíèÿ â äèýëåêòðèêå. Íåòðóäíî ñâÿçàòü ïëîòíîñòü

J

¢

ýòîãî òîêà ñ èçìå-

íåíèåì ïîëÿðèçîâàííîñòè

P

âåùåñòâà.

 § 1.5 âåëè÷èíà

P

áûëà âûðàæåíà ÷åðåç ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä

dQ

¢

, ïåðåíåñåí-

íûé ñâÿçàííûìè çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè, ñìåñòèâøèìèñÿ â âåùåñòâå äèýëåê-

òðèêà â ïðîöåññå óñòàíîâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñêâîçü ýëåìåíò ïîâåðõíî-

ñòè

ds

, íîðìàëüíûé ê íàïðàâëåíèþ ñìåùåíèÿ ÷àñòèö, â âèäå

P

=

dQ

¢

/

ds

. Åñëè

ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè

ds

îðèåíòèðîâàí ïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ ñìåùåíèÿ

çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ïðîèçâîëüíî, òî, ñîîòâåòñòâåííî, áóäåò

P

n

=

dQ

¢

/

ds

, ãäå

P

n

—

ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà

P

, íîðìàëüíàÿ ê ýëåìåíòó ïîâåðõíîñòè

ds

.

Ïðè èçìåíåíèè âåëè÷èíû

P

âî âðåìåíè ñêâîçü ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè

ds

áóäåò

ïðîõîäèòü òîê

(

)

di

d

dt

P ds

dP

dt

ds

n

n

=

=

.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

di

ds

n

= ¢

J

, ãäå

¢

J

n

— íîðìàëüíàÿ ê ýëåìåíòó

ds

ñîñòàâëÿþ-

ùàÿ âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà

¢

J

. Òàêèì îáðàçîì,

¢ =

J

n

dP

dt

n

.

Òàê êàê ðàñïîëîæåíèå ýëåìåíòà ïîâåðõíîñòè

ds

ìîæåò áûòü âûáðàíî ïðîèç-

âîëüíî, òî ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà

¢

J

ïî

êàêîìó-ëèáî íàïðàâëåíèþ ðàâíà ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ñîñòàâëÿþùåé âåê-

òîðà ïîëÿðèçîâàííîñòè âåùåñòâà

P

ïî ýòîìó íàïðàâëåíèþ. Â ÷àñòíîñòè, èìååì

¢ =

¢ =

¢ =

J

J

J

x

y

z

dP

dt

dP

dt

dP

dt

x

y

z

;

;

.

Âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà

(

)

¢ =

+

+

=

+

+

J

i

j

k

i

j

k

dP

dt

dP

dt

dP

dt

d

dt

P

P

P

x

y

z

x

y

z

,

ãäå

i

,

j

,

k

— åäèíè÷íûå âåêòîðû ïî îñÿì 0

X

, 0

Y

è 0

Z

.

Ãëàâà 1. Îáîáùåíèå ïîíÿòèé è çàêîíîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

39

Òàê êàê

i

P

x

+

j

P

y

+

k

P

z

=

P

, òî

J

¢ =

d

P

/dt

.

Èòàê, ðàññìàòðèâàåìàÿ ÷àñòü âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà ñìåùåíèÿ ðàâíà ïðîèç-

âîäíîé âåêòîðà ïîëÿðèçîâàííîñòè âåùåñòâà ïî âðåìåíè.

Âûøå áûëî îòìå÷åíî, ÷òî òîê ñìåùåíèÿ è, ñîîòâåòñòâåííî, ïëîòíîñòü òîêà

ñìåùåíèÿ

¢

J

, îáÿçàííûå ñâîèì ïîÿâëåíèåì èçìåíåíèþ ïîëÿðèçîâàííîñòè âåùå-

ñòâà, ñîñòàâëÿþò òîëüêî ÷àñòü âñåãî òîêà ñìåùåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïëîòíîñòè

òîêà ñìåùåíèÿ â äèýëåêòðèêå. Äåéñòâèòåëüíî, âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ

D

â äèýëåêòðèêå èìååò äâå ñîñòàâëÿþùèå,

D

0

è

P

:

D

=

D

0

+

P

,

ãäå

D

0

= e

0

E

. Ïðè èçìåíåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ èçìåíÿþòñÿ îáå ñîñòàâëÿþ-

ùèå; òàêèì îáðàçîì,

d

dt

d

dt

d

dt

D

D

P

=

+

0

.

Âòîðàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè, êàê òîëüêî ÷òî áûëî óñòàíîâ-

ëåíî, åñòü âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà

¢

J

ñìåùåíèÿ, îáÿçàííîãî ñâîèì ïîÿâëåíèåì

äâèæåíèþ îáëàäàþùèõ çàðÿäàìè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö â âåùåñòâå äèýëåêòðèêà.

Î÷åâèäíî, è ïåðâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èìååò ôèçè÷åñêóþ ðàçìåðíîñòü ïëîòíîñòè

òîêà. Îíà õàðàêòåðèçóåò ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ â ñàìîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ïðè

åãî èçìåíåíèè âî âðåìåíè. Îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, ðàññìàòðèâàåìîãî êàê ôîðìà

ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåðèè â âèäå ïîëÿ, ò. å. îáëàñòü, â êîòîðîé îòñóòñòâóþò èçâåñò-

íûå íàì ÷àñòèöû ìàòåðèè, ðàíåå áûëà íàçâàíà ïóñòîòîé. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâóþ

ñîñòàâëÿþùóþ ìîæíî íàçâàòü ï ë î ò í î ñ ò ü þ ò î ê à ñ ì å ù å í è ÿ â ï ó ñ ò î -

òå, îáîçíà÷èì åå

J

0

0

=

d

d

D

t

.

Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð ïëîòíîñòè

âñåãî

òîêà ñìåùåíèÿ â äèýëåêòðèêå, êîòî-

ðûé îáîçíà÷èì

J

ñì

, ðàâåí

J

J

J

ñì

=

=

=

+

+

d

d

' =

D

D

D

P

0

0

0

t

d

dt

d

dt

d

dt

.

Ïðîèçâîäíóþ âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ

D

ïî âðåìåíè ñëåäóåò ïîíè-

ìàòü â âåêòîðíîì ñìûñëå. Åñëè â òî÷êå

A

âåêòîð ñìåùåíèÿ èçìåíÿåòñÿ íå òîëüêî

ïî âåëè÷èíå, íî è ïî íàïðàâëåíèþ (ðèñ. 1.14), òî âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà

J

ñì

óæå

íå áóäåò ñîâïàäàòü ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì ñìåùåíèÿ. Íàïðàâëåíèå âåêòî-

ðà

J

ñì

åñòü íàïðàâëåíèå, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ ïðèðàùåíèå

D

D

âåêòîðà ñìåùå-

íèÿ

D

, ïðîèñõîäÿùåå çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè

D

t

, êîãäà

D

t

®

0. Íà ðèñ. 1.15 è 1.16

ïðèâåäåíû ÷àñòíûå ñëó÷àè, êîãäà

D

ìåíÿåòñÿ òîëüêî ïî âåëè÷èíå èëè òîëüêî ïî

íàïðàâëåíèþ.

Äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà ñìåùåíèÿ èìååì âî âñåõ ñëó÷àÿõ

âûðàæåíèÿ

J

J

J

ñì

ñì

ñì

x

x

y

y

z

z

dD

dt

dD

dt

dD

dt

=

=

=

;

;

.

40

×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ïðè ïåðåìåííîì ïîëå òîê ñìåùåíèÿ, ïðèíöèïèàëüíî ãîâîðÿ, ñóùåñòâóåò íå

òîëüêî â äèýëåêòðèêàõ, íî òàêæå è â ïîëóïðîâîäÿùèõ è ïðîâîäÿùèõ âåùåñòâàõ.

Äåéñòâèòåëüíî, ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ïîëÿ ìîëåêóëû ýòèõ âåùåñòâ äîëæíû

ïîëÿðèçîâàòüñÿ òàê æå, êàê è ìîëåêóëû äèýëåêòðèêà, è, êðîìå òîãî, äîëæíî âîç-

íèêàòü ñìåùåíèå â ïóñòîòå. Â ïîëóïðîâîäÿùèõ âåùåñòâàõ ñ òîêàìè ñìåùåíèÿ

ïðèõîäèòñÿ ñ÷èòàòüñÿ òîëüêî ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêèõ ÷àñòîòàõ èçìåíåíèÿ ýëåê-

òðè÷åñêîãî ïîëÿ. Â ïðîâîäÿùèõ æå âåùåñòâàõ òîêè ñìåùåíèÿ íè÷òîæíî ìàëû ïî

ñðàâíåíèþ ñ òîêàìè ïðîâîäèìîñòè äàæå ïðè âåñüìà âûñîêèõ ÷àñòîòàõ. Ñ äðóãîé

ñòîðîíû, â èçîëèðóþùåì âåùåñòâå íàðÿäó ñ òîêàìè ñìåùåíèÿ îáû÷íî ñóùåñòâó-

þò òîêè ïðîâîäèìîñòè, õîòÿ îíè âåñüìà ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûìè óæå ïðè

íèçêèõ ÷àñòîòàõ.

 îòíîøåíèè ïåðâîé ñîñòàâëÿþùåé

J

0

âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà ñìåùåíèÿ, ò. å.

ïëîòíîñòè òîêà ñìåùåíèÿ â ïóñòîòå, íàãëÿäíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïðè ñîâðåìåííîì

ñîñòîÿíèè íàóêè íå ìîæåò áûòü äàíà, òàê êàê ìû åùå íå èìååì ñêîëü-íèáóäü äå-

òàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î âíóòðåííåì ñòðîåíèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, î òåõ

âíóòðåííèõ ïðîöåññàõ, êîòîðûå â íåì ñîâåðøàþòñÿ. Îäíàêî, äàæå íå èìåÿ äëÿ

ïåðâîé ñîñòàâëÿþùåé

J

0

ïëîòíîñòè òîêà ñìåùåíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ñòîëü æå íà-

ãëÿäíîãî, êàê äëÿ âòîðîé åãî ñîñòàâëÿþùåé

J

¢

, ìîæíî âûñêàçàòü ÷ðåçâû÷àéíî

âàæíîå ïðåäïîëîæåíèå, à èìåííî: ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî âàæíåéøåå ïðîÿâëåíèå

ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà — ïîÿâëåíèå ñâÿçàííîãî ñ íèì ìàãíèòíîãî ïîëÿ — áóäåò

îäèíàêîâûì äëÿ îáåèõ ñîñòàâëÿþùèõ. Îïûò ïîëíîñòüþ ïîäòâåðæäàåò òàêîå

ïðåäïîëîæåíèå.

Ýòè èäåè âïåðâûå áûëè âûñêàçàíû Ìàêñâåëëîì è ïðèâåëè ê ñîçäàíèþ èì

òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî ýòèì èäåÿì, ïðè âñÿ-

êîì èçìåíåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, äàæå â ïðåäïîëîæåíèè îòñóòñòâèÿ â íåì

÷àñòèö âåùåñòâà (

P

=

0), äîëæíî âîçíèêàòü â òîì æå ïðîñòðàíñòâå ñâÿçàííîå ñ

ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ìàãíèòíîå ïîëå, ò. å. îáðàçóåòñÿ åäèíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå

ïîëå. Ýòè âàæíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóäóò íàìè ðàçâèòû ïîäðîáíåå â äàëüíåéøåì.

 ñâåòå ñêàçàííîãî ðàíåå êîëè÷åñòâåííî ïîëíûé ýëåêòðè÷åñêèé òîê, èëè ïîë-

íûé òîê, åñòü ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ ñóììå òîêà ïðîâîäèìîñòè è òîêà ñìå-

ùåíèÿ ñêâîçü ðàññìàòðèâàåìóþ ïîâåðõíîñòü, ò. å.

i dq

dt

d

dt

d

=

+

ò

D s

s

0

.

 ýòîì âûðàæåíèè â

q

âõîäÿò è çàðÿäû ñâîáîäíûõ íîñèòåëåé, è ñóììàðíûé

ñâÿçàííûé çàðÿä, ïðîõîäÿùèé ñêâîçü ïîâåðõíîñòü ïðè ïîëÿðèçàöèè âåùåñòâà.

Âòîðîé ÷ëåí â âûðàæåíèè äëÿ òîêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîê ñìåùåíèÿ â ïóñòîòå,

Ãëàâà 1. Îáîáùåíèå ïîíÿòèé è çàêîíîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

41

Ðèñ. 1.14

Ðèñ. 1.15

Ðèñ. 1.16

ÿâëÿþùèéñÿ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé è ðàâíûé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ïîòîêà

ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ ñêâîçü ðàññìàòðèâàåìóþ ïîâåðõíîñòü.

1.7. Ïðèíöèï íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà

Âîîáðàçèì â äèýëåêòðèêå çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü

s

(ðèñ. 1.17) è ïðåäñòàâèì, ÷òî

çàðÿæàåòñÿ òåëî

A

, ðàñïîëîæåííîå âíóòðè ýòîé ïîâåðõíîñòè. Ïðè óâåëè÷åíèè

çàðÿäà

q

òåëà óñèëèâàåòñÿ îêðóæàþùåå åãî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå è âîçðàñòàåò

ýëåêòðè÷åñêîå ñìåùåíèå â äèýëåêòðèêå. Ïîýòîìó ñêâîçü ïîâåðõíîñòü

s

èçíóòðè

íàðóæó ïðîòåêàåò òîê ñìåùåíèÿ. Ïîòîê âåêòîðà ñìåùåíèÿ ñêâîçü ïîâåðõíîñòü

s

ðàâåí ñâîáîäíîìó çàðÿäó

q

, çàêëþ÷åííîìó âíóòðè ïîâåðõíîñòè:

D s

d

s

ò

=

q.

Âîçüìåì ïðîèçâîäíóþ îò ýòîãî ðàâåíñòâà ïî âðåìåíè. Ïîëó÷èì:

d

dt

d

dq

dt

s

D s

ò

=

.

Âåëè÷èíà

d

dt

d

d

i

s

s

D s

s

ò

ò

=

=

J

ñì

ñì

åñòü òîê ñìåùåíèÿ ñêâîçü ïîâåðõíîñòü

s

èçíóòðè íàðóæó.

Âåëè÷èíà

dq/dt

åñòü ñêîðîñòü íàðàñòàíèÿ ñâîáîäíîãî çàðÿäà, çàêëþ÷åííîãî

âíóòðè ïîâåðõíîñòè

s

. Óâåëè÷åíèå ñâîáîäíîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà â îáúåìå

ïðîñòðàíñòâà, îãðàíè÷åííîãî ïîâåðõíîñòüþ

s

, âîç-

ìîæíî òîëüêî ïóòåì ïåðåíîñà ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿ-

äîâ èç âíåøíåãî ïðîñòðàíñòâà âíóòðü îáúåìà èëè

îòðèöàòåëüíûõ çàðÿäîâ — â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè.

Ýòîò ïåðåíîñ ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí ëèáî ïðè òîêå

ïðîâîäèìîñòè

i

ïð

â ïðîâîäíèêàõ, ïåðåñåêàþùèõ ïî-

âåðõíîñòü

s

, ëèáî ïðè òîêå ïåðåíîñà

i

ïåð

, êîãäà çàðÿ-

äû ïåðåíîñÿòñÿ ñêâîçü ïîâåðõíîñòü íà çàðÿæåííûõ

òåëàõ èëè äâèæóùèìèñÿ â ïðîñòðàíñòâå çàðÿæåí-

íûìè ÷àñòèöàìè. Åñëè

dq/dt >

0, òî ïîëîæèòåëüíûå

çàðÿäû ïåðåíîñÿòñÿ èç âíåøíåãî ïðîñòðàíñòâà âíóòðü îáúåìà, îãðàíè÷åííîãî ïî-

âåðõíîñòüþ

s

, à ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà òîêîâ (

i

ïð

+

i

ïåð

) áóäåò îòðèöàòåëüíà, òàê êàê

ïîëîæèòåëüíîé ñ÷èòàåì âíåøíþþ íîðìàëü. Òàêèì îáðàçîì,

dq

dt

= -

+

(

)

i

i

.

ïð

ïåð

Ðàâåíñòâî

d

dt

d

dq

dt

s

D s

ò

=

òåïåðü ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå

i

i

i

ñì

ïð

ïåð

= -

+

(

) èëè

i + i + i =

ñì

ïð

ïåð

0.

Ñëåäîâàòåëüíî,

ñóììà òîêîâ âñåõ ðîäîâ — ïðîâîäèìîñòè, ïåðåíîñà è ñìåùå-

íèÿ — ñêâîçü ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâíà íóëþ

.

42

×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè

Ðèñ. 1.17