Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

-

+

+

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ = ¢

+

&

&

&

&

,

U

Z

U

Z

Z

Z

E

Z

U

Z

20

4

30

1

4

6

6

6

10

1

1

1

1

1

1

1

ðåøåíèå êîòîðûõ

&

U

20

=

2 +

j

Â,

&

U

30

=

– 3 + 6

j

Â. Èñêîìûå òîêè ðàâíû:

&

I

1

=

6 À,

&

I

2

=

+1 – 5

j

À,

&

I

3

=

5(1 +

j

) À,

&

I

4

=

5

j

À,

&

I

5

=

1 À,

&

I

6

=

6 + 5

j

À.

Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ

&

&

&

(

)

,

&

&

(

)

&

(

I

I

j I

j

I

j I

j

I

ê

ê

ê

ê

ê

ê

1

2

3

1

2

3

1

1

4

1

1

× +

× -

+

=

× +

+ -

+

j

I

j

I

j

I

j

)

,

&

(

)

&

(

)

&

(

)

,

=

-

+ -

+ +

+

=

0

1

1

2

1

2

3

ê1

ê

ê

íàõîäèì êîíòóðíûå òîêè

&

I

ê

1

=

5(1 +

j

) À,

&

I

ê

2

=

6 À,

&

I

ê

3

=

6 + 5

j

À è äàëåå òîêè âåòâåé.

8.

Ãðàô ñõåìû èçîáðàæåí íà ðèñ. Ð5.15.

Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ ìåòîäà ñå÷åíèé

(

)

&

&

(

)

&

&

,

&

(

Y Y

Y U

U

Y U

Y E

U

Y

Y

Y

1

5

7

1

2

5

3

7

7

1

2

4

6

0

0

+

+

+ ×

+ -

=

×

+

+

+

)

&

(

)

&

&

,

&

(

)

&

(

U

Y

Y U

Y E

Y U

Y

Y U

Y

Y

2

4

6

3

6

6

5 1

4

6

2

3

4

+ - -

= -

-

+ - -

+

+

+

Y

Y U

Y E

5

6

3

6

6

+

=

)

&

&

,

è ó÷èòûâàÿ, ÷òî

Y

6

=

Y

7

= ¥

, íàõîäèì:

&

U

1

=

&

E

7

=

10 Â,

&

U

2

=

Y

4

&

E

6

/

Y

2

=

–5 +

j

15 Â,

&

&

U

U

3

2

=

+

&

E

6

=

– 10 +

j

20 Â,

&

I

1

=

5 –

j

5 À,

&

I

2

=

– 5 +

j

5 À,

&

I

3

=

j

10 À,

&

I

4

=

– 5 +

j

5 À,

&

I

5

=

5 –

j

15 À,

&

I

6

=

0 À,

&

I

7

=

j

10 À.

9.

Ãðàô ñõåìû, äåðåâî (âåòâü

2

) è ñâÿçè (âåòâè

1

,

3

) èçîáðàæåíû

íà ðèñ. Ð5.16.
Ïðèíèìàÿ â êà÷åñòâå èñêîìûõ âåëè÷èí íàïðÿæåíèå

&

U

2

è òîêè

&

I

1

,

&

I

3

,

çàïèñûâàåì óðàâíåíèÿ ìåòîäà ñìåøàííûõ âåëè÷èí

&

&

,

&

(

)

&

&

U

Z

Z

Z

E

Z

I Z

Z

I Z

E

2

1

2

3

1

1

1

2

3

2

1

1

1

1

+

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ = ×

+

-

=

-

&

&

(

)

.

I Z

I Z

Z

1 2

3

2

3

0

+

+

=

10.

Åñëè èñòî÷íèê òîêà

&

Á

ab

=

&

Á

, äåéñòâóÿ â âåòâè

àb

ñêîëü óãîäíî ñëîæíîé öåïè,

ïðè îòñóòñòâèè â öåïè ïðî÷èõ èñòî÷íèêîâ òîêà âûçûâàåò â äðóãîé âåòâè

cd

ýòîé

öåïè íàïðÿæåíèå

&

U

cd

=

&

U

, òî òàêîé æå èñòî÷íèê òîêà

&

Á

cd

=

&

Á

, äåéñòâóÿ â âåòâè

cd

,

ïðè îòñóòñòâèè ïðî÷èõ èñòî÷íèêîâ òîêà âûçîâåò â âåòâè

àb

òàêîå æå íàïðÿæå-

íèå

&

U

cd

=

&

U

.

11.

Íàéäåì ìåòîäîì íàëîæåíèÿ òîêè â ýëåêòðè-

÷åñêîé öåïè âàðèàíòà

â

. Ïðè äåéñòâèè èñòî÷íè-

êà

&

E

1

òîêè â âåòâÿõ öåïè ðàâíû (ðèñ. Ð5.17,

à

).

&

&

¢ =

I

E

Z

2

1

2

,

&

&

&

¢ = ¢ =

+

I

I

E

Z

Z

3

4

1

3

4

,

&

&

&

¢ = ¢ + ¢

I

I

I

1

2

4

,

&

I

5

'

=

0.

418

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. Ð5.15

Ðèñ. Ð5.16

Ðèñ. Ð5.17

Òîêè â âåòâÿõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âî âòîðîì ðåæèìå, êîãäà äåéñòâóåò ëèøü èñ-

òî÷íèê òîêà

&

J

2

, ðàâíû (ðèñ. Ð5.17,

á

)

&

&

¢¢ =

I

J

5

2

,

&

&

¢¢ = Á

+

I

Z

Z

Z

3

2

4

3

4

,

&

&

¢¢ = Á

+

I

Z

Z

Z

4

2

3

3

4

,

&

&

¢¢ = ¢¢

I

I

1

4

,

&

¢¢ =

I

2

0.

Òàêèì îáðàçîì,

&

&

&

I

I

I

1

1

1

= ¢ - ¢¢

,

&

&

I

I

2

2

= ¢

,

&

&

&

I

I

I

3

3

3

= ¢ + ¢¢

,

&

&

&

I

I

I

4

4

4

= ¢ - ¢¢

,

&

&

I

I

5

5

= ¢

.

12.

Òîê

&

I

k

k

-é âåòâè öåïè, ðàññ÷èòûâàåìîé ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà âçàèìíîñòè îï-

ðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ:

&

&

&

&

,

( )

I

I E

E

k

m

k

m

m

k

=

å

ãäå

&

( )

I

m

k

— îäíîêðàòíî ðàññ÷èòûâàåìûå òîêè âî âñåõ

m

âåòâÿõ ñõåìû ïðè äåéñò-

âèè â

k

-îé âåòâè ÝÄÑ

&

E

k

,

&

E

m

— ÝÄÑ, äåéñòâóþùàÿ â

m

-é âåòâè. Òàêèì îáðàçîì,

íàèáîëüøèé ýôôåêò ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ðàñ÷åòà, îñíîâàííîãî íà ïðèíöèïå âçà-

èìíîñòè, áóäåò äîñòèãàòüñÿ ïðè ðàñ÷åòå öåïåé ñ îòíîñèòåëüíî áîëüøèì ÷èñëîì

èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ.

13.

Íà îñíîâàíèè òåîðåìû îá ýêâèâàëåíòíîì ãåíåðàòîðå çàìåíèì öåïü îòíîñè-

òåëüíî âûäåëåííûõ çàæèìîâ

À

è

Â

ýêâèâàëåíòíûì ãåíåðàòîðîì ñ âíóòðåííèì

ñîïðîòèâëåíèåì

R

ã

è ÝÄÑ

Å

ã

. Òîãäà

R

U

I

AB

AB

ã

êç

=

0

=

2 Îì. Òàêèì îáðàçîì, òîê â ðåçè-

ñòîðå

R

AB

=

6 Îì ðàâåí

I

U

R

R

AB

AB

=

+

0

ã

=

0,5 À.

14.

Ïðè ðàçðûâå âåòâè

AB

íàïðÿæåíèå

U

0

íàõîäèì, ó÷èòûâàÿ

óðàâíåíèå 2-ãî çàêîíà Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà, ïîêàçàííîãî íà

ðèñ. Ð5.18:

&

&

&

&

I Z

U

I Z

E

1

1

0

4

4

+

+

=

.

Òàê êàê

&

&

,

I

E

Z

Z

1

1

1

3

24

8

3

=

+

=

=

A

&

&

,

,

I

E

Z

Z

4

1

2

4

24

16

15

=

+

=

=

A

òî

&

& &

&

U

E I Z

I Z

0

1

1

4

4

24 12 12 0

= -

-

=

-

-

=

.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

Z

ã

+

Z

ab

¹

0, íàõîäèì èñêîìûé òîê

&

I

ab

=

0.

15.

Ïðåîáðàçóÿ èñòî÷íèê òîêà

&

Á

2

â ñõåìå

à

â ýêâèâàëåíòíûé åìó èñòî÷íèê ÝÄÑ

&

&

E

j L

= Á ×

2

3

w

, ïîëó÷àåì:

&

&

&

I

E

j L

r

j L

=

- Á ×

+

1

2

3

1

3

w

w

. Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ

íàïðÿæåíèé

&

U

r

j L

j C

10

1

3

2

1

1

+

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

w

w

=

+

&

&

E

r

E j C

1

1

2

3

1

w

â ñõåìå

á

è ðàññ÷èòûâàÿ

&

U

10

,

íàõîäèì äàëåå èñêîìûé òîê

&

&

&

I

E

U

r

=

-

1

10

1

(óçåë 1

¾

âåðõíèé óçåë ñõåìû).

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

419

Ðèñ. Ð5.18

ÇÀÄÀ×È

1.

Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå ñîåäèíåíèÿ

n

-ëó÷åâîé çâåçäîé â ýêâèâàëåíòíûé

n

-óãîëüíèê (

n

> 3). Ïðîíóìåðóåì óçëû ñõåìû, â êîòîðîé âûäåëåíà ðàññìàòðè-

âàåìàÿ ìíîãîëó÷åâàÿ çâåçäà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. Ð5.19.
Äëÿ òîêà

k

-ãî «ëó÷à» çâåçäû èìååì

&

(

&

&

) ,

, ,

,

I

U

U

Y

k

n

k

k

n

k

=

-

=

+

0

1 0

1

(*)

ãäå

&

U

k

0

— íàïðÿæåíèå ìåæäó

k

-ì è íóëåâûì

óçëàìè. Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå ïåðâîãî çàêîíà

Êèðõãîôà äëÿ óçëà

n

+ 1, ïîëó÷àåì

&

(

&

&

)

,

,

I

U

U

Y

k

k

k n

k

n

k

k

k n

=

=

+

=

=

å

å

=

-

=

1

0

1 0

1

0

îòêóäà

&

&

.

,

U

U Y

Y

n

k

k

k

k n

k

k

k n

+

=

=

=

=

=

å

å

1 0

0

1

1

Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ

&

,

U

n

+

1 0

â ñîîòíîøåíèå (*), ïîëó÷èì

&

&

&

(

&

,

,

,

I

U

U Y

Y Y

U

k

k

k

k

k

k n

k

k

k n

k

k

=

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ =

=

=

=

=

=

å

å

0

0

1

1

[

0

10

1

0

20

2

0

1 0

1

-

+

-

+

-

+

+

-

-

&

)

(

&

&

)

(

&

&

)

(

&

,

,

,

U Y

U

U Y

U

U

Y

U

k

k

k

k

k

]

,

,

,

,

&

)

(

&

&

)

0

1 0

1

0

0

1

-

+ +

-

æ
è

çç

ö
ø

+

+

=

=

å

U

Y

U

U

Y

Y

Y

k

k

k

n

n

k

k

k

k n

K

÷÷ =

=

+

+ +

+

+

-

-

+

+

(

&

&

&

&

&

,

,

,

,

U Y U Y

U

Y

U

Y

U

k

k

k k

k

k k

k

k

1 1

2 2

1

1

1

1

K

,

,

)(

)

&

,

, ,

n

n

k

k

k p

p

p n

p

k

k

k n

Y Y Y

Y

Y

U Y

k

n Y

Y

×

=

=

=

=

å

å

=

=

å

=

=

å

1

1

1

å

.

Òàêèì îáðàçîì, òîê, âõîäÿùèé â

k

-é óçåë ìíîãîëó÷åâîé çâåçäû, ìîæåì ïðåäñòà-

âèòü â âèäå:

&

&

&

&

&

,

,

,

,

I

U Y Y

Y

U Y Y

Y

U

Y Y

Y

U

k

k

k

k

k

k k

k

k

k

=

+

+ +

+

å

å

-

-

å

1

1

2

2

1

1

K

k

k

k

k n

n k

Y Y

Y

U Y Y

Y

+

+

å

å

+ +

1

1

K &

.

,

Òîê

&

I

k

'

, âõîäÿùèé â

k

-é óçåë ìíîãîóãîëüíèêà (ðèñ. Ð5.19), ìîæåì îïðåäåëèòü

èç ñîîòíîøåíèÿ

&

&

&

&

&

,

,

,

,

,

,

,

I

U Y

U Y

U

Y

U

Y

k

k

k

k

k

k k

k k

k k

k

'

=

+

+ +

+

-

-

+

1

1

2

2

1

1

1

K

,

,

,

&

.

k

k n k n

U Y

+

+ +

1

K

Äëÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ñõåì, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. Ð5.19, íåîáõîäèìî, ÷òîáû

ïðè ðàâíûõ íàïðÿæåíèÿõ

&

( ,

, ,

)

U k p

n k p

kp

=

¹

1

, áûëè ðàâíû òîêè

&

&

,

,

I

I k

n

k

k

=

=

'

1 .

Ñîïîñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ òîêîâ, ïîëó÷àåì

Y

Y Y

Y

kp

p k

=

å

.

Îòìåòèì, ÷òî îáðàòíàÿ çàäà÷à ýêâèâàëåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ

n

-óãîëüíèêà â

n

-ëó-

÷åâóþ çâåçäó (

n

> 3) â îáùåì ñëó÷àå íåðàçðåøèìà.

420

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. Ð5.19

2.

Ñïîñîá ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîêàçàí íà ïðèìåðå (ðèñ. Ð5.20).

3.

Âåêòîð íàïðÿæåíèé

U

â

âñåõ âåòâåé ñõåìû ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïî ôîðìóëå

U

â

=

A

Ò

U

0

. Åñëè âåòâè ãðàôà ïðîíóìåðîâàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî âåòâè äåðåâà

èìåþò ìåíüøèå íîìåðà, òî ïåðâûå

q

(ãäå

q —

÷èñëî ñòðîê ìàòðèöû

À

) ýëåìåíòîâ

âåêòîðà

U

â

ñîñòàâëÿþò âåêòîð

U

1

. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî

U

â

=

D

Ò

U

1

=

A

Ò

U

0

, îòêóäà ïîëó÷èì

DA

Ò

U

0

=

DD

Ò

U

1

è

U

1

=

(

DD

Ò

)

–

1

U

0

.

Ìàòðèöà

DD

Ò

=

D1D

Ò

íå îñîáåííàÿ, òàê êàê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòðèöó óçëî-

âûõ ïðîâîäèìîñòåé öåïè, â êàæäîé âåòâè êîòîðîé íàõîäèòñÿ ïðîâîäèìîñòü, çíà-

÷åíèå êîòîðîé ðàâíî åäèíèöå.

4.

Ðàññìîòðèì ñõåìó èç îòâåòà íà âîïðîñ 4. Âåòâü 3 ñõåìû ñîäåðæèò èäåàëüíûé

èñòî÷íèê ÝÄÑ. Ñèñòåìà óðàâíåíèé ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé èìååò âèä:

1

1

1

0

1

1

2

10

1

20

30

1

1

1

10

Z

Z

U

Z

U

U

E
Z

Z

U

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

-

- ×

= -

-

&

&

&

&

,

&

+

+

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

-

=

+

Á

1

1

1

1

0

3

1

5

20

5

30

3

3

1

1

6

Z

Z

Z

U

Z

U

E
Z

E
Z

&

&

&

&

&

,

+

×

-

+

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

=

ì

í

ï

ï

ïï

î

ï

ï

ï

ï

&

&

&

.

U

Z

U

Z

Z

U

10

5

20

4

5

30

1

1

1

0

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

421

Ðèñ. Ð5.20

Âî âòîðîì óðàâíåíèè âñå ñëàãàåìûå, íå ñîäåðæàùèå 1/

Z

3

, èìåþùèå êîíå÷íîå

çíà÷åíèå, ìîãóò áûòü îòáðîøåíû. Òîãäà âòîðîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä:

1

3

20

3

3

Z

U

E
Z

&

&

=

, îòêóäà

&

&

U

E

20

3

=

.

Ó÷èòûâàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå, èñõîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæåì ïðåîáðàçîâàòü

ê âèäó:

1

1

1

1

1

1

2

10

1

3

1

4

5

Z

Z

U

Z

E

E

Z

Z

U

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

=

-

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

&

(

&

&

),

&

30

5

3

1

=

ì

í

ï

ï

î

ï

ï

Z

E

&

,

îòêóäà ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû óçëîâûå íàïðÿæåíèÿ

&

U

10

è

&

U

30

. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ

èñïîëüçîâàíèÿ ðàññìîòðåííîãî ïðèåìà íåîáõîäèìî òàê ïåðåíóìåðîâàòü óçëû

ñõåìû, ÷òîáû èäåàëüíûé èñòî÷íèê ÝÄÑ ïîäõîäèë ê íóëåâîìó óçëó, ÷òî íå âñåãäà

âîçìîæíî, åñëè ñõåìà ñîäåðæèò íåñêîëüêî èäåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ.

5.3. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íàëè÷èè

âçàèìíîé èíäóêöèè

ÂÎÏÐÎÑÛ

1.

Ýòî âîçìîæíî, åñëè íàïðÿæåíèå âçàèìíîé èíäóêöèè íà êàòóøêå íàïðàâëåíî

íàâñòðå÷ó íàïðÿæåíèþ ñàìîèíäóêöèè è ïðåâûøàåò åãî ïî ìîäóëþ. Êàòóøêè â

ýòîì ñëó÷àå äîëæíû áûòü âêëþ÷åíû âñòðå÷íî è çíà÷åíèå

ê

M

12

I

2

ê

äîëæíî áûòü

áîëüøå çíà÷åíèÿ

L

1

I

1

(

I

1

,

I

2

— òîêè êàòóøåê 1 è 2).

2.

Ïðè ëþáîì ñïîñîáå âêëþ÷åíèÿ èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ êàòóøåê ïàññèâíîé

öåïè àêòèâíàÿ ìîùíîñòü íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé.

4.

Îáîçíà÷èâ

&

I

1

-

— òîê êàòóøêè

L

1

äî çàìûêàíèÿ êëþ÷à,

&

I

1

+

,

&

I

2

+

— òîêè êàòóøåê

ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à, ìîæåì ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé çàêîíîâ Êèðõ-

ãîôà

&

I

1

-

j

w

L

1

=

&

I

1

+

j

w

L

1

+

&

I

2

+

j

w

M

=

&

I

2

+

j

w

L

2

+

&

I

1

+

j

w

M

ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèÿ

&

&

I

I L L

L M

L L

M

1

1

1 2

1

1 2

2

+

-

=

-

-

,

&

&

I

I L

L M

L L

M

2

1

1

2

1

1 2

2

+

-

=

-

-

,

&

&

&

&

I

I

I L L

L M L

L L

M

I

1

2

1

1 2

1

1

2

1 2

2

2

+

+

-

+

+

=

-

+

-

=

.

Ïîêàçàíèå àìïåðìåòðà A

1

îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâóþùèì çíà÷åíèåì òîêà

I

+

, à àì-

ïåðìåòðà A

2

— òîêà

I

1+

.

Êàê âèäíî, òîê êàòóøêè

L

1

ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à íå èçìåíèòñÿ ïðè

L

1

=

M

(ëèáî ïðè

M

=

0), óìåíüøèòñÿ ïðè

L

1

>

M

è óâåëè÷èòñÿ ïðè

L

1

<

M

.

Òîê

I

+

íå èçìåíèòñÿ ïðè

M

=

L

1

, âîçðàñòåò ïðè

M

>

L

1

è óìåíüøèòñÿ ïðè

M

<

L

1

.

5.

Âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè

à

, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå ñëåâà öåïè áîëüøå,

òàê êàê íàïðÿæåíèÿ âçàèìíîé èíäóêöèè íà êàòóøêàõ ýòîé öåïè ñîâïàäàþò ñ íà-

ïðÿæåíèÿìè ñàìîèíäóêöèè, ÷òî è âåäåò ê óâåëè÷åíèþ èõ ñîïðîòèâëåíèÿ.

7.

Ïðè óñëîâèè

à

èìååì

D

x

> 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà

w

L

2

+

x

ïð

< 0, òàê ÷òî

ïðèåìíèê äîëæåí õàðàêòåðèçîâàòüñÿ ýêâèâàëåíòíûì åìêîñòíûì ñîïðîòèâëåíè-

åì. Ïðè óñëîâèè

á

ïðèåìíèê èìååò ýêâèâàëåíòíîå èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå.

422

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷