ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 418
Скачиваний: 1
— 21 —
Рассмотрим функции
z
n
(
t
) = inf
{
x
n
(
t
)
, x
n
+1
(
t
)
, ...
}
. Как и для функций
y
n
(
t
)
, получим, что функции
z
n
∈
L
(
x
0
)
,
z
n
(
t
)
%
x
(
t
)
и
Ix
= lim
n
→∞
Iz
n
.
Из неравенств
z
n
(
t
)
≤
x
n
(
t
)
≤
y
n
(
t
)
следуют неравенства
Iz
n
≤
Ix
n
≤
Iy
n
,
из которых при
n
→ ∞
получим
Ix
= lim
n
→∞
Ix
n
.
♥
Осталось заметить, что лемма 20 и есть теорема 7 в эквивалентной фор-
мулировке.
Следствие 1.
Пусть функция
x
(
t
)
измерима на
[
a, b
]
и существует функ-
ция
x
0
∈
L
[
a, b
]
такая, что
|
x
(
t
)
| ≤
x
0
(
t
)
п.в. на
[
a, b
]
. Тогда
x
∈
L
[
a, b
]
.
Доказательство.
Пусть
{
h
n
(
t
)
}
– последовательность ступенчатых функ-
ций такая, что
h
n
(
t
)
→
x
(
t
)
при
n
→ ∞
п.в. на
[
a, b
]
. Определим функ-
ции
x
n
(
t
) = max
{−
x
0
(
t
)
,
min
{
h
n
(
t
)
, x
0
(
t
)
}}
. Очевидно, что функции
x
n
∈
L
и п.в. на
[
a, b
]
справедлива оценка
|
x
n
(
t
)
| ≤
x
0
(
t
)
. При
n
→ ∞
получим
x
n
(
t
)
→
max
{−
x
0
(
t
)
,
min
{
x
(
t
)
, x
0
(
t
)
}}
=
x
(
t
)
. В результате из теоремы 7
следует
x
∈
L
.
♥
Следствие 2.
Пусть
{
x
n
(
t
)
}
– последовательность измеримых на
[
a, b
]
функций такая, что
x
n
(
t
)
→
x
(
t
)
при
n
→ ∞
п.в. на
[
a, b
]
и функция
x
(
t
)
конечна п.в. на
[
a, b
]
. Тогда функция
x
(
t
)
измерима на
[
a, b
]
.
Доказательство.
Определим функции
y
n
(
t
) =
x
n
(
t
) (1 +
|
x
n
(
t
)
|
)
−
1
. Функ-
ции
y
n
(
t
)
измеримы и ограничены
|
y
n
(
t
)
|
<
1
. Тогда функции
y
n
∈
L
. Из
теоремы 7 при
n
→ ∞
получим
y
n
(
t
)
→
x
(
t
) (1 +
|
x
(
t
)
|
)
−
1
=
y
(
t
)
∈
L
, в част-
ности, функция
y
(
t
)
измерима. Так как функция
x
(
t
)
конечна п.в. на
[
a, b
]
,
то
|
y
(
t
)
|
<
1
п.в. на
[
a, b
]
. Тогда п.в. на
[
a, b
]
функция
x
(
t
) =
y
(
t
) (1
− |
y
(
t
)
|
)
−
1
и, следовательно, измерима.
♥
Теорема (Фату) 8.
Пусть последовательность функций
{
x
n
} ⊂
L
[
a, b
]
такая, что все функции
x
n
(
t
)
≥
0
и
x
n
(
t
)
→
x
(
t
)
при
n
→ ∞
п.в. на
[
a, b
]
.
Кроме того,
(
∃
c
)(
∀
n
∈
N
)[
Ix
n
≤
c
]
. Тогда функция
x
∈
L
[
a, b
]
и
0
≤
Ix
≤
c
.
Доказательство.
Определим функции
y
n
(
t
) = inf
{
x
n
(
t
)
, x
n
+1
(
t
)
, ...
}
. По-
кажем, что функции
y
n
∈
L
. Для этого рассмотрим суммируемые функции
y
k
n
(
t
) = min
{
x
n
+1
(
t
)
, x
n
+2
(
t
)
, ..., x
n
+
k
(
t
)
}
, где
k
∈
N
. Как в подобном случае в
лемме 19, можно показать, что
y
k
n
(
t
)
&
y
n
(
t
)
при
k
→ ∞
и фиксированном
n
∈
N
. Далее заметим, что
y
k
n
(
t
)
≥
0
, и поэтому
Iy
k
n
≥
0
. Воспользовавшись
теперь замечанием к следствию 1 теоремы 5, получим
y
n
∈
L
.
Далее, как и в лемме 20, устанавливается, что
y
n
(
t
)
%
x
(
t
)
. Кроме того,
y
n
(
t
)
≤
x
n
(
t
)
, поэтому
Iy
n
≤
Ix
n
≤
c
. Воспользовавшись следствием 1 теоре-
мы 5, получим
x
∈
L
и
Ix
= lim
n
→∞
Iy
n
≤
c
. Осталось заметить, что
x
(
t
)
≥
0
и, следовательно,
Ix
≥
0
.
♥
•
Задачи:
11.13 – 11.17.
— 22 —
12. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Множество
A
⊂
[
a, b
]
называется
измеримым
, если измерима (следова-
тельно, суммируема) характеристическая функция этого множества
χ
A
(
t
) =
½
1
,
t
∈
A
0
,
t
∈
[
a, b
]
\
A .
При этом число
Iχ
A
=
µA
называется
мерой множества
A
.
Очевидно, что всякий промежуток
< α, β >
⊂
[
a, b
]
является измеримым
множеством и его мера равна его длине, то есть
µ < α, β >
=
β
−
α
.
•
Задача
12.2.
Простейшие свойства измеримых на
[
a, b
]
множеств
A
и
B
.
1.
Если
A
⊂
B
, то
µA
≤
µB
.
Доказательство
следует из неравенства
χ
A
(
t
)
≤
χ
B
(
t
)
.
2.
Если
A
∩
B
=
∅
, то множество
A
∪
B
измеримо и
µ
(
A
∪
B
) =
µA
+
µB
.
Доказательство
следует из равенства
χ
A
∪
B
(
t
) =
χ
A
(
t
) +
χ
B
(
t
)
.
3.
Если
B
⊂
A
, то множество
A
\
B
измеримо и
µ
(
A
\
B
) =
µA
−
µB
.
Доказательство
следует из равенства
χ
A
\
B
(
t
) =
χ
A
(
t
)
−
χ
B
(
t
)
.
4.
Множество
A
∪
B
измеримо и
µ
(
A
∪
B
)
≤
µA
+
µB
.
Доказательство
следует из равенства
χ
A
∪
B
(
t
) = max
{
χ
A
(
t
)
, χ
B
(
t
)
}
и
оценки
max
{
χ
A
(
t
)
, χ
B
(
t
)
} ≤
χ
A
(
t
) +
χ
B
(
t
)
.
5.
Множество
A
∩
B
измеримо.
Доказательство
следует из равенства
χ
A
∩
B
(
t
) = min
{
χ
A
(
t
)
, χ
B
(
t
)
}
.
6.
Множество
A
\
B
измеримо.
Доказательство
следует из равенства
A
\
B
=
A
\
(
A
∩
B
)
.
•
Задача
12.1.
Теорема 9.
Пусть
{
A
n
}
– последовательность измеримых множеств. То-
гда множество
A
=
S
∞
n
=1
A
n
измеримо.
Доказательство.
Заметим, что
χ
A
(
t
) = sup
{
χ
A
1
(
t
)
, χ
A
2
(
t
)
, ..., χ
A
n
(
t
)
, ...
}
.
Определим измеримые функции
x
n
(
t
) = max
{
χ
A
1
(
t
)
, χ
A
2
(
t
)
, ..., χ
A
n
(
t
)
}
. В
лемме 19 установлено, что
x
n
(
t
)
%
χ
A
(
t
)
. Функция
χ
A
(
t
)
всюду конечна.
Тогда по следствию 2 теоремы 7 функция
χ
A
(
t
)
измерима, то есть измеримо
множество
A
.
♥
Следствие.
Пусть
{
A
n
}
– последовательность измеримых множеств. То-
гда множество
A
=
T
∞
n
=1
A
n
измеримо.
Доказательство.
Обозначим множество
[
a, b
]
\
A
=
CA
(дополнение мно-
жества
A
до отрезка
[
a, b
]
). В таком случае, множество
CA
=
C
∞
\
n
=1
A
n
=
∞
[
n
=1
CA
n
— 23 —
измеримо. Но тогда измеримо и множество
A
=
C
(
CA
) = [
a, b
]
\
CA
.
♥
Теорема 10.
Пусть
{
A
n
}
– последовательность измеримых множеств та-
ких, что
A
1
⊂
A
2
⊂
...
⊂
A
n
⊂
...
. Тогда
µ
(
S
∞
n
=1
A
n
) = lim
n
→∞
µA
n
.
Доказательство.
Как и в теореме 9, определим суммируемые функции
x
n
(
t
) = max
{
χ
A
1
(
t
)
, χ
A
2
(
t
)
, ..., χ
A
n
(
t
)
}
. Заметим, что
x
n
(
t
) =
χ
A
n
(
t
)
. Тогда
получим
χ
A
n
(
t
)
%
χ
A
(
t
)
, где
A
=
S
∞
n
=1
A
n
и
Iχ
A
n
≤
Iχ
A
<
∞
. Воспользовав-
шись следствием 1 из теоремы 5, получим
µA
=
Iχ
A
= lim
n
→∞
Iχ
A
n
= lim
n
→∞
µA
n
.
♥
Следствие.
Пусть
{
A
n
}
– последовательность измеримых множеств та-
ких, что
A
1
⊃
A
2
⊃
...
⊃
A
n
⊃
...
. Тогда
µ
(
T
∞
n
=1
A
n
) = lim
n
→∞
µA
n
.
Доказательство.
Обозначим
A
=
T
∞
n
=1
A
n
и рассмотрим множество
CA
=
C
T
∞
n
=1
A
n
=
S
∞
n
=1
CA
n
.
Множества
CA
n
измеримы и
CA
1
⊂
CA
2
⊂
...
⊂
CA
n
⊂
...
. Следовательно,
µ
(
CA
) = lim
n
→∞
µ
(
CA
n
) = lim
n
→∞
µ
([
a, b
]
\
A
n
) = (
b
−
a
)
−
lim
n
→∞
µA
n
.
С другой стороны,
µ
(
CA
) = (
b
−
a
)
−
µA
, то есть
µA
= lim
n
→∞
µA
n
.
♥
Теорема 11.
Пусть
{
A
n
}
– последовательность измеримых множеств. То-
гда
µ
(
S
∞
n
=1
A
n
)
≤
P
∞
n
=1
µA
n
.
Доказательство.
Считаем далее, что ряд
P
∞
n
=1
µA
n
сходится. В против-
ном случае утверждение очевидно.
Для
n
∈
N
определим измеримые множества
E
n
=
S
n
k
=1
A
k
. Заметим, что
E
1
⊂
E
2
⊂
...
⊂
E
n
⊂
...
и
S
∞
n
=1
A
n
=
S
∞
n
=1
E
n
. Следовательно, по теореме 10
µ
³
∞
[
n
=1
A
n
´
=
µ
³
∞
[
n
=1
E
n
´
= lim
n
→∞
µE
n
.
Так как
µE
n
≤
P
n
k
=1
µA
k
, то
µ
³
∞
[
n
=1
A
n
´
≤
lim
n
→∞
n
X
k
=1
µA
k
=
∞
X
k
=1
µA
k
.
♥
Следствие.
Пусть
{
A
n
}
– последовательность измеримых множеств та-
ких, что
A
i
∩
A
j
=
∅
(
i
6
=
j
)
. Тогда
µ
(
S
∞
n
=1
A
n
) =
P
∞
n
=1
µA
n
.
Доказательство.
Как и в теореме 11, определим измеримые множества
E
n
=
S
n
k
=1
A
k
. Заметим, что
µE
n
=
P
n
k
=1
µA
k
. В таком случае
µ
³
∞
[
n
=1
A
n
´
= lim
n
→∞
µE
n
= lim
n
→∞
n
X
k
=1
µA
k
=
∞
X
k
=1
µA
k
.
♥
— 24 —
Установленное в следствии теоремы 11 свойство называют
счетной адди-
тивностью меры
.
Замечания
1. Всякое ограниченное открытое множество на прямой измеримо и его
мера равна сумме длин составляющих это множество интервалов.
2. Всякое ограниченное замкнутое множество на прямой измеримо, так как
оно является дополнением некоторого открытого множества до наименьшего
отрезка, содержащего исходное замкнутое множество.
3. Всякое ограниченное множество на прямой, которое получается из от-
крытых и замкнутых множеств путем применения операций объединения и
пересечения в счетном числе, а также операции дополнения (разности), яв-
ляется измеримым.
•
Задачи:
12.3 – 12.7.
Поставим вопрос, а существуют ли вообще неизмеримые множества? Сде-
ланные выше замечания показывают, что построение конкретного неизмери-
мого множества весьма сложная задача. До сих пор не известно ни одно-
го конструктивного примера неизмеримого множества. Однако неизмеримые
множества существуют. Покажем это, следуя рассуждениям, которые были
предложены Н.Н. Лузиным.
Существование неизмеримого множества.
Рассмотрим полуин-
тервал
[0
,
1)
, который представим себе свернутым в окружность длины еди-
ница (точки 0 и 1 совпадают). Точки
t, s
∈
[0
,
1)
назовем эквивалентными,
если
|
t
−
s
| ∈
Q
, то есть является рациональным числом. Это отношение
на
[0
,
1)
рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, является
отношением эквивалентности. Тогда все точки на
[0
,
1)
разобьются на мно-
жество классов эквивалентных элементов. Заметим, что каждый класс эк-
вивалентных элементов является счетным множеством (точки, находящиеся
на рациональном расстоянии от некоторой исходной точки). Всех же клас-
сов эквивалентных элементов заведомо несчетное число, так как множество
[0
,
1)
, являющееся объединением всех классов эквивалентных элементов, име-
ет мощность континуум (больше счетного).
Предствим теперь, что каким-то образом из каждого класса эквивалент-
ных элементов выбрано по одному представителю. Объединим этих пред-
ставителей в множество
Z
, которое будем называть
множеством Лузина
.
Покажем, что это множество
Z
неизмеримо.
Пусть
{
r
n
}
– множество всех рациональных чисел из
[0
,
1)
. Построим мно-
жества
Z
n
=
{
t
+
r
n
|
t
∈
Z
}
– сдвиг множества
Z
на
r
n
по дуге окружности.
Заметим, что
Z
n
∩
Z
m
=
∅
при
n
6
=
m
. Если бы это было не так, то для неко-
торых
t, s
∈
Z
выполнялось
t
+
r
n
=
s
+
r
m
, то есть
|
t
−
s
| ∈
Q
и точки
t, s
— 25 —
принадлежали бы одному классу эквивалентных элементов, что невозмож-
но. Рассмотрим теперь произвольную точку
λ
∈
[0
,
1)
. Точка
λ
принадле-
жит некоторому классу эквивалентных элементов, представителем которого
в
Z
является некоторая точка
t
. Тогда
(
∃
r
n
) [
|
λ
−
t
|
=
r
n
]
. Следовательно,
λ
=
t
+
r
n
∈
Z
n
для
λ
≥
t
, либо
λ
=
t
+ (1
−
r
n
) =
t
+
r
m
∈
Z
m
для
λ < t
.
Получили, что
[0
,
1) =
S
∞
n
=1
Z
n
и множества
Z
n
попарно не пересекаются.
Предположим, что множество
Z
измеримо. Тогда измеримы и все сдвиги
Z
n
этого множества, причем,
µZ
n
=
µZ
. Из свойства счетной аддитивности
меры следует, что
1 =
P
∞
n
=1
µZ
n
=
P
∞
n
=1
µZ
. Но это невозможно: ни при
µZ
= 0
, ни при
µZ >
0
.
Полученное противоречие доказывает неизмеримость множества
Z
.
♥
Заметим также, что
χ
Z
(
t
)
– характеристическая функция множества Лу-
зина является неизмеримой.
•
Задача
12.8.
13. СТРУКТУРА ИЗМЕРИМОГО МНОЖЕСТВА
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ МЕРЫ
Далее покажем, что всякое ограниченное измеримое множество положи-
тельной меры, с точностью до множества произвольно малой меры, можно
считать объединением конечного числа интервалов.
Теорема 12.
Пусть на
[
a, b
]
дано измеримое множество
A
с
µA >
0
. Тогда
по любому
ε >
0
найдется множество
B
– конечная система интервалов, а
также измеримые множества
a
и
b
такие, что:
A
∪
b
=
B
∪
a
,
A
∩
b
=
∅
,
B
∩
a
=
∅
и
µa
+
µb < ε
.
Доказательство.
Характеристическая функция
χ
A
(
t
)
измерима. Пусть
{
h
n
(
t
)
}
– последовательность ступенчатых функций такая, что
h
n
(
t
)
п.в.
→
χ
A
(
t
)
при
n
→ ∞
. По каждой функции
h
n
(
t
)
построим новую ступенчатую функ-
цию
h
n
(
t
)
по правилу
h
n
(
t
) =
½
0
,
h
n
(
t
)
<
1
/
2
1
,
h
n
(
t
)
≥
1
/
2
.
Возьмем точку
t
из множества полной меры такую, что
h
n
(
t
)
→
χ
A
(
t
)
. Тогда
(
∃
N
=
N
(
t
)
∈
N
)(
∀
n
≥
N
) [
|
h
n
(
t
)
−
χ
A
(
t
)
|
<
1
/
4]
.
Следовательно, в данной точке для
n
≥
N
выполняется равенство
h
n
(
t
) =
χ
A
(
t
)
. Показали, что
h
n
(
t
)
п.в.
→
χ
A
(
t
)
при
n
→ ∞
.
Обозначим через
B
n
конечную систему интервалов, на которых функция
h
n
(
t
) = 1
. Очевидно, что характеристические функции
χ
B
n
(
t
)
п.в.
=
h
n
(
t
)
и,
следовательно,
χ
B
n
(
t
)
п.в.
→
χ
A
(
t
)
при
n
→ ∞
. Покажем, что при достаточно
большом
n
∈
N
множество
B
n
можно считать искомым множеством
B
.