ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1099
Скачиваний: 7
91
9.3. Электростатика диэлектриков
Основное свойство диэлектриков состоит в невозможности протекания в
них электрического тока. Поэтому в отличие от проводников напряженность
постоянного электрического поля в диэлектрике не обязана быть равной ну-
лю. Уравнения электростатики в таких средах имеют вид (см. (8.21))
div
D
= 4
πρ
ext
,
rot
E
= 0
.
(9.11)
Отличие вектора
D
=
E
+ 4
π
P
от напряженности электрического поля
E
обусловлено появлением индуцированных зарядов, объемная плотность ко-
торых
ρ
=
−
div
P
.
Из последней формулы следует, что на поверхности поляризованного диэлек-
трика могут существовать поверхностные наведенные заряды, плотность ко-
торых
σ
равна
σ
=
P
n
.
Уравнений (9.11) недостаточно для нахождения двух векторов
D
и
E
, и к
ним должно быть добавлено уравнение связи. Если напряженность поля
E
мала по сравнению с внутриатомной
E
¿
E
ат
∼
10
9
В/см
,
то связь между
электрической индукцией и напряженностью поля
D
=
D
(
E
)
можно считать
линейной. Разлагая
D
i
=
D
i
(
E
1
, E
2
, E
3
)
по степеням
E
i
и ограничиваясь
линейными членами, получим (по повторяющимся индексам предполагается
суммирование)
D
i
≈
D
0
i
+
∂D
i
∂E
k
E
k
.
Вводя обозначение
ε
ik
=
∂D
i
∂E
k
, перепишем последнее равенство (ср. первое
уравнение в (8.22))
D
i
=
D
0
i
+
ε
ik
E
k
.
(9.12)
Поскольку
D
и
E
— векторы, величина
ε
ik
есть, очевидно, тензор второ-
го ранга, который называется тензором
диэлектрической проницаемости
.
Уравнения (9.11) и уравнение связи (9.12) вместе с граничными условиями
однозначно определяют электрическое поле в диэлектрике.
Если входящий в уравнение связи вектор
D
0
не равен нулю, то это озна-
чает, что
D
6
= 0
при
E
= 0
и, следовательно,
P
6
= 0
при
E
= 0
. Тогда можем
записать
D
0
= 4
π
P
0
, где
P
0
называется вектором спонтанной поляризации.
Такая ситуация возможна, но не является типичной. Вещества, обладающие
спонтанной поляризацией, называются пироэлектриками. Ясно, что изотроп-
ные среды такими свойствами обладать не могут. Существуют кристаллы, у
92
которых спонтанная поляризация
P
0
6
= 0
существует только при достаточно
низкой температуре
T < T
0
. Такие вещества называются сегнетоэлектрика-
ми.
Если вещество не обладает спонтанной поляризацией, то
D
i
=
ε
ik
E
k
.
(9.13)
Можно показать, что тензор диэлектрической проницаемости симметричен
ε
ik
=
ε
ki
.
Следовательно,
ε
ik
, как любой симметричный тензор второго ранга, может
быть приведен к диагональному виду выбором системы координат
ε
ik
=
ε
1
0 0
0
ε
2
0
0 0
ε
3
.
В анизотропной среде могут быть различны все три главных значения
тензора
ε
1
6
=
ε
2
,
ε
1
6
=
ε
3
,
ε
2
6
=
ε
3
,
или два главных значения, например,
ε
1
=
ε
2
6
=
ε
3
.
Если среда — твердое тело, то в первом случае говорят о двухосном, а во
втором – об одноосном кристалле.
Если все три главных значения тензора
ε
ik
оказываются совпадающими
ε
1
=
ε
2
=
ε
3
=
ε ,
то диэлектрическая проницаемость будет скаляром, т.е. тензор
ε
ik
определя-
ется одной скалярной величиной
ε
:
ε
ik
=
εδ
ik
Соответственно, связь
D
и
E
сводится к простой пропорциональности
D
=
ε
E
.
(9.14)
Это имеет место в изотропных средах и в кубическом кристалле. Анизотро-
пия же кубического кристалла проявляется в тензорах более высоких рангов.
В изотропной среде диэлектрическая проницаемость может меняться в
пространстве
ε
=
ε
(
r
)
, т.е. изотропная среда может быть неоднородной. О
зависимости
ε
от координат говорят как о пространственной дисперсии. Мы
будем рассматривать только однородную (
ε
=
const
) и кусочно-однородную
среду (
ε
=
const
в каждой области, а на границе области меняется скачком).
93
При
ε
=
const
div
D
= div
ε
E
=
ε
div
E
и из (9.11) получаем уравнения,
описывающие постоянное электрическое поле в изотропной однородной среде
div
E
=
4
π
ε
ρ
ext
,
rot
E
= 0
.
(9.15)
Вводя скалярный потенциал
E
=
−∇
ϕ ,
можем записать вместо (9.15)
∆
ϕ
=
−
4
π
ε
ρ
ext
.
(9.16)
Из (9.15) и (9.16) следует, что поле, созданное зарядами в однородном изо-
тропном диэлектрике, отличается от поля тех же зарядов в вакууме в
ε
раз.
Любая задача, которую решили для вакуума, может быть переписана для
данного случая. Например, точечный заряд
e
, находящийся в начале коор-
динат, создает поле, потенциал и напряженность которого равны
ϕ
=
e
εr
,
E
=
e
r
εr
3
.
Нетрудно понять, что
ε >
1
, так что поле в диэлектрике меньше поля тех же
зарядов в вакууме. Запишем, используя (8.19) и (9.14)
P
=
D
−
E
4
π
=
ε
−
1
4
π
E
=
κ
E
,
(9.17)
где
κ
=
ε
−
1
4
π
называется
диэлектрической восприимчивостью
. В отсут-
ствие поля изотропный диэлектрик неполяризован, а при наличии поля воз-
никает вектор поляризации
P
. Если молекулы диэлектрика имеют диполь-
ный момент (полярный диэлектрик), то поляризация возникает в результате
преимущественной ориентации элементарных диполей в направлении поля.
Очевидно, что при этом
P
k
E
, соответственно,
κ
>
0
и
ε >
1
. Если молеку-
лы вещества не обладают собственным дипольным моментом (неполярный
диэлектрик), то поляризация в среде наводится полем за счет деформации
электронных оболочек. Очевидно, что и в этом случае
P
k
E
и
ε >
1
.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.II,§13; [10] §§6,7.
9.4. Поле в кусочно-однородном диэлектрике
Рассмотрим среду, состоящую из двух диэлектриков, в каждом из кото-
рых диэлектрическая проницаемость постоянна, а при переходе через грани-
цу раздела она изменяется скачком. В каждой из областей уравнения на
D
94
и
E
имеют вид (9.11). Укажем граничные условия, которые должны выпол-
няться на поверхности раздела диэлектриков. Одно из этих условий является
следствием уравнения
rot
E
= 0
и состоит в непрерывности тангенциальной
составляющей напряженности поля (ср. вывод условия (9.2)):
E
2
τ
=
E
1
τ
.
(9.18)
Поскольку в уравнении связи для каждого из диэлектриков фигурирует свое
значение диэлектрической проницаемости
D
=
ε
1
,
2
E
, то это означает, что
тангенциальная составляющая вектора
D
терпит разрыв:
D
2
τ
ε
2
=
D
1
τ
ε
1
.
Условие на нормальные составляющие следует из уравнения
div
D
= 4
πρ
ext
(ср. (8.14), (9.4)):
D
2
n
−
D
1
n
= 4
πσ
ext
,
где
σ
ext
— поверхностная плотность сторонних зарядов. Если на границе сто-
ронних зарядов нет,
σ
ext
= 0
(такую ситуацию и будем рассматривать здесь),
то нормальная составляющая вектора
D
непрерывна
D
2
n
=
D
1
n
,
а нормальная составляющая
E
имеет разрыв
ε
2
E
2
n
=
ε
1
E
1
n
.
(9.19)
Запишем теперь граничные условия для
ϕ
. Поскольку
E
τ
=
−
∂ϕ
∂τ
,
то из (9.18) получаем
∂
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
∂τ
¯
¯
¯
¯
S
= 0
,
ϕ
1
|
S
=
ϕ
2
|
S
+
const .
Используя неоднозначность определения потенциала, положим здесь кон-
станту равной нулю. Тогда
ϕ
1
|
S
=
ϕ
2
|
S
.
Из (9.19) следует еще одно граничное условия на потенциал
ε
1
∂ϕ
1
∂n
¯
¯
¯
¯
S
=
ε
2
∂ϕ
2
∂n
¯
¯
¯
¯
S
.
95
Таким образом, уравнение на потенциал с граничными условиями в кусочно-
однородном диэлектрике имеет вид
∆
ϕ
=
−
4
π
ρ
ext
ε
1
,
2
,
ϕ
1
|
S
=
ϕ
2
|
S
,
ε
1
∂ϕ
1
∂n
¯
¯
¯
¯
S
=
ε
2
∂ϕ
2
∂n
¯
¯
¯
¯
S
.
В некоторых простых случаях приведенные уравнения удается решить
точно. К числу таких примеров относится задача о диэлектрическом шаре,
помещенном в постоянное электрическое поле
E
0
. Очевидно, внешнее поле
поляризует диэлектрик, в результате чего возникает поле внутри шара и
искажается поле снаружи. Поле внутри (
E
i
) оказывается однородным, отли-
чающимся от приложенного только по величине
E
i
=
3
ε
+ 2
E
0
,
ε
— диэлектрическая проницаемость шара. Единица объема шара приобре-
тает дипольный момент (см. (9.17))
P
=
ε
−
1
4
π
E
i
=
ε
−
1
4
π
3
ε
+ 2
E
0
,
соответственно, дипольный момент всего шара
d
=
4
3
πR
3
P
(
R
— радиус шара). Поле снаружи (
ϕ
e
,
E
e
), как оказывается, равно сумме
исходного поля и поля диполя
d
, помещенного в начало координат
ϕ
e
=
−
(
E
0
r
) +
(
dr
)
r
3
,
E
e
=
E
0
+
3(
dr
)
r
r
5
−
d
r
3
.
Поверхностная плотность зарядов выражается через нормальную составля-
ющую вектора поляризации на границе
σ
=
P
n
= (
Pn
)
и оказывается равной
σ
=
P
cos
θ
=
3
4
π
ε
−
1
ε
+ 2
E
0
cos
θ ,
где угол
θ
отсчитывается от направления
E
0
.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.II,§13; [10] §8.