ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1127
Скачиваний: 8
21
•
Электрическое поле порождается электрическими зарядами, а магнитное поле —
движущимися электрическими зарядами (токами, ниже
j
– плотность тока). Маг-
нитных зарядов в природе нет, поэтому (ср. (3.1))
div
B
= 0
.
(3.2)
Если иметь дело с неподвижными зарядами и с постоянными токами, то электри-
ческое и магнитное поля выступают как независимые, не связанные друг с другом.
•
Существует ещё один способ возбудить в пространстве электрическое поле. А имен-
но, переменное магнитное поле порождает электрическое поле, причем это поле, в
отличие от создаваемого неподвижными зарядами, вихревое, то есть имеет ненуле-
вую циркуляцию. В этом состоит
закон электромагнитной индукции
:
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
.
(3.3)
•
В свою очередь, переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное
поле.
rot
B
=
4
π
c
j
+
1
c
∂
E
∂t
.
(3.4)
•
Последние два эффекта приводят к существованию
электромагнитных волн
(или,
можно сказать, к излучению и существованию электромагнитных волн). Ускорен-
но движущиеся заряды излучают электромагнитные волны. Действительно, пусть
есть ускоренно движущийся заряд. Он, очевидно, создает переменное электриче-
ское поле, которое порождает вихревое (т.е. переменное в пространстве) магнитное
поле, и это магнитное поле тоже меняется со временем (сначала магнитного по-
ля, не было, потом оно появилось). Значит это магнитное поле породит вихревое
электрическое поле, и т.д. Т.е. в пространстве в результате ускоренного движе-
ния заряда начнет распространяться электромагнитное поле (или, можно сказать,
что при ускоренном движении заряда излучаются электромагнитные волны). Если
заряд остановить, то волна не исчезнет. Действительно, в вакууме волна и не мо-
жет исчезнуть, потому что если исчезает электрическое поле, то оно меняется во
времени и, следовательно, порождает магнитное поле. Если же исчезает это маг-
нитное поле, то оно порождает электрическое. Итак, одно поле порождает другое,
и наоборот, они распространяются все дальше и дальше в пространстве. При этом
на больших расстояниях интенсивность электромагнитного поля и напряженности
E
и
B
уменьшаются, так как исходная энергия распространяется на все большее
пространство, но оказывается, что
E
и
B
убывают медленнее, чем поля от непо-
движных зарядов (
r
−
1
и
r
−
2
соответственно).
•
Если плоская электромагнитная волна падает на покоящийся заряд, то заряд при-
ходит в ускоренное движение и излучает электромагнитные волны. Эти волны уже
не плоские, а распространяются по всем направлениям. Такое явление называется
рассеянием электромагнитных волн
.
•
Электромагнитные поля исчезают, поглощаясь в веществе. С точки зрения класси-
ческой электродинамики это значит, что электрические поля приводят в движение
заряды, и созданные ими волны накладываются на исходные и гасят их в резуль-
тате деструктивной интерференции.
22
Таким образом, напряженности
E
и
B
, характеризующие электромагнитное поле, удо-
влетворяют уравнениям (3.1)—(3.4), которые образуют систему уравнений Максвелла (для
вакуума). Система уравнений Максвелла, связывающая поля
E
и
B
с их источниками
ρ
,
j
, составляет основу классической электродинамики, которая описывает весьма широкий
круг электромагнитных явлений и становится несправедливой лишь в тех условиях, когда
проявляются квантовые свойства поля.
Перейдем теперь к систематическому изложению теории электромагнетизма.
Рекомендуемая литература: [8] гл.1,§§1-3.
3.2. Законы электромагнетизма как результат обобще-
ния опытных данных
Закон сохранения заряда.
Способность элементарных частиц, микроча-
стиц и макротел участвовать в электромагнитном взаимодействии характе-
ризуется электрическим зарядом, причем существуют заряды двух видов —
положительные и отрицательные. Тела с одноименными зарядами отталки-
ваются, с разноименными — притягиваются. Опыт показывает, что во всех
явлениях природы выполняется закон сохранения заряда: заряд не может
ни возникать из ничего, ни исчезать, а только перераспределяется между
телами. Это значит, что полный заряд
Q
в некоторой области пространства
может измениться только за счет того, что заряженные частицы пересека-
ют границу области. Введем понятие полного тока
J
как количества заряда,
который пересекает границу области в единицу времени
t
. Будем считать,
что
J >
0
, если заряд “вытекает” из области и
J <
0
, если заряд “втeкает” в
область. Тогда закон сохранения заряда (в интегральной форме) может быть
выражен уравнением
dQ
(
t
)
dt
=
−
J .
(3.5)
Введем теперь понятие плотности заряда и плотности тока и перепишем
(3.5) в другом виде. Пусть имеется тело с большим количеством заряженных
частиц в нем. Разобьем объем
V
на малые элементы (физически бесконечно
малые объемы)
∆
V
такие, что
∆
V
¿
V
, но в
∆
V
всё ещё содержится много
элементарных зарядов, так что отношения типа
∆
Q/
∆
V
, где
∆
Q
=
X
i
∈
∆
V
e
i
— полный заряд внутри
∆
V
, мало меняется при изменении
∆
V
. Так как
∆
V
макроскопически мал, то его положение можно характеризовать един-
ственным радиус-вектором
r
, проведенным в какую-либо точку области
∆
V
.
Назовём отношение
ρ
(
r
, t
) =
∆
Q
∆
V
(3.6)
23
объемной плотностью заряда в данной точке. Полный заряд во всем объеме
Q
=
X
∆
Q
=
X
ρ
∆
V
−→
Z
V
ρ
(
r
, t
)
dV.
Таким образом, для систем, в которых электрический заряд можно рассмат-
ривать как распределенный непрерывно, полный заряд есть интеграл от объ-
емной плотности:
Q
=
Z
V
ρ
(
r
, t
)
dV .
(3.7)
Если в некоторой области пространства имеется только один заряд
e
a
, то,
очевидно, объёмную плотность нельзя ввести с помощью (3.6). Будем в этом
случае исходить из соотношения (3.7) и определим
ρ
так, чтобы выполнялись
равенства
Q
=
Z
V
ρ
(
r
, t
)
dV
=
½
e
a
,
r
a
∈
V,
0
,
r
a
6∈
V.
Тогда, очевидно,
ρ
(
r
, t
)
можно записать через дельта-функцию
ρ
(
r
, t
) =
e
a
δ
(
r
−
r
a
(
t
))
,
где
r
a
(
t
)
— радиус-вектор заряда
e
a
. Напомним, что
δ
(
x
)
определяется как
функция, обладающая следующими свойствами:
1) функция равна нулю при всех
x <
0
и при всех
x >
0
;
2) функция бесконечна при
x
= 0
;
3) интеграл от этой функции, взятый в пределах от
−∞
до
∞
, равен
1
.
Аналогичным образом вводится трехмерная дельта-функция
δ
(
r
)
. Из свойств
дельта-функции следует основное соотношение
Z
V
f
(
r
)
δ
(
r
−
r
a
)
d
r
=
f
(
r
a
)
,
если
r
a
∈
V,
которое было использовано при введении объемной плотности точечного за-
ряда.
Если имеется несколько точечных зарядов, то плотность заряда даётся
выражением
ρ
(
r
, t
) =
X
a
e
a
δ
(
r
−
r
a
(
t
))
.
(3.8)
24
Введем теперь плотность электрического тока
j
(
r
, t
) =
ρ
(
r
, t
)
v
(
r
, t
)
,
(3.9)
где
v
(
r
, t
)
— скорость зарядов, и найдем, как
j
связана с током через поверх-
ность. Выделим площадку
dS
с нормалью
n
(
d
S
=
n
dS
— вектор площадки)
и вычислим полный ток, проходящий через
dS
. Пусть скорость зарядов в
месте расположения площадки —
v
. Построим на площадке
dS
призму с
высотой
v
n
= (
vn
)
. В единицу времени через площадку проходит столько
зарядов, сколько содержится в выделенном объёме
dJ
=
ρ v
n
dS
= (
ρ
v
,
n
)
dS
= (
j
d
S
)
.
Полный ток через произвольную площадку
S
конечных размеров
J
=
Z
S
j
d
S
.
(3.10)
Если в объёме имеется несколько зарядов или заряды рассматриваются как
точечные (что можно делать всегда), то из (3.8), (3.9), получаем
j
(
r
, t
) =
X
a
e
a
v
a
δ
(
r
−
r
a
(
t
))
.
(3.11)
Запишем теперь закон сохранения электрического заряда (3.5) для неко-
торого объёма
V
, окруженного замкнутой поверхностью
S
в другой форме.
Левую часть, учитывая (3.7), перепишем в виде
dQ
dt
=
d
dt
Z
V
ρ
(
r
, t
)
dV
=
Z
V
∂ρ
(
r
, t
)
∂t
dV.
Чтобы преобразовать правую часть, воспользуемся теоремой Остроград-
ского-Гаусса (2.7) и выразим ток
J
через объёмный интеграл от дивергенции
j
J
=
I
S
j
d
S
=
Z
V
div
j
dV .
Подставляя в (3.5), получаем
Z
V
∂ρ
∂t
dV
=
−
Z
V
div
j
dV.
Так как объём
V
выбран произвольно, то должны быть равны подынтеграль-
ные выражения
∂ρ
∂t
+ div
j
= 0
.
(3.12)
25
Мы получили
уравнение непрерывности
, которое выражает
закон сохране-
ния заряда в дифференциальной форме
.
Закон Кулона для электростатического взаимодействия зарядов.
Принцип суперпозиции.
Опыт показывает, что два неподвижных точеч-
ных заряда
e
1
и
e
2
, находящихся на расстоянии
r
друг от друга, взаимодей-
ствуют по следующему закону (
закон Кулона
, 1785 г.)
F
12
=
e
1
e
2
r
3
r
.
(3.13)
Здесь
F
12
— сила, с которой первый заряд действует на второй,
r
– вектор,
проведенный от первого заряда ко второму.
Формула (3.13) записана в абсолютной системе единиц Гаусса СГС, кото-
рая используется во всём курсе.
1
В основу этой системы положены механи-
ческие единицы (сантиметр, грамм и секунда), а единичный заряд определя-
ется из закона Кулона, записываемого в форме (3.13).
Закон Кулона позволяет ввести понятие электрического поля, которое ха-
рактеризуется напряженностью. Можно сказать, что всякий неподвижный
точечный заряд
e
создает вокруг себя
электрическое поле
с
напряженно-
стью
E
=
e
r
3
r
.
(3.14)
Заряд
e
0
, находящийся в поле
E
, испытывает действие силы
F
=
e
0
E
.
Опыт показывает, что напряженности электрического поля от нескольких
неподвижных зарядов складываются как обычные векторы:
E
=
X
E
i
.
В этом состоит
принцип суперпозиции
.
Теорема Гаусса.
Вычислим поток вектора
E
через произвольную замкну-
тую поверхность:
Π =
I
E
d
S
.
Пусть поле создается одним точечным зарядом, который находится в начале
координат:
E
=
e
r
/r
3
. Имея в виду применение формулы Остроградского-
Гаусса, подсчитаем
div
E
. Так как
div
r
r
3
=
³
∇
,
r
r
3
´
=
1
r
3
div
r
+
µ
grad
1
r
3
,
r
¶
=
3
r
3
−
3
r
3
= 0
,
если
r
6
= 0
,
1
Система СГС используется в книгах [2, 4, 5, 6, 7, 10], а система СИ в [1, 3, 8, 9].