Файл: Mech_sol(Volchkov).pdf

Скачать файл (1,12Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 655

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Глава 2. Пластичность

Математически это условие записывается в следующем виде:

−

| ≤

−

| ≤

(2.2)

−

| ≤

В упругом состоянии все условия (2.2.1) выполнены со знаком строго неравен-
ства. Условия (2.2.1) в пространстве главных напряжений определяют правиль-
ную шестигранную призму с осью

, перпендикулярной к девиатор-

ной плоскости. Следом призмы на девиаторной плоскости является правильный
шестиугольник (рис. 2.4).

Рис. 2.4:

Из (2.2.1) вытекает следующее соотношение между пределом текучести

на растяжение и пределом текучести

на сжатие

= 2

2.2.2

Условие текучести Мизеса

Условие текучести Треска — Сен-Венана является кусочно гладким. Это вы-
зывает математические трудности при решении конкретных задач. Мизес при

2.3. Модель жесткопластического тела.

записи условия текучести заменил шестигранную призму описанным круговым
цилиндром:

(

−

)

+ (

−

)

+ (

−

)

= 2

(2.3)

или

√

(2.4)

В случае чистого сдвига

и, следовательно,

√

(2.5)

Левая часть уравнения (2.3) соответствует с точностью до постоянного мно-

жителя энергии упругого изменения формы.

2.3

Модель жесткопластического тела.

2.3.1

Основные положения модели идеального жёстколастического
тела

Простейшая модель идеального жёстколастического тела строится при следу-
ющих предположениях:

•

идеальный характер пластического деформирования (отсутствует упроч-
нение)

•

начальный материал изотропный и в процессе деформирования остаётся
изотропным

•

свойства материала одинаковые при растяжении и сжатии

•

пластическое деформирование не зависит от всестороннего давления

•

отсутствуют упругие деформации

•

материал однородный

Принимается принцип максимума скорости диссипации механической энер-

гии:

Глава 2. Пластичность

скорость диссипации механической энергии в единице объёьа во время пла-

стического деформирования имеет максимальное значение для действитель-
ного напряжённого состояния среди всех напряжённых состояний, допускае-
мых условием пластичности

≥

∗

где напряжения

∗

удовлетворяют неравенству

(

∗

)

≤

Мы предполагаем, что пластическое состояние в точке достигается тогда,

когда компоненты тензора напряжений удовлетворяют условию

(

) = 0

Это уравнение в шестимерном пространстве напряжений

определяет поверх-

ность, которая называется

поверхностью текучести

Напряженные состояния

∗

, для которых выполняется неравенство

(

∗

)

≤

будем называть

допустимыми

Для изотропного тела условие перехода в пластическое состояние должно

определяться только главными напряжениями независимо от ориентации глав-
ных осей. Поэтому условие пластичности для изотропного тела можно записать
в виде

(

, σ

) = 0

Из принципа максимума следует ассоциированный закон текучести

∂F

(

)

∂σ

Определим мощность диссипации энергии внутренних напряжений на ско-

ростях пластических деформаций

Поверхность текучести предполагается не вогнутой

. Из этого предполо-

жения следует, что задание компонент тензора скоростей деформаций един-
ственным образом определяет напряженное состояние. И, следовательно, в этом

2.3. Модель жесткопластического тела.

случае мощность диссипации может быть выражена через скорости деформа-
ций

( ˙

)

Взяв полный дифференциал от обеих частей этого равенства, получим

dσ

∂D

∂

Вследствие ассоциированного закона текучести имеем

dσ

∂F

(

)

∂σ

dσ

λdF

= 0

поскольку принимается модель идеальной пластичности.

И в силу произвольности

получаем соотношения

∂D

∂

Таким образом,

∂D

∂

Следовательно,

( ˙

)

— однородная функция своих аргументов первой степе-

ни,

∂D

∂

— однородная функция своих аргументов нулевой степени.

Таким образом, величины

∂D

∂

зависят только от пяти независимых аргумен-

тов, т.е. формулы

∂D

∂

выражают шесть величин

через пять независимых аргументов.

Уравнение

( ˙

) =

const

определяет поверхность постоянной диссипации в пространстве скоростей де-
формаций

Можно нормировать эти поверхности, например, следующим образом:

( ˙

) = 1

Теперь можно сформулировать следующий принцип максимума:

Глава 2. Пластичность

Пусть

— заданное напряженное состояние,

— соответствующее

нормированное истинное поле скоростей деформации,

∗

—- произвольное поле

скоростей такое, что

( ˙

)

∗

= 1

Тогда

( ˙

−

)

∗

)

≥

Доказательство.
Перепишем последнее неравенство в следующем виде:

≥

∗

или

≥

∗

Остается показать, что правая часть не больше единицы.

Пусть

∗

— пластическое напряженное состояние, соответствующее полю

скоростей деформаций

dotε

∗

Тогда из принципа максимума следует

(

∗

−

) ˙

∗

≥

или

∗

≤

∗

Но

∗

( ˙

∗

) = 1

, следовательно,

∗

≤

2.4

Экстремальные свойства предельных состояний теку-
чести

В идеально пластическом теле напряжения не могут превосходить предела теку-
чести. Поэтому внешние силы, действующие на тело из идеально пластического
материала, не могут возрастать неограниченно.

Система нагрузок, при которой в теле из идеально пластического материа-

ла впервые возникает пластическое течение,

называется предельной системой

нагрузок

2.4.1

Теорема о нижней оценке несущей способности

Определение

. Распределение напряжений

∗

называется

статически допу-

стимым