ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 663
Скачиваний: 2
16
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
Уравнения (1.38) можно рассматривать как систему шести уравнений в част-
ных производных для определения трех компонент вектора перемещения
u
i
.
Это переопределенная система и в общем случае не имеет решения при про-
извольном выборе компонент тензора деформаций
ε
ij
. Для того, чтобы суще-
ствовали однозначные и непрерывные компоненты вектора перемещения, ком-
поненты деформаций
ε
ij
должны удовлетворять условиям разрешимости систе-
мы уравнений (1.38). Для тензора бесконечно малых деформаций независимых
условий совместности шесть:
∂
2
ε
11
∂x
2
2
+
∂
2
ε
22
∂x
2
1
= 2
∂
2
ε
12
∂x
1
∂x
2
∂
2
ε
22
∂x
2
3
+
∂
2
ε
33
∂x
2
2
= 2
∂
2
ε
23
∂x
2
∂x
3
∂
2
ε
33
∂x
2
1
+
∂
2
ε
11
∂x
2
3
= 2
∂
2
ε
31
∂x
3
∂x
1
(1.39)
∂
∂x
1
µ
−
∂ε
23
∂x
1
+
∂ε
31
∂x
2
+
∂ε
12
∂x
3
¶
=
∂
2
ε
11
∂x
2
∂x
3
∂
∂x
2
µ
−
∂ε
31
∂x
2
+
∂ε
12
∂x
3
+
∂ε
23
∂x
1
¶
=
∂
2
ε
22
∂x
3
∂x
1
∂
∂x
3
µ
−
∂ε
12
∂x
3
+
∂ε
23
∂x
1
+
∂ε
31
∂x
2
¶
=
∂
2
ε
33
∂x
1
∂x
2
1.2. Напряжения
17
1.2
Напряжения
1.2.1
Общие свойства поля напряжений
Рассмотрим покоящуюся среду, находящуюся в равновесии под действием каких-
либо распределенных сил, приложенных к ней. Эти силы могут быть прило-
жены к поверхности тела, заполненного средой, или к его внутренности. Мы
предположим, что эти последние (они называются массовыми или объемными
силами) описываются векторной плотностью распределения
F
(
x
1
, x
2
, x
3
)
так,
что полная сила, действующая на элементарный внутренний объем
dx
1
dx
2
dx
3
равна
F
(
x
1
, x
2
, x
3
)
dx
1
dx
2
dx
3
.
Поверхностная сила описывается поверхностной векторной плотностью
P
(
x
1
, x
2
, x
3
)
, определенной только в точках поверхности, а полная сила, дей-
ствующая на элемент поверхности
ds
, равна
P ds
. Компоненты векторных плот-
ностей
F
и
P
будем предполагать кусочно гладкими функциями точек объе-
ма или поверхности соответственно. Тем самым исключаются из рассмотрения
случаи, когда приложенные силы сосредоточены в точках или когда объем-
ные силы сосредоточены на внутренних поверхностях. В дальнейшем удобно
представить плотность
F
в виде
ρ
F
, где
ρ
=
ρ
(
x
1
, x
2
, x
3
)
— плотность среды.
Плотность
— это масса, заключенная в единице объема. Точнее было бы ска-
зать, что
плотность
— это отношение массы бесконечно малого элемента к его
объему. Итак
F
— это массовая плотность силы, т.е. сила, действующая на еди-
ницу массы. Компоненты вектора
F
массовой плотности силы будем обозначать
через
F
i
:
F
1
F
2
F
3
Сделаем в напряженной среде, находящейся в равновесии, надрез вдоль ка-
кой либо плоскости
n
1
x
1
+
n
2
x
2
+
n
3
x
3
=
const. Чтобы этот надрез не нару-
шил в среде равновесия, к обеим его берегам нужно приложить поверхностные
распределенные силы. Сейчас мы
постулируем
, что в каждой точке разреза
плотность силы, приложенной к одному берегу должна быть равна по величине
и противоположна по направлению плотности силы, действующей на другой бе-
рег разреза. В дальнейшем это предположение будет обосновано при некоторых
предположениях.
Рассмотрим объем, занимаемый средой и рассекаемый разрезом на две части,
18
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
которые назовем условно “нижней” и “верхней”. “Верхним” объемом назовем тот
объем, в сторону которого направлен вектор нормали
n
= (
n
1
, n
2
, n
3
)
, задающий
направление разреза, а “нижним” берегом разреза — берег, примыкающий к
“нижнему” объему (рис. 1.3).
n
x
3
x
2
x
1
Рис. 1.3:
Плотность поверхностной силы (сила на единицу площади), приложенной к
“нижнему” берегу, называется
вектором напряжения и обозначается
Σ
. Ясно,
что напряжение, вообще говоря зависит как от точки приложения
(
x
1
, x
2
, x
3
)
,
так и от направления, задаваемого единичным вектором нормали с компонента-
ми
(
n
1
, n
2
, n
3
)
. Заметим, что
n
2
1
+
n
2
2
+
n
2
3
= 1
. Итак,
Σ
=
Σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
)
.
То, что на противоположных берегах надреза напряжения противоположно на-
правлены, записывается равенством
Σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
) =
−
Σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
−
n
1
,
−
n
2
,
−
n
3
)
.
Компоненты вектора
Σ
обозначаются
σ
1
, σ
2
, σ
3
, т.е.
Σ
=
σ
1
σ
2
σ
3
,
σ
i
=
σ
i
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
)
.
Специальные обозначения используются для обозначения компонент векто-
ра напряжения на площадках, перпендикулярных координатным осям. На пло-
щадках, нормаль к которым направлена вдоль положительного направления
оси
x
1
(
n
1
= 1
, n
2
= 0
, n
3
= 0)
, компоненты вектора напряжения обозначаются
через
σ
11
, σ
21
, σ
31
:
σ
1
(
x
1
, x
2
, x
3
; 1
,
0
,
0) =
σ
11
(
x
1
, x
2
, x
3
)
,
σ
2
(
x
1
, x
2
, x
3
; 1
,
0
,
0) =
σ
21
(
x
1
, x
2
, x
3
)
,
σ
3
(
x
1
, x
2
, x
3
; 1
,
0
,
0) =
σ
31
(
x
1
, x
2
, x
3
)
,
1.2. Напряжения
19
Аналогично, через
σ
12
, σ
22
, σ
32
обозначаются компоненты вектора напряжения
на площадках с нормалью, направленной вдоль оси
x
2
:
σ
1
(
x
1
, x
2
, x
3
; 0
,
1
,
0) =
σ
12
(
x
1
, x
2
, x
3
)
,
σ
2
(
x
1
, x
2
, x
3
; 0
,
1
,
0) =
σ
22
(
x
1
, x
2
, x
3
)
,
σ
3
(
x
1
, x
2
, x
3
; 0
,
1
,
0) =
σ
32
(
x
1
, x
2
, x
3
)
,
а через
σ
13
, σ
23
, σ
33
— составляющие вектора напряжения на площадках с нор-
малью вдоль оси
x
3
:
σ
1
(
x
1
, x
2
, x
3
; 0
,
0
,
1) =
σ
13
(
x
1
, x
2
, x
3
)
,
σ
2
(
x
1
, x
2
, x
3
; 0
,
0
,
1) =
σ
23
(
x
1
, x
2
, x
3
)
,
σ
3
(
x
1
, x
2
, x
3
; 0
,
0
,
1) =
σ
33
(
x
1
, x
2
, x
3
)
.
Совокупность компонент векторов напряжений на площадках, перпендикуляр-
ных координатным осям, обычно записывается в виде квадратной матрицы
σ
11
σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
=
k
σ
ij
k
,
которая называется
тензором напряжений
. При ортогональных преобразова-
ниях декартовых координат эта таблица, описывающая напряженное состояние
в некоторой точке
(
x
1
, x
2
, x
3
)
, преобразуется так, как должен преобразовывать-
ся ортогональный тензор.
Первый столбец матрицы
k
σ
ij
k
состоит из компонент вектора напряжений
на площадке с нормалью вдоль оси
x
1
, второй и третий — соответственно из
компонент вектора напряжений на площадках с нормалями, параллельными
координатным осям
x
2
и
x
3
.
Задание тензора напряжений полностью задает напряженное состояние,
позволяя вычислить напряжение на любой площадке
.
Чтобы обосновать это утверждение, надо воспользоваться тем, что рассмат-
риваемая среда находится в равновесии под действием приложенных к ней мас-
совых и поверхностных сил. Выделим из среды произвольный1 объем
V
, огра-
ниченный поверхность
S
, напишем условие равновесия среды заключенной в
выделенном объеме:
Z Z
S
Σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
)
dS
+
Z Z
V
Z
ρ
F
dx
1
dx
2
dx
3
= 0
.
20
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
Это условие состоит в равенстве нулю суммы всех сил, приложенных к объему.
Через
n
1
, n
2
, n
3
обозначены компоненты единичной нормали к поверхности
S
в
точке
x
1
, x
2
, x
3
. Покомпонентно условие равновесия записывается в виде трех
равенств
Z Z
S
σ
i
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
)
dS
+
Z Z
V
Z
ρF
i
dx
1
dx
2
dx
3
= 0
,
i
= 1
,
2
,
3
.
Лемма
.
Если непрерывные кусочно гладкие функции
σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
)
и
f
(
x
1
, x
2
, x
3
)
таковы, что для любого внутреннего объема
V
, ограниченного
поверхностью
S
, имеет место равенство
Z Z
S
σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
)
dS
+
Z Z
V
Z
f dx
1
dx
2
dx
3
= 0
,
то зависимость
σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
)
от
n
1
, n
2
, n
3
описывается формулой
σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
) =
n
1
σ
(
x
1
, x
2
, x
3
; 1
,
0
,
0)+
+
n
2
σ
(
x
1
, x
2
, x
3
; 0
,
1
,
0) +
n
3
σ
(
x
1
, x
2
, x
3
; 0
,
0
,
1)
.
В формулировке леммы можно отказаться от требования непрерывности
σ
по последним трем аргументам
n
1
, n
2
, n
3
, но мы не будем этого делать, чтобы
не усложнять доказательство. Из этой леммы, очевидно, вытекает, что
σ
i
=
σ
i
1
n
1
+
σ
i
2
n
2
+
σ
i
3
n
3
или в векторной форме
Σ
=
σ
1
σ
2
σ
3
=
σ
11
σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
n
1
n
2
n
3
В частности, отсюда следует равенство
Σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
) =
−
Σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
−
n
1
,
−
n
2
,
−
n
3
)
.
которое мы постулировали в начале пункта.
Доказательство Леммы
.
До сих пор мы предполагали, что среда находится в равновесии под действи-
ем приложенных сил. На самом деле все наши выводы относительно свойств
поля напряжений справедливы и для движущейся среды, находящейся под
действием гладко распределенных массовых и поверхностных сил, если в рас-
сматриваемом объеме скорости и ускорения частиц ограничены и описываются