ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2118
Скачиваний: 4
УДК 519.21
ОБ ОЦЕНКЕ ВЕРОЯТНОСТИ
ПРЕБЫВАНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
В ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ
О.В. Абрамов
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 5
E-mail:
abramov@iacp.dvo.ru
Ключевые слова:
надежность, параметр, постепенный отказ, случайный
процесс, техническая система, условия работоспособности.
Исследуются модели постепенных отказов технических систем. Основное
внимание уделено задаче оценки вероятности пребывания случайного про-
цесса изменения параметров системы в области, определяемой условиями
работоспособности.
Одним из направлений современной теории надежности является функциональ-
но-параметрическое направление (ФП-подход). Сущность этого подхода заключает-
ся в следующем [1]. Для каждой технической системы, исходя из условий ее функ-
ционирования и эксплуатации, формулируются условия работоспособности. Обычно
эти условия записываются в виде системы неравенств. В соответствии с методоло-
гией ФП-подхода процесс функционирования системы и ее техническое состояние в
любой момент времени определяются конечным набором некоторых переменных –
параметров системы, а все отказы есть следствие отклонений параметров от их ис-
ходных (номинальных, расчетных) значений. Формой проявления отказа является
выход параметров за пределы области допустимых значений (области работоспо-
собности). Изменения параметров, характеризующих работоспособность системы,
в общем случае описываются непрерывными и нестационарными случайными про-
цессами. Для оценки надежности системы возникает необходимость вычислять ве-
роятность пребывания случайного процесса в области работоспособности в течение
заданного времени. Известно, что любой случайный процесс
Y
(
t
)
можно предста-
вить в виде семейства случайных величин
n
Y
t
∈
e
T
o
,
где
Y
t
– случайная величи-
на, наблюдаемая в момент времени
t
;
e
T
– совокупность моментов времени, или
же рассматривать его как семейство функций
y
ω
(
t
)
в некотором функциональном
пространстве. Причем функции
y
ω
(
t
)
зависят от параметра
ω,
характеризующего
реализацию или выборочную функцию случайного процесса. Будем рассматривать
случайный процесс изменения параметра
Y
(
t
)
как некоторую измеримую функцию,
отображающую
e
T
в пространство
Y
случайных величин, определенных на веро-
ятностном пространстве
(Ω
, σ, P
)
.
Множество
e
T
обычно называют областью опре-
деления случайного процесса, а
Y
– областью его значений. Значения случайной
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
11
функции
Y
(
t
)
в точках
t
∈
e
T
являются случайными величинами, т.е. измеримыми
функциями, отображающими вероятностное пространство в борелевскую прямую.
Рассмотрим
t
-сечение пространства
Y
×
e
T .
Для данного
t
-сечения можно записать
P
t
(
D
) =
b
Z
a
f
t
(
y
)
dy,
(1)
где
P
t
(
D
)
– вероятность того, что в момент времени
t
параметр будет находиться в
области допустимых значений
D
=
{
y
|
a
6
y
6
b
}
;
f
t
(
y
)
– одномерная плотность рас-
пределения случайного процесса
Y
(
t
)
,
заданная в момент времени
t.
Функция
P
t
(
D
)
– вероятностная мера множества реализаций случайного процесса
Y
(
t
)
,
значения
которых в момент
t
принадлежат области допустимых значений. Соотношение (1)
справедливо для всех сечений множества
Y
×
e
T ,
определяемых точками
t.
Рассмот-
рение множеств
Y
t
,
называемых одномерными цилиндрическими множествами, и
соответствующих им одномерных плотностей распределения не позволяет в общем
случае определить искомую вероятность нахождения случайного процесса в области
D
в течение заданного времени
T,
поскольку меры
P
t
(
D
)
на одномерных цилиндри-
ческих множествах не являются достаточно полной характеристикой случайного
процесса
Y
(
t
)
.
Выделим из множества всех реализаций исследуемого случайного
процесса множество
S
µ
таких реализаций, значения которых в моменты
t
1
, t
2
, . . . , t
µ
принадлежат числовому множеству
D.
Значение вероятностной меры случайного
процесса
Y
(
t
)
,
соответствующее этому множеству, определяется формулой
P
(
S
µ
) =
b
Z
a
· · ·
b
Z
a
| {z }
µ
f
t
1
,t
2
,...,t
µ
(
y
t
1
, y
t
2
, . . . , y
t
µ
)
dy
1
dy
2
. . . dy
µ
,
(2)
где
f
t
1
,t
2
,...,t
m
u
(
y
t
1
, y
t
2
, . . . , y
t
)
– совместная плотность распределения случайных ве-
личин, рассматриваемых в сечениях
t
1
, t
2
, . . . , t
µ
,
причем
t
m
=
T.
При достаточно
большом числе
t
-сечений, выделенных на
[0
, T
]
,
значение
P
(
S
µ
)
можно принять рав-
ным искомой вероятности нахождения случайного процесса в области допустимых
значений в течение требуемого времени
T,
т.е. вероятности безотказной работы объ-
екта. Приведенные рассуждения несложно распространить на случай прогнозиро-
вания вероятности безотказной работы объекта, поведение которого описывается
m
параметрами. При этом необходимо рассматривать векторный случайный процесс
Y
(
t
) =
{
Y
1
(
t
)
, Y
2
(
t
)
, . . . , Y
m
(
t
)
}
.
Каждому значению аргумента
t
случайного про-
цесса
Y
(
t
)
можно поставить в соответствие множество
Y
(
t
)
.
Область допустимых
значений параметров является подмножеством
Y
(
t
)
.
Мера множества
D
для любого
t
-сечения определяется выражением
P
t
(
D
) =
Z
· · ·
Z
| {z }
D
f
t
(
y
1
, y
2
, . . . y
m
)
dy
1
dy
2
. . . dy
m
,
причем
P
t
(
Y
) =
Z
· · ·
Z
| {z }
Y
f
t
(
y
1
, y
2
, . . . y
m
)
dy
1
dy
2
. . . dy
m
= 1
.
Полной вероятностной характеристикой векторного случайного процесса будет его
вероятностная мера, которая может быть задана с помощью
µ
×
m
-мерной функции
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
12
распределения. Вероятность безотказной работы будет вычислена после
µ
-кратного
интегрирования этой меры по множеству
D.
Воспользоваться соотношением (2) и
тем более его многомерным аналогом при решении задач прогнозирования и управ-
ления надежностью практически не представляется возможным не только из-за
трудностей математического характера, но и отсутствия необходимой исходной ин-
формации. Однако при наложении определенных ограничений на характер выбороч-
ных функций (реализаций)
y
ω
удается получить сравнительно простые и удобные
для практического использования соотношения. Будем считать характер случай-
ного процесса
Y
(
t
)
таким, что для нахождения любой его реализации в области
допустимых значений в течение заданного времени необходимо и достаточно, что-
бы эта реализация принадлежала области допустимых значений в ограниченном (и
небольшом) числе
t
-сечений
Y
(
t
)
которые назовем
релевантными
. Изучение зако-
номерностей необратимых изменений параметров элементов технических систем и
устройств (резисторов, конденсаторов, транзисторов), в частности различных видов
радиоэлектронной аппаратуры (измерительных устройств, усилительных блоков и
др.) показывает, что для большинства из них принятое предположение справедливо,
причем число таких сечений не превышает трех. Если удалось выделить релевант-
ные
t
-сечения и определить совместную плотность распределения случайных вели-
чин, рассматриваемых в этих сечениях, то для определения надежности системы
можно воспользоваться формулой (2). В докладе рассмотрены некоторые наиболее
часто встречающиеся при расчетах надежности модели случайных процессов дрей-
фа параметров и приведены соответствующие им решения задачи оценки вероятно-
сти невыхода случайного процесса за пределы заданной области. Работа выполнена
при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных иссле-
дований (грант № 11-08-98503 р_восток_а).
Список литературы
1.
Абрамов О.В. Функционально-параметрический подход в задачах обеспечения на-
дежности технических систем // Надежность и контроль качества. - 1999. - № 5. -
С. 34-45.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 517.958
ЗАДАЧИ МАСКИРОВКИ
МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ
УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Г.В. Алексеев
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 7
E-mail:
alekseev@iam.dvo.ru
Ключевые слова:
уравнение Максвела, задача рассеяния, неоднородная
среда, обратная задача, задача управления, система оптимальности
Формулируются и исследуются задачи маскировки для трехмерных урав-
нений Максвелла, описывающих рассеяние электромагнитных волн в од-
нородной среде, содержащей проницаемое анизотропное препятствие
Ω
с
частично покрытой в целях маскировки границей. С помощью оптимиза-
ционного метода указанная задача сводится к решению задачи управления.
Роль управления в ней играет поверхностная проводимость покрытой части
границы, входящая в импедансное граничное условие на покрытой части
границы области
Ω
. Доказывается ее разрешимость и выводится система
оптимальности, описывающая необходимые условия экстремума.
Введение
В последние годы большое внимание уделяется созданию средств маскировки
материальных объектов от их обнаружения с помощью электромагнитной или аку-
стической локации. Разработке методов решения указанных задач посвящено боль-
шое количество работ. Отметим среди них работы [1, 2, 3, 4]. В математическом
плане задачи маскировки заключаются в нахождении неизвестных коэффициентов
для уравнений Гельмгольца или Максвелла с переменными коэффициентами пу-
тем решения соответствующих обратных задач. Однако реализовать полученные
решения на практике затруднительно, даже если использовать композитные мате-
риалы (см. об этом в обзоре [4]). Более предпочтительным в плане технической
реализации решений является использование альтернативного способа маскировки,
основанного на покрытии материальных объектов тонким слоем определенного ве-
щества, свойства которого характеризуются специальной функцией – граничным
импедансом или граничной проводимостью. Внесение такого покрытия моделирует-
ся введением импедансного граничного условия, связывающего между собой элек-
трическое и магнитное поля (либо звуковое давление и нормальную компоненту
колебательной скорости в случае акустической локации) через граничный коэффи-
циент, называемый поверхностным импедансом. В случае, если объект имеет неиз-
менную формулу, задача его маскировки от обнаружения (радаром или сонаром)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
14
сводится к выбору такого покрытия, которое минимизирует рассеяную волну, воз-
никающую при падении на объект первичной электромагнитной или акустической
волны. Математически эта задача сводится к решению обратной экстремальной за-
дачи. Роль управления в ней играет поверхностная проводимость
η
покрытой части
границы, а в качестве функционального ограничения выступает используемая мо-
дель распространения электромагнитных или акустических волн, рассматриваемая
при импедансном граничном условии. Именно эта задача рассматривается в данном
докладе для двух трехмерных моделей распространения. Исследованию математи-
ческих задач, возникающих при указанном способе маскировки в двумерном случае,
посвящены работы [5, 6].
1.
Постановка задачи
Пусть
Ω
– ограниченная область в
R
3
со связным дополнением
Ω
c
≡
R
3
\
Ω
и липшицевой границей
Γ
, состоящей из двух частей
Γ
1
и
Γ
2
. Первая модель, на
которую будем ссылаться как на модель
1
, описывается соотношениями
E
e
×
n
|
Γ
= 0
,
H
e
×
n
|
Γ
1
= 0
,
H
e
×
n
|
Γ
2
=
−
η
(
n
×
E
e
×
n
)
,
(1)
rot
E
e
−
ik
H
e
= 0
,
rot
H
e
+
ik
E
e
= 0
в
Ω
c
,
lim
r
→∞
(
H
s
×
x
−
r
E
s
) = 0
.
(2)
Здесь
E
e
=
E
inc
+
E
s
, где
E
inc
– падающая волна,
E
s
– рассеяная препятствием
Ω
волна,
k
– положительное волновое число,
η
=
η
(
x
)
– поверхностная проводимость
покрытой части
Γ
2
границы
Γ
,
n
– единичный вектор внешней по отношению к
Ω
нормали к границе
Γ
, соотношение (2) описывает условие излучения Сильвера-
Миллера в
R
3
. Отметим, что граничное условие на
Γ
2
в (2) имеет смысл модифи-
цированного условия Леонтовича для электромагнитных волн [7]. Задача (1), (2)
моделирует рассеяние электромагнитных волн препятствием
Ω
с частично покры-
той в целях маскировки границей. Вторая модель (модель 2) описывает рассеяние
электромагнитных волн в однородной среде, содержащей анизотропное проницаемое
препятствие
Ω
с покрытой в целях маскировки частью
Γ
2
границы
Γ
. Математиче-
ски задача рассеяния заключается в нахождении электромагнитных полей
(
E
i
,
H
i
)
в
Ω
и
(
E
e
,
H
e
)
в
Ω
c
, удовлетворяющих уравнениям (2) в области
Ω
c
, уравнениям
rot
E
i
−
ik
H
i
= 0
,
rot
H
i
+
ikN
(
x
)
E
i
= 0
в
Ω
,
(3)
смешанным условиям сопряжения на границе
Γ
, имеющим вид
E
e
×
n
−
E
i
×
n
|
Γ
=0
,
H
e
×
n
−
H
i
×
n
|
Γ
1
=0
,
H
e
×
n
−
H
i
×
n
|
Γ
2
=
−
η
(
n
×
E
×
n
)
,
(4)
и условию излучения Сильвера–Мюллера в (2). Здесь
N
(
x
)
– заданная в
Ω
матрич-
ная функция, описывающая параметры среды в
Ω
. Целью настоящей работы явля-
ется анализ задач управления для моделей 1 и 2, возникающих при решении задач
маскировки оптимизационным методом. Указанные задачи заключаются в миними-
зации определенного функционала качества, зависящего от состояния (электромаг-
нитного поля) и неизвестной функции (управления), удовлетворяющих уравнениям
состояния (1), (2) либо (2), (3), (4). В качестве функционала качества мы выберем
один из следующих:
I
1
(
E
) =
k
E
−
E
d
k
2
Q
≡
Z
Q
|
E
−
E
d
|
2
dx, I
2
(
E
) =
Z
Γ
r
|
E
−
E
d
|
2
dσ.
(5)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.