ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2184
Скачиваний: 4
15
Здесь функция
E
d
∈
L
2
(
Q
)
(либо
E
d
∈
L
2
(Γ
r
)
) моделирует поле, измеренное в неко-
торой подобласти
Q
⊂
Ω
c
или на границе
Γ
r
шара
B
r
радиуса
r
, содержащего
Ω
внутри себя. В случае, когда
E
d
=
E
inc
, функционал
I
1
(либо
I
2
) имеет смысл квад-
рата среднеквадратичной интегральной нормы рассеяного поля
E
s
по
Q
(либо по
Γ
r
). В качестве управления мы выберем поверхностную проводимость
η
, входящую
в условие (1) либо (4). Предполагая, что
η
является элементом пространства
H
s
(Γ
2
)
,
введем следующий функционал:
J
j
(
E
s
, η
) =
α
0
2
I
j
(
E
s
) +
α
1
2
k
η
k
2
H
s
(Γ
2
)
, j
= 1
,
2
.
(6)
Здесь
α
0
и
α
1
– неотрицательные параметры, служащие для регулирования относи-
тельной важности каждого из слагаемых в (6). Рассматриваемые в статье задачи
управления заключаются в нахождении такого управления
η
и отвечающего ему
состояния – электромагнитного поля, решающего задачу (1), (2) либо (2), (3), (4),
которые обеспечивают минимум функционалу (6).
2.
Основные результаты
Рассматривая для конкретности модель 2, отметим, что первый этап решения
задачи управления для данной модели состоит в сведении исходной задачи сопря-
жения (2), (3), (4), рассматриваемой во всем пространстве
R
3
, к эквивалентной
задаче, рассматриваемой в ограниченной области. Для этого введем так называе-
мый внешний оператор Кальдерона, являющийся аналогом известного оператора
Дирихле–Неймана (см. [8]), используемого в подобных ситуациях для уравнения
Гельмгольца. Предварительно введем ряд функциональных пространств. Обозна-
чим через
B
R
шар радиуса
R
с центром в начале координат с границей
Γ
R
, содер-
жащий
Ω
. Положим
Ω
e
= Ω
c
∩
B
R
. Будем использовать пространства вектор-функ-
ций
H
(rot
,
Ω
e
)
,
H
(rot
, B
R
)
,
L
2
(
Q
)
,
L
2
(Γ
r
)
,
L
2
(Γ
2
)
,
H
1
/
2
T
(Γ
R
)
,
H
−
1
/
2
T
(Γ
R
)
и простран-
ства скалярных функций
L
∞
(Γ
2
)
,
H
s
(Γ
2
)
с нормами
k · k
rot
,
Ω
e
,
k · k
rot
,B
R
,
k · k
Q
,
k · k
Γ
r
,
k · k
Γ
2
,
k · k
1
/
2
,
Γ
R
,
k · k
−
1
/
2
,
Γ
R
,
k · k
L
∞
(Γ
2
)
и
k · k
s,
Γ
2
соответственно. Здесь, в
частности,
H
1
/
2
T
(Γ
R
)
обозначает подпространство пространства
H
1
/
2
(Γ
R
)
, состоящее
из тангенциальных на
Γ
R
вектор–функций из пространства
H
1
/
2
(Γ
R
)
,
H
−
1
/
2
T
(Γ
R
)
–
двойственное к
H
1
/
2
T
(Γ
R
)
относительно пространства
L
2
T
(Γ
R
)
. Введем пространство
E
inc
=
{
v
∈
H
(rot
,
Ω
e
) : rotrot
v
+
k
2
v
= 0
}
с нормой
k · k
E
inc
=
k · k
rot
,
Ω
e
. Оно будет
служить для описания сужений падающих полей на
Ω
e
. Положим
L
∞
η
0
(Γ
2
) =
{
η
∈
L
∞
(Γ
2
) :
η
(
x
)
>
η
0
}
,
H
s
η
0
(Γ
2
) =
{
η
∈
H
s
(Γ
2
) :
η
(
x
)
>
η
0
}
,
η
0
= const
>
0
,
s >
0
. Нам
также потребуются пространство
X
=
X
(
B
R
,
Γ
2
) =
{
v
∈
H
(rot
, B
R
) :
v
T
≡
n
×
v
×
n
|
Γ
2
∈
L
2
T
(Γ
2
)
}
,
наделенное гильбертовой нормой
k
v
k
2
X
=
k
v
k
2
rot
,B
R
+
k
v
T
k
2
Γ
2
,
и следующие простран-
ства следов вектор-функций из пространства
H
(rot
, B
R
)
:
H
−
1
/
2
div
(Γ
R
) =
{
v
∈
H
−
1
/
2
T
(Γ
R
)
3
: div
Γ
R
v
∈
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
}
,
H
−
1
/
2
rot
(Γ
R
) =
{
v
∈
H
−
1
/
2
T
(Γ
R
)
3
: rot
Γ
R
v
∈
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
}
.
Здесь и ниже
div
Γ
R
и
rot
Γ
R
– операторы поверхностной дивергенции и поверхност-
ного ротора на сфере
Γ
R
(их определения см., например, в [9, с. 276]). Поскольку
Γ
R
представляет собой гладкую связную компоненту границы области
Ω
e
, то
H
−
1
/
2
div
(Γ
R
)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
16
и
H
−
1
/
2
rot
(Γ
R
)
образуют пару сопряженных друг к другу пространств и справедливы
включения
ˆ
x
×
v
|
Γ
R
∈
H
−
1
/
2
div
(Γ
R
)
,
v
T
|
Γ
R
∈
H
−
1
/
2
rot
(Γ
R
)
для
v
∈
H
(rot
, B
R
)
. Здесь век-
тор
ˆ
x
=
x
/
|
x
|
имеет смысл единичного вектора внешней нормали к сфере
Γ
R
в точке
x
∈
Γ
R
,
v
T
|
Γ
R
≡
ˆ
x
×
v
×
ˆ
x
|
Γ
R
– тангенциальная компонента вектора
v
на
Γ
R
. Теперь
мы в состоянии свести задачу (2), (3), (4) к эквивалентной задаче, рассматриваемой
в ограниченной области – шаре
B
R
. Для этого введем внешний оператор Кальдеро-
на
G
e
:
H
−
1
/
2
div
(Γ
R
)
→
H
−
1
/
2
div
(Γ
R
)
. По определению оператор
G
e
отображает любой
вектор
g
∈
H
−
1
/
2
div
(Γ
R
)
, заданный на
Γ
R
, в вектор
ˆ
x
×
H
|
Γ
R
, где вектор
H
вместе с
E
является излученным решением краевой задачи
rot
E
−
ik
H
= 0
,
rot
H
+
ik
E
= 0
в
R
3
\
B
R
,
ˆ
x
×
E
=
g
на
Γ
R
. Известно (см. [8]), что
G
e
является изоморфизмом
пространства
H
−
1
/
2
div
(Γ
R
)
на
H
−
1
/
2
div
(Γ
R
)
, причем задача (2), (3), (4) эквивалентна сле-
дующей задаче сопряжения для электрических полей
E
i
и
E
e
, рассматриваемой в
шаре
B
R
:
rotrot
E
i
−
k
2
N
(
x
)
E
i
= 0
в
Ω
,
rotrot
E
e
−
k
2
E
e
= 0
в
Ω
e
,
(7)
n
×
E
e
−
n
×
E
i
= 0
на
Γ
,
n
×
rot
E
e
−
n
×
rot
E
i
= 0
на
Γ
1
,
(8)
n
×
rot
E
e
−
n
×
rot
E
i
=
ikη
E
e
на
Γ
2
,
(9)
ˆ
x
×
rot
E
e
=
ikG
e
(ˆ
x
×
E
e
)
−
ikG
e
(ˆ
x
×
E
inc
) + ˆ
x
×
rot
E
inc
на
Γ
R
.
(10)
Именно дополнительное условие (10) на сфере
Γ
R
, содержащее оператор Кальде-
рона
G
e
, делает задачу (7)–(9) эквивалентной исходной задаче (2), (3), (4). Ниже
будем ссылаться на задачу (7)–(10) как на задачу 1. Пусть
E
inc
∈ E
inc
,
Φ
∈
X
–
тестовая функция. Умножим первое уравнение в (7) на
Φ
|
Ω
, второе уравнение в (7)
– на
Φ
|
Ω
e
, проинтегрируем по
Ω
и
Ω
e
, применим формулы Грина и сложим. При-
ходим с учетом граничных условий (9), (10) к слабой формулировке задачи 1. Она
состоит в нахождении функции
E
∈
X
, равной
E
i
в
Ω
и
E
e
в
Ω
e
, из тождества
a
η
(
E
,
Φ
)
≡
a
0
(
E
,
Φ
)
−
ik
(
η
E
T
,
Φ
T
)
Γ
2
=
h
f
,
Φ
i ∀
Φ
∈
X.
(11)
Здесь
a
0
(
·
,
·
)
,
a
(
η
;
·
,
·
)
и
f
– полуторалинейные и антилинейная формы, определяемые
формулами
a
0
(
E
,
Φ
) =
Z
Ω
(rot
E
·
rot
Φ
−
k
2
N
(
x
)
E
·
Φ
)
dx
+
Z
Ω
e
(rot
E
·
rot
Φ
−
k
2
E
·
Φ
)
dx
+
+
ik
Z
Γ
R
G
e
(ˆ
x
×
E
)
·
Φ
T
dσ,
(
η
E
T
,
Φ
T
)
Γ
2
=
Z
Γ
2
η
E
T
·
Φ
T
dσ,
(12)
h
f
,
Φ
i
=
ik
Z
Γ
R
[
G
e
(ˆ
x
×
E
inc
)
−
ˆ
x
×
H
inc
]
·
Φ
T
dσ.
(13)
Интегралы по
Γ
R
в (12) и (13) обозначают отношение двойственности между про-
странствами
H
−
1
/
2
div
(Γ
R
)
и
H
−
1
/
2
rot
(Γ
R
)
. Решение
E
∈
X
задачи (11) назовем слабым
решением задачи 1. Будем считать, что матрица
N
= ((
n
ij
))
симметрична и удовле-
творяет условиям (j)
n
ij
∈
C
1
(Ω)
,
ξ
·
(Re
N
(
x
)
ξ
)
>
γ
|
ξ
|
2
,
ξ
·
(Im
N
(
x
)
ξ
)
6
0
∀
ξ
∈
C
3
,
x
∈
Ω
,
где
γ
= const
>
0
(условие гладкости для
n
ij
в (j) можно ослабить). Используя свой-
ства оператора
G
e
, указанные в [8], можно показать, что при выполнении условий (j)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
17
к задаче (11) применима альтернатива Фредгольма. С ее помощью может быть дока-
зана теорема.
Теорема 1.
Пусть в дополнение к условиям (j)
Γ
∈
C
0
,
1
,
K
⊂
L
∞
η
0
(Γ
2
)
– ограниченное множество, где
η
0
>
0
, и пусть
η
∈
K
. Тогда для любого падаю-
щего поля
E
inc
∈ E
inc
задача (11) имеет единственное решение
E
η
∈
X
, которое
удовлетворяет оценке
k
E
η
k
X
6
C
0
k
E
inc
k
H
(rot
,
Ω
e
)
. Здесь константа
C
0
зависит от
Ω
,
R
,
k
и размера множества
K
, но не зависит от
η
.
Приведем теперь строгую
формулировку рассматриваемой задачи управления для модели 2. Введем оператор
G
:
X
×
K
×E
inc
→
X
∗
формулой
h
G
(
E
, η,
E
inc
)
,
Φ
i
=
a
0
(
E
,
Φ
)
−
ik
(
η
E
T
,
Φ
T
)
Γ
2
−h
f
,
Φ
i
и перепишем слабую формулировку (11) задачи 1 в виде
G
(
E
, η,
E
inc
) = 0
. Рассмот-
рим следующую экстремальную задачу:
J
(
E
, η
) =
α
0
2
I
(
E
) +
α
1
2
k
η
k
2
s,
Γ
2
→
inf
, G
(
E
, η,
E
inc
) = 0
,
(
E
, η
)
∈
X
×
K.
(14)
Здесь
I
(
E
)
– произвольный пока функционал качества, а смысл параметров
α
0
и
α
1
указан выше. Предположим, что выполняются условия (jj)
Γ
∈
C
1
,
1
,
α
0
>
0
,
E
inc
∈ E
inc
;
K
⊂
H
s
η
0
(Γ
2
)
– непустое выпуклое замкнутое множество, где
s >
1
,
η
0
>
0
. Для исследования задачи управления (14) применим математический ап-
парат, разработанный в [9]. Основываясь на описанном аппарате, можно доказать
следующие теоремы.
Теорема 2.
Пусть в дополнение к условиям (j), (jj)
α
1
>
0
и
K
– ограниченное множество либо
α
1
>
0
. Тогда существует по крайней ме-
ре одно решение
( ˆ
E
,
ˆ
η
)
∈
X
×
K
задачи (14) при
I
=
I
j
(
E
)
,
j
= 1
,
2
.
Теорема 3.
Пусть при выполнении условий
(
j
)
пара
( ˆ
E
,
ˆ
η
)
∈
X
×
K
является решением задачи
(14), где
I
=
I
j
(
E
)
,
j
= 1
,
2
. Тогда существует единственный множитель Лагран-
жа
P
∈
X
, который является решением сопряженной задачи в виде уравнения
Эйлера–Лагранжа
a
0
(
Φ
,
P
)
−
ik
(ˆ
η
Φ
T
,
P
T
)
Γ
2
=
−
(
α
0
/
2)
h
I
0
E
( ˆ
E
)
,
Φ
i ∀
Φ
∈
X,
(15)
и выполняется вариационномое неравенство
α
1
(ˆ
η, η
−
ˆ
η
)
s,
Γ
2
+
k
Im((
η
−
ˆ
η
); ˆ
E
T
,
P
T
)
Γ
2
>
0
∀
η
∈
K.
(16)
Сопряженная задача (15) вместе с вариационным неравенством (16) и прямой зада-
чей (11) образует систему оптимальности для задачи (14). Система оптимальности
играет важную роль для изучения свойств решений задачи управления. На ее ос-
нове могут быть разработаны эффективные численные алгоритмы решения задачи
(14) (о некоторых из них в случае двумерной задачи маскировки см. в [5]). Кроме
того, на основе анализа системы оптимальности могут быть установлены достаточ-
ные условия на исходные данные, обеспечивающие единственность и устойчивость
решений конкретных экстремальных задач. Имея в виду последнюю цель, предпо-
ложим, что функция
E
inc
, описывающая падающее поле, изменяется в некотором
множестве
E
ad
⊂ E
inc
. Обозначим через
(
E
1
, η
1
)
∈
X
×
K
произвольное решение
задачи (14) при
I
=
I
1
(
E
)
, отвечающее заданным функциям
E
d
=
E
d
1
и
E
inc
=
E
inc
1
.
Через
(
E
2
, η
2
)
∈
X
×
K
обозначим решение той же задачи, отвечающее возмущен-
ным функциям
˜
E
d
=
E
d
2
и
˜
E
inc
=
E
inc
2
. Положим
M
E
≡
C
0
sup
E
inc
∈E
ad
k
E
inc
k
rot
,
Ω
e
и
предположим, что выполняется условие
α
1
(1
−
ε
)
>
3
α
0
C
2
0
M
0
E
M
E
, M
0
E
=
M
E
+ max(
k
E
d
1
k
Q
,
k
E
d
2
k
Q
)
,
(17)
где
ε
∈
(0
,
1)
– произвольное число. Введем функцию
ϕ
(
k
E
inc
k
rot
,
Ω
e
) = (
a
k
E
inc
k
rot
,
Ω
e
+
b
k
E
inc
k
2
rot
,
Ω
e
)
1
/
2
,
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
18
где
a
= 2
C
0
M
0
E
, b
=
C
2
0
M
0
E
M
−
1
E
. Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.
Пусть в дополнение к условиям (j)
K
и
E
ad
⊂ E
inc
– ограниченные множества и
пусть пара
(
E
l
, η
l
)
является решением задачи (14) при
I
=
I
1
(
E
)
, отвечающим
заданным функциям
E
d
l
∈
L
2
(
Q
)
и
E
inc
l
∈ E
ad
,
l
= 1
,
2
. Предположим, что вы-
полняется условие (17). Тогда
k
E
1
−
E
2
k
Q
6
k
E
d
1
−
E
d
2
k
Q
+
ϕ
(
k
E
inc
1
−
E
inc
2
k
rot
,
Ω
e
) и
справедливы оценки устойчивости
k
η
1
−
η
2
k
s,
Γ
2
6
p
µ
0
/εµ
1
∆
,
k
E
1
−
E
2
k
X
6
C
0
(
M
E
p
µ
0
/εµ
1
∆ +
k
E
inc
1
−
E
inc
2
k
rot
,
Ω
e
)
,
где
∆ = (1
/
2)
k
E
d
1
−
E
d
2
k
Q
+
ϕ
(
k
E
inc
1
−
E
inc
2
k
rot
,
Ω
e
)
.
Аналогичный результат справедлив для задачи (14) при
I
=
I
2
(
E
)
. По аналогичной
схеме исследуются задачи управления для модели 1. Работа выполнена при финан-
совой поддержке грантов ФЦП (N 14.А18.21.0353) и РФФИ (N 13-01-00313).
Список литературы
1.
Долин Л.С. Изв. вузов. Раднофизика. 1961. Т. 4. С. 964–969.
2.
Pendry J.B., Shurig D. and Smith D.R. // Science. 2006. V. 312. P. 1780–1782.
3.
Cummer S.A., Popa B.I., Schurig D. et al. // Phys. Rev. Letters. 2008. V. 100. 024301.
4.
Дубинов А.Е., Мытарева Л.А. // Успехи физ. наук. 2010. Т. 180, № 5. С. 476–501.
5.
Алексеев Г.В. // ДАН. 2013. Т. 449, № 6. C. 652-656.
6.
Alekseev G.V. // Applicable Analysis. 2013. DOI: 10.1080/00036811.2013.768340.
7.
Леонтович М.А. Теоретическая физика. Избранные труды. М.: Наука. 1985. С. 351–
355.
8.
Monk P. Finite element methods for Maxwell’s equations. Oxford University Press. 2003.
9.
Алексеев Г.В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнит-
ной гидродинамики. М.: Научный мир. 2010.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 517.977.1
КАРЛЕМАНОВСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ОБРАТНОГО
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Амосова Е.В.
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 7
E-mail:
leb@iam.dvo.ru
Ключевые слова:
Карлемановские оценки, точная управляемость, урав-
нения Навье-Стокса
Введение
Теория управляемости для эволюционных уравнений в частных производных
начала развиваться в 60-х годах. Ее основы были заложены в работах Ю.В.Егорова
[1], Д.Рассела [2]-[3], Г.Фатторини [4]. В этих работах был разработан метод момен-
тов, сводящий решение задачи точной управляемости к вопросам теории рядов экс-
понент, а также введен принцип двойственности, сводящий задачу управляемости
для эволюционнго уравнения к задаче наблюдаемости для сопряженного уравнения.
Далее в основном изучался случай гиперболических уравнений. В 1986 г. появилась
работа Л.Ф.Хо [5], в которой были найдены достаточные условия наблюдаемости
для гиперболического уравнения второго порядка методом множителей. Одновре-
менно в работах Ж.-Л.Лионса [6] был введен гильбертов метод единственности,
позволяющий получать из теоремы единственности для сопряженного уравнения
существование решения задачи управляемости для исходного уравнения. В даль-
нйшем эти методы интенсивно развивались во многих работах. Из единственности
некоторой задачи Коши для сопряженного уравнения удается выводить результаты
по управляемости исходного уравнения. Одним из наиболее мощных методов доказа-
тельства единственности задачи Коши являются карлемановские оценки. После по-
явления фундаментальных результатов Л.Хермандера [7], [8] и работ В. Исакова [9]
теория карлемановских оценок развивалась в нескольких направлениях: теория кар-
лемановских оценок в пространствах
L
p
, где
p
6
= 2
([10]-[12]), терия карлемановских
оценок с сингулярными весовыми функциями [13]. В последнее время в задачах точ-
ной граничной управляемости стали широко использоваться карлемановские оцен-
ки. Ж.-Л. Лионсом была выдвинута гипотеза о глобальной управляемости системой
Навье-Стокса с граничнвм или локально распределенным управлением. После этой
работы начали интенсивно исследоваться управляемость параболических уравнений
с простейшими нелинейностями и управляемость уравнений, описывающих течение
жидкости. Наиболее мощным методом доказательства точной управляемости нели-
нейных параболических уравнений является метод построения решения с помощью
экстремальной задачи и последующего применения карлемановских оценок. Основы
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.