ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2122
Скачиваний: 4
20
этого метода были заложены А.В.Фурсиковым и О.Ю. Эмануиловым в работах [14],
[15]. Точная локальная управляемость системы Навье-Стокса и Буссенеска с локаль-
но распределенным управлением и граничными условиями типа проскальзывания
изучена в работе [16]. Случай локально распределенного управления для системы
Навье-Стокса с нулевыми граничными условиями рассмотрен в работе О.Ю. Эма-
нуилова [17] при дополнительных ограничениях на заданную скорость. В работе
[18] изучена точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска на торе.
Задача точной локальной управляемости уравнениями Навье-Стокса описывающих
движения вязкого политропного газа в одномерном случае рассмотренна Амосовой
Е.В. в работе [19]. Случай граничной управляемости изучен Ervedoza S, Glass O,
Guerrero S, Puel J.-P. в работе [20].
1.
Постановка задачи
Рассматривается задача точной локальной управляемости уравнениями Навье-
Стокса описывающих движения вязкого политропного газа в двумерном случае с
условиями типа проскальзывания на границе. При решении данной задачи появи-
лась необходимость решать задачу Неймана для обратного параболического урав-
нения.
1.1.
Карлемановские оценки
Пусть
Q
= (0
, T
)
×
Ω
,
Ω
∈
R
2
— ограниченная область с границей
∂
Ω
класса
C
∞
,
ω
⊂
Ω
— произвольная фиксированная подобласть
Ω
. Существует функция
β
(
x
)
∈
C
2
(Ω)
, не имеющая критических точек в
Ω
\
ω
0
такая, что
(
∇
β
(
x
)
·
n
(
x
))
>
0
∀
x
∈
Ω
,
где
n
(
x
)
— векторное поле внешних нормалей к
∂
Ω
,
ω
0
⊂⊂
ω
. Так как
β
(
x
)
x
∈
Ω
\
ω
0
не имеет критических точек, получаем
min
x
∈
Ω
\
ω
0
|∇
β
(
x
)
|
>
0
.
Кроме того, предположим, что
β
(
x
)
>
ln 3;
min
x
∈
Ω
β
(
x
)
>
3
4
max
x
∈
Ω
β
(
x
)
.
Пусть
γ
(
t
)
∈
C
∞
(0
, T
)
— функция, удовлетворяющая условиям
0
< γ
(
t
)
6
1
,
γ
(
t
) =
(
t,
t
∈
(0
, T
0
)
,
T
−
t,
t
∈
(
T
−
T
0
, T
)
,
T
0
= min
T
3
,
1
2
.
Кроме того, предполагается, что
γ
(
t
)
монотонно растет при
t
∈
(0
, T /
2)
и монотонно
убывает при
t
∈
(
T /
2
, T
)
. Введем функции
ϕ
(
t, x
) =
e
λβ
(
x
)
γ
(
t
)
;
α
=
α
λ
(
t, x
) =
e
4
λ
3
k
β
k
C
(Ω)
−
e
λβ
(
x
)
γ
(
t
)
,
где
λ >
0
— параметр, а
β
(
x
)
,
γ
(
t
)
— функции введенные выше.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
21
1.2.
Задача Неймана для обратного параболического
уравнения
Рассмотрим обратное параболическое уравнение
∂
t
z
+ ∆
z
=
f
z
(
t, x
)
,
(
t, x
)
∈
Q,
(
∇
z
·
n
) = 0
,
(
t, x
)
∈
(0
, T
)
×
∂
Ω
,
(1)
где
Q
= (0
, T
)
×
Ω
,
Ω
∈
R
2
— ограниченная область с границей
∂
Ω
класса
C
∞
.
Теорема 1.
Пусть
z
и
f
z
удовлетворяют соотношениям (1) и
s
>
−
3
. Для
λ >
ˆ
λ
,
где
ˆ
λ
>
λ
0
достаточно велико, справедлива карлемановская оценка
Z
Q
ϕ
2
s
−
1
(
λ
−
1
|
∂
t
z
|
2
+
2
X
i,j
=1
|
∂
2
x
i
x
j
z
|
2
+
λϕ
2
|∇
z
|
2
+
λ
4
ϕ
4
|
z
|
2
)
e
−
2
α
λ
dxdt
6
6
c
Z
Q
ϕ
2
s
|
f
z
|
2
e
−
2
α
λ
dxdt
+
c
Z
Q
ω
0
λ
4
ϕ
2
s
+3
|
z
|
2
e
−
2
α
λ
dxdt,
где
Q
w
0
= (0
, T
)
×
ω
0
,
c >
0
— константа, не зависящая от
f
z
,
z
и
λ
.
Список литературы
1.
Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления // Журн. вычисл.
мат. и матем. физ. 1963. Т. 5. С. 887-904.
2.
Russel D. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations.
Recent progress and open questions// SIAM Rev. 1978. V.20. P. 639-739.
3.
Russel D. A unified boundary controllability theory for hyperbolic and parabolic partial
differential equations // Stud. Appl. Math. 1973. V. 52. P. 189-212.
4.
Fattorini H. Boundary control of temperature distributions in a parallepipedon // ESAIM,
Control Optim. Calc. Var.
http://www.emath.fr/cocv
. 1997. V.2. P.87-102.
5.
Ho L.E. Boundary observability of the wave equation // C.R. Acad. Sci.Paris. Ser. I.
1986. V. 302. P. 443-446.
6.
Lions J.-L. Controlabilite exacte et stabilization de systemes distribues. V.1. Paris:
Masson, 1988.
7.
Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы в частных производных. М.:
Мир, 1965.
8.
Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными произ-
водными. Т1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986.
9.
Исаков В. О единственности решения задачи Коши // Докл. АН. СССР. 1986. Т.255.
№ 1. С.18-21.
10.
Jerison D., Kenig C. Unique continuation and absence of positive eigenvalues for
Schrodinger operators // Ann. of Math. 1985. V.12. P. 463-494.
11.
Kim Y.M. Carleman inequalities for the Dirac operator and strong unique continuation
// Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V. 123. N.7. P. 2103-2112.
12.
Kim Y.M. Strong unique continuation of the Schrodinger operators // Bull. Korean.
Math. Soc. 1994. V. 31. N.1. P. 55-60.
13.
Jerison D. Carleman inequalities for the Dirac and Laplace operators and unique
continuation // Adv. Math. 1986. V. 62. N.7. P. 118-134.
14.
Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. On controllability of certain systems simulating a flued
flow // IMA. Vol. Math. Appl. 1985. V. 68. P. 149-184.
15.
Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. On exact boundary zero-controllability of two-
dimensional Navier-Stokes equations // Acta. Appl. Math. 1994. V. 37. P. 67-76.
16.
Imanuvilov O.Yu. Local exact controllability for the 2-D Navier-Stokes equations with
the Navier slip boundary conditions // Lecture Notes in Phys. 1997. V. 491. P. 148-168.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
22
17.
Эмануилов О.Ю. Граничное управление полулинейными эволюциоными уравнения-
ми // УМН. 1989. Т.44. № 6. С. 183-184.
18.
Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и
Буссинеска // УМН. 1999. Т. 54. № 3. С.93-146.
19.
Амосова Е.В. Точная локальная управляемость для уравнений динамики вязкого
газа // Диф. ур. 2011. Т.47. № 12. С. 1-19.
20.
Ervedoza S, Glass O, Guerrero S, Puel J.-P. Local exact controllability for the 1-
D compressible Navier-Stokes equation //
http://www.math.univ-toulouse.fr/ ervedoza/
Preprint 2011.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 519.248:62-192+519.176
ЗАДАЧА МАЛОРАКУРСНОГО
ЗОНДИРОВАНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Д.С. Аниконов
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
Россия, 630090, Новосибирск, пр-т Коптюга, 4
E-mail:
anik@math.nsc.ru
В.Г. Назаров
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, ул. Радио, 7
E-mail:
naz@iam.dvo.ru
Ключевые слова:
уравнение переноса излучения, рентгеновская томогра-
фия, дистанционное зондирование среды.
Рассматривается задача зондирования неизвестной по своему строению
сплошной среды радиационным излучением. Распространение излучения
в среде описывается моноэнергетическим уравнением переноса. Предпола-
гается, что среда содержит некоторые включения (неоднородности), име-
ющее радиационные характеристики, отличные от аналогичных характе-
ристик окружающей части среды. Измерения плотности потока излучения
производятся на некоторой плоскости вне включений, а искомым объектом
поиска являются границы проекции (тени) этих включений на плоскость
измерений. Рассматривается случай, когда прямая визуализация объекта
затруднительна из-за значительного рассеяния и поглощения излучения в
зондируемой среде. Предлагается метод обнаружения искомых границ про-
екций на основе нового способа обработки измеряемой информации. Цели
задачи адаптированы к проблеме зондирования придонной области миро-
вого океана.
1.
Постановка задачи и общая схема алгоритма
Проблема улучшения изображений продолжает привлекать внимание многих
специалистов. К настоящему времени создано много соответствующих алгоритмов,
имеющих обширные приложения. Однако во всех известных нам работах объекта-
ми исследований являются уже полученные изображения (например, фотографии)
без анализа природы зондирующих сигналов. Наше исследование основывается на
предварительном изучении характера проникающего излучения и выделение из него
характеристики, указывающей на расположение реконструируемых линий. Особен-
но важно то, что мы рассматриваем излучение в произвольной среде при учете не
только поглощения, но и большого уровня рассеяния, а также при возможном на-
личии внутренних и внешних источников излучения. Процесс переноса излучения,
описывается следующим интегро-дифференциальным уравнением:
(
ω
· ∇
r
f
(
r, ω
)) +
µ
(
r
)
f
(
r, ω
) =
Z
Ω
k
(
r, ω
·
ω
0
)
f
(
r, ω
0
)
dω
0
+
J
(
r, ω
)
,
(1)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
24
где
r
∈
G
,
G
−
ограниченная выпуклая область в
R
3
с гладкой границей класса
C
1
,
Ω =
{
ω
:
ω
∈
R
3
,
|
ω
|
= 1
}
. Функция
f
(
r, ω
)
есть плотность потока частиц в точке
r
,
движущихся в направлении единичного вектора
ω
. Функции
µ
(
r
)
, k, J
характеризу-
ют среду
G
, в которой происходит процесс переноса излучения. При этом
µ
(
r
)
есть
коэффициент ослабления излучения,
k
(
r, ω
·
ω
0
)
−
индикатриса рассеяния,
J
(
r, ω
)
−
плотность внутренних источников излучения. Обозначим
d
(
r, ω
)
длину пересечения
луча
L
r,ω
=
{
r
+
tω, t
>
0
}
и области
G
и рассмотрим граничное условие:
f
(
r
−
d
(
r,
−
ω
)
ω, ω
) =
h
(
r
−
d
(
r,
−
ω
)
, ω
)
,
(
r, ω
)
∈
G
×
Ω
,
(2)
где
h
означает плотность падающего (внешнего) потока на границе среды
G
. Для
постановки нашей задачи сделаем следующие предположения. Пусть область
G
содержит выпуклые непересекающиеся подобласти
G
1
,
G
3
, границы которых при-
надлежат классу
C
2
и пусть
G
2
=
G
\
G
1
∪
G
3
. На границах областей
G
i
коэф-
фициенты уравнения (1) имеют разрывы первого рода по переменной
r
, а для
r, ω, ω
0
∈
G
j
×
Ω
×
Ω
, j
= 1
,
2
,
3
функции
µ, k, J
равномерно непрерывны по со-
вокупности переменных вместе со всеми своими частными производными первого
порядка. Неотрицательная и ограниченная функция
h
1
(
r, ω
) =
h
(
r
−
d
(
r,
−
ω
)
ω, ω
)
предполагается непрерывной вместе со всеми своими первыми производными при
(
r, ω
)
∈
G
×
Ω
. Рассмотрим горизонтальную плоскость
P
=
{
r
= (
r
1
, r
2
, r
3
) :
r
3
= 0
}
,
пересекающую область
G
, но не имеющую общих точек с областями
G
2
и
G
3
. Обозна-
чим через
D
множество, являющееся пересечением плоскости
P
и области
G
а через
D
2
и
D
3
вертикальные проекции областей
G
2
и
G
3
на плоскость
P
. Настоящая ра-
бота направлена на исследование достаточно конкретной проблемы зондирования
придонных объектов океана. Соответственно роль областей
G
i
различна. Так, об-
ласть
G
1
представляет собой водную часть зондируемой области, а
G
2
−
грунтовую,
которая содержит включение
G
3
. Будем считать, что
D
2
, D
3
⊂
D
. Для определен-
ности будем считать, что области
G
2
и
G
3
находятся ниже плоскости
P
. Ставится и
исследуется следующая задача.
Задача локации.
Найти границу
∂D
3
множества
D
3
, если известны значения функции
f
(
r, ω
P
)
при
r
∈
D, ω
P
= (0
,
0
,
1)
.
Содержа-
тельный смысл этой задачи состоит в том, чтобы измеряя плотность вертикального
потока излучения на горизонтальной плоскости вне неизвестного тела, обнаружить
его тень на плоскости измерений. В наших терминах тенью называется множество
точек пересечения лучей
L
r,ω
P
, r
∈
G
3
и плоскости
P
. Заметим, что рассмотрение
именно вертикальной проекции на горизонтальной плоскости производится только
для простоты изложения. Аналогично можно было бы взять любую плоскость и
ортогональную к ней проекцию. Для решения поставленной задачи можно исполь-
зовать один из ранее обоснованных и прошедших проверку индикаторов неоднород-
ности [2-4]:
I
(
r
) =
|∇
∗
r
f
(
r, ω
P
)
|
,
(3)
Ind
(
r
) =
Z
D
0
|∇
∗
y
f
(
y, ω
P
)
|
dy
|
r
−
y
|
1+
α
,
0
.
5
< α <
1
.
(4)
Здесь
D
0
−
подобласть в
D
такая, что
D
0
⊃
D
3
и
D
0
⊂
D
,
∇
∗
r
f
(
r, ω
P
)
−
двумерный
градиент следа функции
f
(
r, ω
P
)
на множестве
D
, Поведение индикаторов (3), (4)
при определенных ограничениях, существующих в настоящей работе было исследо-
вано в [1,2]. В частности, было доказано, что
I
(
r
)
, Ind
(
r
)
→ ∞
тогда и только тогда,
когда
r
→
∂D
3
. Отсюда следует единственность определения проекции (тени)
D
3
на плоскость
P
. При численной реализации алгоритма линия
∂D
3
соответствует
точкам аномально больших значений функций
I
(
r
)
и
Ind
(
r
)
. В случае успешного
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.