ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2131
Скачиваний: 4
225
0.01
0.1
1
10
100
510
998
2042
3998
8150
15974
32598
Время умножения, с
Размерность матриц
Умножение ’ближней’ зоны
Умножение ’дальней’ зоны
Рис. 2.
Зависимость времени умножения от размерности матриц
Список литературы
1.
Saad Y., Schultz М. GMRES: a general minimal residual algorithm for solving non-
symmetric linear systems // SIAM J. Sci Stat. Comput. 1986. V. 7, № 3. P. 856-869.
2.
Савостьянов Д.В. Быстрая полилинейная аппроксимация матриц и интегральные
уравнения: дис. канд. физ.-мат. наук. Москва, 2006. 144 с.
3.
Каширин А.А., Смагин С.И. О численном решении задач Дирихле для уравнения
Гельмгольца методом потенциалов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 52, № 8,
2012. С. 1492–1505.
4.
McLean W. Strongly elliptic systems and boundary integral equations. М.: Cambridge
University Press, 2000. 372 с.
5.
Горейнов С.А. Мозаично-скелетонные аппроксимации матриц, порожденных асимп-
тотически гладкими и осцилляционными ядрами // Матричные методы и вычисле-
ния. М.: ИВМ РАН, 1999.
C. 42-76.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 517.95
ЧИСЛЕННОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ
ГРАНИЧНОГО ПОТОКА ТЕПЛА
ПО ВЕКТОРУ СКОРОСТИ ВЯЗКОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ
Д.А. Терешко
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 7
E-mail:
ter@iam.dvo.ru
Ключевые слова:
вязкая теплопроводная жидкость, задачи управления
Для нестационарной модели вязкой теплопроводной жидкости в прибли-
жении Обербека-Буссинеска формулируется задача условной минимиза-
ции функционала качества, зависящего как от слабого решения исходной
начально-краевой задачи, так и от потока тепла на части границы, игра-
ющего роль управления. Выводится система оптимальности, описывающая
необходимые условия экстремума первого порядка. Предлагается числен-
ный алгоритм решения задачи граничного управления, основанный на ите-
рационном процессе решения прямых и обратных по времени начально-
краевых задач, входящих в нелинейную систему оптимальности.
Введение
Одна из важных задач прикладной гидродинамики связана с проблемой созда-
ния течений требуемой конфигурации за счет выбора значений вектора скорости,
температуры либо потока тепла на некоторых участках границы области [1-3]. Учет
тепловых эффектов добавляет определенные трудности при теоретическом и числен-
ном анализе рассматриваемых задач управления. За последние двадцать лет опуб-
ликован целый ряд работ, посвященных теоретическому исследованию задач управ-
ления для нестационарной модели тепловой конвекции (см., например, [4-9]). При
этом практически нет публикаций, представляющих результаты сложных вычисли-
тельных экспериментов в данном направлении. Это связано с тем, что нелинейность
используемой математической модели и специфические особенности задач условной
минимизации приводят к значительным проблемам при численном решении соответ-
ствующих задач управления. В последние годы достигнут определенный прогресс
при решении задач управления для стационарных уравнений теплопереноса в вяз-
кой жидкости. Так, в работах [10-12] разработаны численные алгоритмы решения
задач граничного управления для стационарной модели тепловой конвекции. Кро-
ме того, в этих работах представлены результаты вычислительных экспериментов,
связанных с минимизацией завихренности потока, уменьшением силы лобового со-
противления и устранением застойных зон за обтекаемым телом и в углах канала
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
227
за счет выбора потока тепла и вектора скорости на определенных участках грани-
цы. Целью данного исследования является разработка алгоритма и проведение вы-
числительных экспериментов по решению задачи управления для нестационарной
модели вязкой теплопроводной жидкости. Физический смысл данной задачи связан
с восстановлением граничных значений потока тепла по измеренному на некотором
множестве наблюдений вектору скорости.
1.
Постановка начально-краевой задачи
В ограниченной области
Ω
с границей
Γ
рассматривается начально-краевая за-
дача
u
t
+ (
u
· ∇
)
u
−
ν
∆
u
+
∇
p
=
−
βT
G
в
Q,
div
u
= 0
в
Q,
u
|
t
=0
=
u
0
в
Ω
,
u
=
g
на
Σ
,
T
t
+
u
· ∇
T
−
λ
∆
T
=
f
в
Q, T
|
t
=0
=
T
0
в
Ω
,
T
=
ψ
на
Σ
D
, λ
∂T
∂n
=
χ
на
Σ
N
,
описывающая процесс распространения тепла в вязкой жидкости. Здесь
u
,
p
и
T
–
вектор скорости, давление и температура жидкости (искомые функции),
ν
=const
>
0
– коэффициент кинематической вязкости,
β
– объемный коэффициент теплового
расширения,
G
– вектор ускорения свободного падения,
λ
=const
>
0
– коэффициент
температуропроводности,
f
– объемная плотность источников тепла,
g
,
ψ
и
χ
– неко-
торые функции,
Γ = Γ
D
∪
Γ
N
,
Γ
D
∩
Γ
N
=
∅
,
Q
= Ω
×
(0
, t
max
)
,
Σ = Γ
×
(0
, t
max
)
,
Σ
D
= Γ
D
×
(0
, t
max
)
,
Σ
N
= Γ
N
×
(0
, t
max
)
. Ниже в задачах управления течения вяз-
кой жидкости с требуемыми свойствами будут формироваться за счет оптимального
выбора граничных значений потока тепла
χ
на соответствующих участках грани-
цы области. Слабая формулировка данной начально-краевой задачи заключается в
нахождении тройки
(
u
, p, T
)
как решения следующей системы:
t
max
Z
0
[(
u
t
+ (
u
· ∇
)
u
,
v
) +
ν
(
∇
u
,
∇
v
)
−
(
p,
div
v
) + (
βT
G
,
v
)]
dt
= 0
,
t
max
Z
0
[(
T
t
+
u
· ∇
T, S
) +
λ
(
∇
T,
∇
S
)
−
(
f, S
)
−
(
χ, S
)
Γ
N
]
dt
= 0
,
div
u
= 0
в
Q,
u
=
g
на
Σ
, T
=
ψ
на
Σ
D
,
u
|
t
=0
=
u
0
в
Ω
, T
|
t
=0
=
T
0
в
Ω
,
которую для краткости будем записывать в виде операторного уравнения
F
(
u
, p, T, χ
) = 0
.
2.
Задачи управления
Для данной модели формулируется задача условной минимизации функциона-
ла качества, зависящего как от слабого решения исходной начально-краевой задачи,
так и от граничной функции
χ
, играющей роль управления. С математической точ-
ки зрения рассматриваемая задача граничного управления сводится к следующей
экстремальной задаче:
J
(
u
, χ
) =
t
max
Z
0
Z
Ω
d
|
u
−
u
d
|
2
d
Ω
dt
+
µ
2
t
max
Z
0
Z
Γ
N
χ
2
d
Γ
dt
→
inf
,
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
228
F
(
u
, p, T, χ
) = 0
.
Здесь
u
d
– заданное на множестве наблюдений
Ω
d
поле скорости,
µ
– положительная
константа, имеющая смысл параметра регуляризации. На основе методов исследо-
вания экстремальных задач из работ [1-3] выведена система оптимальности, описы-
вающая необходимые условия экстремума первого порядка. В дифференциальной
форме записи она состоит из следующих связанных между собой трех частей: 1)
прямой начально-краевой задачи для скорости
u
, давления
p
и температуры
T
:
u
t
+ (
u
· ∇
)
u
−
ν
∆
u
+
∇
p
=
−
βT
G
в
Q,
div
u
= 0
в
Q,
u
|
t
=0
=
u
0
в
Ω
,
u
=
g
на
Σ
,
T
t
+
u
· ∇
T
−
λ
∆
T
=
f
в
Q,
T
|
t
=0
=
T
0
в
Ω
, T
=
ψ
на
Σ
D
, λ
∂T
∂n
=
χ
на
Σ
N
;
2) обратной по времени задачи для сопряженной скорости
q
, сопряженного давления
σ
и сопряженной температуры
θ
:
−
q
t
−
(
u
· ∇
)
q
+ (
∇
u
)
t
q
−
ν
∆
q
+
∇
σ
=
I
Ω
d
(
u
d
−
u
)
−
θ
∇
T
в
Q,
div
q
= 0
в
Q,
q
|
t
=
t
max
= 0
в
Ω
,
q
=
0
на
Σ
,
−
θ
t
−
u
· ∇
θ
−
λ
∆
θ
=
−
β
G
·
q
в
Q,
θ
|
t
=
t
max
= 0
в
Ω
, θ
= 0
на
Σ
D
,
∂θ
∂n
= 0
на
Σ
N
;
3) условия оптимальности, связывающего между собой управление
χ
и сопряжен-
ную температуру
θ
:
χ
=
θ
µ
на
Σ
N
.
Основная проблема численного решения указанной системы оптимальности связана
с тем, что сопряженная задача для сопряженного состояния (множителей Лагран-
жа) представляет собой в отличие от прямой начально-краевой задачи параболи-
ческую систему с обратным временем. Разработан численный алгоритм решения
рассматриваемых задач граничного управления, основанный на итерационном про-
цессе решения прямых и обратных по времени начальных краевых задач, входящих
в нелинейную систему оптимальности.
Алгоритм
Шаг 0. Выбираем начальное приближение для управления
χ
0
на
Σ
N
. Полагаем
n
=
0
. Шаг 1. Решение прямой задачи для
(
u
n
, p
n
, T
n
)
в
Q
. Шаг 2. Решение сопряженной
задачи для
(
q
n
, σ
n
, θ
n
)
в
Q
. Шаг 3. Вычисление нового значения управления
χ
n
+1
=
θ
n
/µ
на
Σ
N
.
Шаг 4. Если условие выхода из цикла
k
T
n
−
T
n
−
1
k
/
k
T
n
k
<
10
−
8
не выполняется,
то полагаем
n
: =
n
+1
и переходим на шаг 1. Отметим, что на шаге 2 решается на-
чально-краевая задача для сопряженного состояния в противоположном по време-
ни направлении, начиная со значений для сопряженной скорости
q
и сопряженной
температуры
θ
, заданных в конечный момент времени
t
=
t
max
. Рассмотрим чис-
ленное решение экстремальной задачи на примере конвективного течения вязкой
теплопроводной жидкости в единичном квадрате
Ω =
{
(
x, y
) :
−
0
.
5
< x, y <
0
.
5
}
,
вызванного нагревом правой границы. Безразмерное время
t
изменяется от 0 до
1. На нижней, левой и верхней границе задано однородное условие Дирихле для
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
229
температуры
T
= 0
. На всех четырех участках границы задано условие прилипа-
ния для скорости
u
=
0
. Основной целью вычислительных экспериментов является
установление зависимости точности решения обратной задачи от выбора параметра
регуляризации
µ
и множества наблюдений
Ω
d
. В качестве исходного потока тепла
на правой границе была выбрана функция
χ
d
(
y
) = 1
−
4
y
2
, независящая от времени.
Предполагая, что в области нет источников тепла (
f
= 0
), сначала решаем начально-
краевую задачу в безразмерных переменных при числе Прандтля
Pr = 7
и числе
Рэлея
Ra = 10
5
. Полученные при этом поля скорости и температуры обозначим
через
u
d
и
T
d
. Для численного решения начально-краевых задач методом конечных
элементов использовался свободно распростроняемый пакет программ freeFEM++.
Чтобы оценить точность решения экстремальной задачи в зависимости от выбран-
ных параметров алгоритма, будем рассматривать в определенные моменты времени
следующие относительные ошибки:
E
u
=
k
u
−
u
d
k
k
u
d
k
, E
χ
=
k
χ
−
χ
d
k
Γ
N
k
χ
d
k
Γ
N
, E
T
=
k
T
−
T
d
k
k
T
d
k
.
Значения этих ошибок в момент времени
t
= 0
.
5
для случая
Ω
d
=
{
(
x, y
) :
−
0
.
5
<
x <
0
.
5
, y <
0
}
в зависимости от параметра регуляризации
µ
представлены в следу-
ющей таблице:
µ
E
u
E
χ
E
T
10
−
1
1
.
1
·
10
−
1
3
.
5
·
10
−
1
2
.
2
·
10
−
1
10
−
2
3
.
2
·
10
−
2
1
.
8
·
10
−
1
8
.
2
·
10
−
2
10
−
3
8
.
2
·
10
−
3
8
.
1
·
10
−
2
2
.
7
·
10
−
2
10
−
4
1
.
9
·
10
−
3
3
.
4
·
10
−
2
8
.
1
·
10
−
3
10
−
5
4
.
3
·
10
−
4
1
.
4
·
10
−
2
2
.
4
·
10
−
3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
chi(x)
’chi2n.dat’
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
chi(x)
’chi5n.dat’
(a)
(b)
Рис. 1.
Исходный и вычисленные потоки тепла
Хорошо видно, что при уменьшении параметра регуляризации
µ
все относительные
ошибки убывают. Графики исходного и вычисленного в процессе решения обратной
задачи потоков тепла на правой границе
χ
d
(
y
)
и
χ
(
y
)
в момент времени
t
= 0
.
5
при
µ
= 10
−
2
(a) и
µ
= 10
−
5
(b) показаны на Рис. 1. Легко заметить, что более
точное совпадение имеет место при
y <
0
, т.е. на участке, прилегающем к множе-
ству наблюдений
Ω
d
. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект
13-01-00313) и грантов ДВО РАН (проекты 12-I-П17-03 и 12-III-А-03-038).
Список литературы
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.