ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1497
Скачиваний: 1
§
26.3.
Несобственные интегралы
,
зависящие от параметра
181
существует такое
δ
ε
>
0,
что
|
I
(
y
+ ∆
y
)
−
I
(
y
)
|
6
ε
+
ε
+
ε
= 3
ε
,
если
|
∆
y
|
6
δ
ε
,
что и означает непрерывность
I
(
y
)
при любом
y
∈
Π,
т
.
е
.
непрерывность
I
на
Π.
Упражнение
4.
Доказать следующую теорему о предель
-
ном переходе под знаком несобственного интеграла
.
Теорема
5.
Пусть
y
(0)
—
предельная точка множества
Y
⊂
R
m
(
при
m
= 1
не исключаются значения
y
(0)
= +
∞
,
−∞
,
∞
).
Пусть функция
f
:
[
a, b
)
×
Y
→
R
,
[
a, b
)
⊂
R
,
при каждом
y
∈
Y
непрерывна на
[
a, b
)
как функция
x
и
f
(
x, y
)
⇒
[
a,η
]
ϕ
(
x
)
при
Y
3
y
→
y
(0)
.
на любом отрезке
[
a, η
]
⊂
[
a, b
)
.
Пусть интеграл
I
(
y
) (1)
сходится равномерно на
Y
.
Тогда сходится
R
b
a
ϕ
(
x
)
dx
и
lim
Y
3
y
→
y
(0)
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx
=
Z
b
a
ϕ
(
x
)
dx.
Теорема
6 (
об интегрировании под знаком инте
-
грала
).
В условиях теоремы
4
при
m
= 1
,
Π = [
c, d
]
Z
d
c
I
(
y
)
dy
=
Z
d
c
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx
dy
=
Z
b
a
Z
d
c
f
(
x, y
)
dy
dx.
(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
В силу непрерывности функции
f
на
[
a, η
]
×
[
c, d
]
при
a < η < b
Z
d
c
Z
η
a
f
(
x, y
)
dx dy
=
Z
η
a
Z
d
c
f
(
x, y
)
dy dx.
(7)
Перейдем в этом равенстве к пределу при
η
→
b
−
0.
Левая
часть
(7)
имеет конечный предел
Z
d
c
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx dy
=
Z
d
c
I
(
y
)
dy
—
интеграл от непрерывной на
[
c, d
]
в силу теоремы
4
функции
.
В самом деле
,
Z
d
c
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx dy
−
Z
d
c
Z
η
a
f
(
x, y
)
dx dy
6
182
Глава
26.
Интегралы
,
зависящие от параметра
6
(
d
−
c
) sup
y
∈
[
c,d
]
Z
b
η
f
(
x, y
)
dx
→
0
при
η
→
b
−
0
в силу равномерной сходимости
I
(
y
).
Следова
-
тельно
,
и правая часть
(7)
имеет конечный предел
,
который по
определению несобственного интеграла есть правая часть
(6).
Переходя в равенстве
(7)
к пределу при
η
→
b
−
0,
получаем
равенство
(6).
Упражнение
5.
Получить теоремы
4 (
при
m
= 1), 6
в
качестве следствий из теорем
26.2.2, 26.2.3.
Сравнить с дока
-
зательством теорем
16
.
3
.
1
0
, 16
.
3
.
2
0
.
Теорема
7 (
о дифференцировании под знаком инте
-
грала
).
Пусть функции
f
,
∂f
∂y
непрерывны на
[
a, b
)
×
[
c, d
]
.
Пусть для некоторого
y
0
∈
[
c, d
]
сходится интеграл
I
(
y
0
) =
=
R
b
a
f
(
x, y
0
)
dx
,
а интеграл
R
b
a
∂f
∂y
(
x, y
)
dx
сходится равномерно
на
[
c, d
]
.
Тогда функция
I
(
y
)
дифференцируема и
d
dy
I
(
y
) =
Z
b
a
∂f
∂y
(
x, y
)
dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
По теореме
6
при
y
∈
[
c, d
]
Z
y
y
0
Z
b
a
f
0
y
(
x, t
)
dx dt
=
Z
b
a
(
f
(
x, y
)
−
f
(
x, y
0
))
dx
=
=
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx
−
Z
b
a
f
(
x, y
0
)
dx.
Первый из интегралов в правой части сходится в силу схо
-
димости второго интеграла и интеграла в средней части ра
-
венства
.
Дифференцируя полученное тождество
,
имеем
Z
b
a
f
0
y
(
x, y
)
dx
=
d
dy
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx,
что и требовалось получить
.
Упражнение
6.
Доказать
,
что
I
=
Z
∞
0
sin
x
x
dx
=
π
2
.
(8)
§
26.3.
Несобственные интегралы
,
зависящие от параметра
183
У к а з а н и е
.
Вычислить предварительно вспомога
-
тельный интеграл
I
(
α
) =
Z
∞
0
e
−
αx
sin
x
x
dx,
α >
0
,
найдя его производную
d
dα
I
(
α
)
с помощью дифференцирования
под знаком интеграла
.
Воспользоваться затем упражнением
2.
Иногда для доказательства равномерной сходимости несоб
-
ственного интеграла бывает полезно применить интегрирова
-
ние по частям
,
«улучшающее» сходимость интеграла
.
Пример
2.
I
(
y
) =
Z
∞
1
1
x
cos
yx dx,
Y
= (
y
0
,
+
∞
)
,
y
0
>
0
.
Этот интеграл сходится
,
но не абсолютно
(
ср
.
с примером
14.7.3).
После интегрирования по частям возникает интеграл
R
∞
1
1
x
2
sin
yx
y
dx
,
сходящийся абсолютно и по признаку Вейер
-
штрасса
—
равномерно на
Y
.
Приведем точные рассуждения
.
В соответствии с опреде
-
лением
1
следует оценить
sup
y
>
y
0
Z
∞
η
1
x
cos
yx dx
=
= sup
y
>
y
0
1
x
·
sin
yx
y
∞
x
=
η
+
Z
∞
η
1
x
2
sin
yx
y
dx
6
6
sup
y
>
y
0
2
ηy
=
2
ηy
0
→
0
при
η
→
+
∞
.
Следовательно
,
I
(
y
)
сходится равномерно на
Y
.
Приведем два признака
(
признаки Дирихле и Абеля
)
рав
-
номерной сходимости интеграла
I
(
y
) =
Z
∞
a
f
(
x, y
)
g
(
x, y
)
dx,
y
∈
Y,
a
∈
R
,
(9)
где функции
f, g
: [
a,
+
∞
)
×
Y
→
R
,
f
и
∂g
∂y
непрерывны по
x
при
∀
y
∈
Y
,
функция
g
монотонна по
x
∀
y
∈
Y
.
184
Глава
26.
Интегралы
,
зависящие от параметра
Теорема
8 (
признак Дирихле
).
Пусть
1.
◦
интегралы
Z
η
a
f
(
x, y
)
dx
равномерно ограничены
,
т
.
е
.
существует число
M >
0
такое
,
что
Z
η
a
f
(
x, y
)
dx
6
M
∀
η
∈
[
a,
+
∞
)
,
∀
y
∈
Y,
2.
◦
g
(
x, y
)
⇒
Y
0
при
x
→
+
∞
.
Тогда интеграл
I
(
y
)
из
(9)
сходится равномерно на
Y
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Воспользуемся критерием Коши
равномерной сходимости несобственного интеграла
(
тео
-
рема
1).
Оценим для этого при
a < η
0
< η
00
<
∞
интеграл
α
(
η
0
, η
00
, y
)
B
Z
η
00
η
0
f
(
x, y
)
g
(
x, y
)
dy
=
=
g
(
x, y
)
Z
x
η
0
f
(
ξ, y
)
dξ
η
00
x
=
η
0
−
Z
η
00
η
0
Z
x
η
0
f
(
ξ, y
)
dξ
g
0
x
(
x, y
)
dx.
Тогда
|
α
(
η
0
, η
00
, y
)
|
6
|
g
(
η
00
, y
)
|
2
M
+ 2
M
Z
η
00
η
0
|
g
0
x
(
x, y
)
|
dx
=
= 2
M
"
|
g
(
η
00
, y
)
|
+
Z
η
00
η
0
g
0
x
(
x, y
)
dx
#
6
6
2
M
[2
|
g
(
η
00
, y
)
|
+
|
g
(
η
0
, y
)
|
]
.
Следовательно
,
для
∀
ε >
0
∃
η
ε
∈
[
a,
∞
)
такое
,
что
sup
y
∈
Y
|
α
(
η
0
, η
00
, y
)
|
< ε,
если
η
0
, η
00
> η
ε
,
и теорема доказана
.
Теорема
9 (
признак Абеля
).
Пусть
1.
◦
интеграл
Z
∞
a
f
(
x, y
)
dy
сходится равномерно на
Y
,
§
26.3.
Несобственные интегралы
,
зависящие от параметра
185
2.
◦
функция
g
равномерно ограничена
,
т
.
е
.
∃
M >
0
такое
,
что
|
g
(
x, y
)
|
6
M
при
x
∈
[
a,
∞
)
,
y
∈
Y.
Тогда интеграл
I
(
y
)
из
(9)
сходится равномерно на
Y
.
Д о к а з а т е л ь с т в о предлагается читателю провести
самостоятельно
,
оценив
(
как и при доказательстве признака
Дирихле
)
α
(
η
0
, η
00
, y
)
с использованием условий теоремы
.
Упражнение
7.
Установить равномерную сходимость ин
-
теграла из примера
2
с помощью признака Дирихле
.
Упражнение
8.
Доказать с помощью признака Абеля
утверждение из упражнения
2,
воспользовавшись приме
-
ром
14.7.3.
В этом параграфе до сих пор рассматривались несобствен
-
ные интегралы с особенностью на верхнем пределе
.
Анало
-
гично изучаются зависящие от параметра несобственные ин
-
тегралы с особенностью на нижнем пределе
(
см
.
определе
-
ние
14.7.3)
и зависящие от параметра несобственные инте
-
гралы с несколькими особенностями
(
см
.
определение
14.7.5).
В последнем случае интеграл с несколькими особенностями
I
(
y
) =
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx,
−∞
6
a < b
6
+
∞
,
y
∈
Y,
представляется в виде суммы интегралов
I
(
y
) =
k
X
i
=1
I
i
(
y
) =
k
X
i
=1
Z
c
i
c
i
−
1
f
(
x, y
)
dy,
−∞
6
a
=
c
0
< c
1
< . . . < c
k
=
b
6
+
∞
,
где каждый из интегралов
I
i
(
y
)
является несобственным с од
-
ной особенностью на верхнем либо на нижнем пределе
.
При
этом
интеграл
I
(
y
)
называется равномерно сходящимся на
Y
,
если каждый из интегралов
I
i
(
y
)
равномерно сходится на
Y
.
Пример
3.
(
Гамма
-
функция Эйлера
).
Γ(
s
) =
Z
+
∞
0
x
s
−
1
e
−
x
dx,
s >
0
.
(10)