ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1498
Скачиваний: 1
26
Глава
19.
Кратные интегралы
заключаем
,
что
S
τ
(
f
)
→
R
F
f
(
x
)
dx
+
R
G
f
(
x
)
dx
,
откуда и сле
-
дует утверждение
3
◦
.
Упражнение
1.
Показать
,
что требование ограниченно
-
сти функции
f
на
E
в формулировке свойства
3
◦
нельзя отбро
-
сить
.
4
◦
.
Пусть функция
f
интегрируема и ограничена на множе
-
стве
E
.
При изменении ее значений на подмножестве
E
0
⊂
E
меры нуль
(
с сохранением ограниченности
)
она остается инте
-
грируемой и величина интеграла не изменяется
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Z
E
f
(
x
)
dx
=
Z
E
\
E
0
f
(
x
)
dx
+
Z
E
0
f
(
x
)
dx
=
Z
E
\
E
0
f
(
x
)
dx.
Следовательно
,
R
E
f
(
x
)
dx
не зависит от значений
f
на
E
0
.
Следствие
1.
Пусть функция
f
определена и ограничена
на замыкании
E
измеримого множества
E
.
Тогда интегралы
Z
E
f
(
x
)
dx,
Z
E
f
(
x
)
dx,
Z
int
E
f
(
x
)
dx
существуют или не существуют одновременно и равны в слу
-
чае их существования
.
5
◦
. (
Линейность интеграла
).
Пусть функции
f
,
g
интегри
-
руемы на множестве
E
,
α
,
β
∈
R
.
Тогда существует интеграл
Z
E
[
αf
(
x
) +
βg
(
x
)]
dx
=
α
Z
E
f
(
x
)
dx
+
β
Z
E
g
(
x
)
dx.
6
◦
.
Пусть функции
f
,
g
интегрируемы и ограничены на
E
.
Тогда их произведение
f g
,
а если
inf
E
|
g
|
>
0,
то и частное
f
g
интегрируемы на
E
.
7
◦
.
Пусть функция
f
интегрируема на
E
.
Тогда и функция
|
f
|
—
интегрируема на
E
и при этом
Z
E
f
(
x
)
dx
6
Z
E
|
f
(
x
)
|
dx.
§
19.2.
Свойства кратного интеграла
27
8
◦
. (
Интегрирование неравенств
).
Если функции
f
,
g
ин
-
тегрируемы на
E
и
f
6
g
на
E
,
то
Z
E
f
(
x
)
dx
6
Z
E
g
(
x
)
dx.
9
◦
.
(
Полная
(
счетная
)
аддитивность интеграла по мно
-
жествам
).
Пусть функция
f
интегрируема и ограничена на
множестве
E
,
а
{
E
k
}
∞
1
—
последовательность измеримых мно
-
жеств
E
k
⊂
E
со свойством
lim
k
→∞
µE
k
=
µE.
Тогда
lim
k
→∞
R
E
k
f
(
x
)
dx
=
R
E
f
(
x
)
dx
.
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из оценки
Z
E
f
(
x
)
dx
−
Z
E
k
f
(
x
)
dx
=
Z
E
\
E
k
f
(
x
)
dx
6
sup
E
|
f
|
µ
(
E
\
E
k
)
.
10
◦
.
Пусть функция
f
интегрируема и неотрицательна на
открытом множестве
G
3
x
(0)
.
Пусть
f
непрерывна в точке
x
(0)
и
f
(
x
(0)
)
>
0.
Тогда
R
G
f
(
x
)
dx >
0.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
В силу непрерывности
f
в точке
x
(0)
существует окрестность
U
δ
(
x
(0)
)
⊂
G
такая
,
что
f
(
x
)
>
f
(
x
(0)
)
2
∀
x
∈
U
(
x
(0)
)
.
Следовательно
,
Z
G
f
(
x
)
dx
=
Z
G
\
U
(
x
(0)
)
f
(
x
)
dx
+
Z
U
(
x
(0)
)
f
(
x
)
dx
>
f
(
x
(0)
)
2
µU
δ
(
x
(0)
)
>
0
.
11
◦
. (
Теорема о среднем
).
Пусть функции
f
,
g
интегриру
-
емы и ограничены на множестве
E
.
Если функция
g
не меняет
знака на
E
и
m
6
f
6
M
на
E
,
то существует такое число
λ
,
что
Z
E
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
λ
Z
E
g
(
x
)
dx.
28
Глава
19.
Кратные интегралы
Если при этом
E
—
область или замкнутая область
,
а функция
f
непрерывна на
E
,
то
∃
c
∈
E
:
Z
E
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
f
(
c
)
Z
E
g
(
x
)
dx.
В частности
,
при
g
≡
1
Z
E
f
(
x
)
dx
=
f
(
c
)
µE.
Д о к а з а т е л ь с т в о основано на использовании свой
-
ства
8
◦
,
теоремы Коши
10.5.4
о промежуточных значениях и
следствия из нее
.
§
19.3.
Сведение кратного интеграла к повторному
Теорема
1.
Пусть функция
f
интегрируема по прямо
-
угольнику
P
= [
a, b
]
×
[
c, d
]
⊂
R
2
и интеграл
F
(
y
) =
R
b
a
f
(
x, y
)
dx
существует для каждого
y
∈
[
c, d
]
.
Тогда
F
интегрируема по отрезку
[
c, d
]
и справедливо ра
-
венство
Z Z
P
f
(
x, y
)
dx dy
=
Z
d
c
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx
dy.
(1)
Правая часть равенства
(1)
называется
повторным инте
-
гралом
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
a
=
x
0
< x
1
< . . . < x
k
=
b
,
c
=
y
0
< y
1
< . . . < y
m
=
d
,
τ
1
=
{
[
x
i
−
1
, x
i
]
}
k
1
,
τ
2
=
{
[
y
j
−
1
, y
j
]
}
m
1
—
разбиения отрезков соответственно
[
a, b
]
и
[
c, d
]
на отрезки
.
Тогда
τ
=
{
[
x
i
−
1
, x
i
]
×
[
y
j
−
1
, y
j
]
}
1
6
i
6
k
1
6
j
6
m
—
разбиение
P
на пря
-
моугольники
.
Введем обозначения
m
i
(
y
) =
inf
x
∈
[
x
i
−
1
,x
i
]
f
(
x, y
)
,
M
i
(
y
) =
sup
y
∈
[
y
j
−
1
,y
j
]
f
(
x, y
)
,
m
ij
=
inf
[
x
i
−
1
,x
i
]
×
[
y
j
−
1
,y
j
]
f,
M
ij
=
sup
[
x
i
−
1
,x
i
]
×
[
y
j
−
1
,y
j
]
f,
η
j
∈
[
y
j
−
1
, y
j
]
.
Тогда
k
X
i
=1
m
i
(
y
)∆
x
i
6
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx
=
F
(
y
)
6
k
X
i
=1
M
i
(
y
)∆
x
i
.
§
19.3.
Сведение кратного интеграла к повторному
29
Положив в последнем двустороннем неравенстве
y
=
η
j
,
домно
-
жив все его части на
∆
y
j
и просуммировав по
j
,
получаем
m
X
j
=1
k
X
i
=1
m
ij
∆
x
i
∆
y
j
6
m
X
j
=1
F
(
η
j
)∆
y
j
6
m
X
j
=1
k
X
i
=1
M
ij
∆
x
i
∆
y
j
.
(2)
Левая и правая части неравенства
(2)
представляют собой со
-
ответственно нижнюю и верхнюю интегральные суммы Дарбу
функции
f
(
т
.
е
.
S
τ
(
f
)
и
S
τ
(
f
)).
При
|
τ
| →
0
каждая из них
стремится к
RR
P
f
(
x, y
)
dx dy
(
см
.
следствие из теоремы
19.1.3).
Следовательно
,
средняя часть неравенства
(2),
представляю
-
щая собой интегральную сумму Римана
S
τ
2
(
F
),
имеет пре
-
дел при
|
τ
2
| →
0,
являющийся по определению интегралом
R
d
c
F
(
y
)
dy
=
R
d
c
R
b
a
f
(
x, y
)
dx
dy
.
Предельным переходом в
неравенстве
(2)
получаем
(1).
З а м е ч а н и е
.
Простой заменой обозначения пере
-
менных в теореме
1
получаем следующее утверждение
.
Теорема
1
0
.
Пусть функция
f
интегрируема по прямо
-
угольнику
P
= [
a, b
]
×
[
c, d
]
⊂
R
2
и интеграл
F
(
x
) =
R
d
c
f
(
x, y
)
dy
существует для каждого
x
∈
[
a, b
]
.
Тогда
F
интегрируема по отрезку
[
a, b
]
и справедливо ра
-
венство
Z Z
P
f
(
x, y
)
dx dy
=
Z
b
a
Z
d
c
f
(
x, y
)
dy
dx.
(3)
Если выполнены условия как теоремы
1,
так и теоремы
1
0
,
то
Z Z
P
f
(
x, y
)
dx dy
=
Z
d
c
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx dy
=
Z
b
a
Z
d
c
f
(
x, y
)
dy dx.
Последняя формула справедлива
,
в частности
,
если функция
f
непрерывна на
P
.
Распространим результаты теорем
1, 1
0
,
полученные для
прямоугольника
P
на области
,
которые назовем элементар
-
ными
.
Определение
1.
Множество
Ω =
{
(
x, y
) :
a
6
x
6
b,
ϕ
(
x
)
6
y
6
ψ
(
x
)
} ⊂
R
2
,
(4)
30
Глава
19.
Кратные интегралы
где функции
ϕ
,
ψ
непрерывны на
[
a, b
]
и
ϕ
6
ψ
на
[
a, b
],
назовем
элементарной относительно оси
Oy
областью
.
Заметим
,
что
Ω —
измеримое замкнутое множество
.
x
y
0
a
b
c
d
Ω
Рис
. 19.1
Теорема
2.
Пусть
Ω
—
элементарная отно
-
сительно оси
Oy
область
,
функция
f
интегрируема
на
Ω
и при каждом
x
∈
∈
[
a, b
]
существует инте
-
грал
R
ψ
(
x
)
ϕ
(
x
)
f
(
x, y
)
dy
.
Тогда
Z Z
Ω
f
(
x, y
)
dx dy
=
Z
b
a
Z
ψ
(
x
)
ϕ
(
x
)
f
(
x, y
)
dy dx.
(5)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Положим
c
= min
[
a,b
]
ϕ,
d
= max
[
a,b
]
ψ.
Тогда
Ω
⊂
P
= [
a, b
]
×
[
c, d
].
Введем функцию
˜
f
:
P
→
R
˜
f
(
x, y
) =
(
f
(
x, y
)
при
(
x, y
)
∈
Ω,
0
при
(
x, y
)
∈
P
\
Ω.
Так как функция
f
интегрируема и ограничена на
Ω,
то функ
-
ция
˜
f
,
интегрируемая на
Ω
и на
P
\
Ω,
интегрируема на
P
.
Аналогично обосновывается существование для каждого
x
∈
[
a, b
]
интеграла
R
d
c
˜
f
(
x, y
)
dy
=
R
ψ
(
x
)
ϕ
(
x
)
f
(
x, y
)
dy
.
По теореме
1
0
Z
P
˜
f
(
x, y
)
dx dy
=
Z
b
a
Z
d
c
˜
f
(
x, y
)
dy dx.
Подставляя в это равенство выражение
˜
f
через
f
,
полу
-
чаем
(5).