Файл: Практикум по механике и молекулярной физике.pdf

26

Используя

соотношение

 (13), 

можно

, 

зная

l

пр

, 

массу

маятника

(

m = 

2,6 

кг

), 

определить

момент

инерции

маятника

J

и

величину

а

, 

т

. 

е

. 

по

-

ложение

центра

тяжести

мятника

 (

см

. 

рис

. 4). 

РАБОТА

№

 2–2 

ПРОВЕРКА

ЗАКОНОВ

КОЛЕБАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МАЯТНИКА

И

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

УСКОРЕНИЯ

СВОБОДНОГО

ПАДЕНИЯ

Приборы

и

принадлежности

: 

математический

маятник

, 

секундомер

, 

штангенциркуль

. 

Описание

установки

В

качестве

математического

маятника

в

работе

используется

тяже

-

лый

металлический

шарик

 1, 

подвешенный

на

длинной

тонкой

нити

 (

рис

. 6). 

Длина

нити

может

меняться

путем

перемещения

крепящего

крон

-

штейна

 2 

вдоль

нити

и

измеряется

по

шкале

 3, 

амплитуда

колебаний

маят

-

ника

измеряется

по

шкале

 4. 

При

выполнении

данной

работы

необходимо

определение

длины

ма

-

тематического

маятника

и

его

периода

колебаний

. 

Длина

математического

маятника

ℓ

находится

как

сумма

длины

нити

ℓ

1

от

положения

кронштейна

до

шарика

 (

измерения

проводятся

по

милли

-

метровой

шкале

) 

и

радиуса

шарика

 r = d/

ℓ

  (

измерения

прово

-

дятся

с

помощью

штангенциркуля

). 

Таким

образом

, 

длина

математического

маятника

будет

равна

:  

ℓ

=

ℓ

1

+d/2

      (1) 

Период

колебаний

определяется

секундомером

и

его

время

рассчитывается

из

 20-30 

полных

колебаний

маятника

по

формуле

 T = t/n  (2), 

где

t

 – 

время

n

полных

колебаний

Целью

работы

является

изучение

зависимости

периода

колебаний

математического

маятника

от

длины

и

амплитуды

колебаний

. 

Как

следует

из

теории

математического

маятника

, 

период

его

колебаний

определяется

по

формуле

g

A

π

2

=

Τ

.                        

(3)

Тогда

, 

очевидно

, 

для

разных

длин

маятника

A

1

и

A

2

будет

справедливо

соотношение

:                                    

2

1

2

1

A

A

=

Τ

Τ

.                        (4) 

Для

проверки

этого

соотношения

кронштейном

 2 

установите

длину

маятника

 140–150 

см

и

определите

его

период

колебаний

. 

Затем

, 

передви

-

гая

кронштейн

, 

уменьшите

длину

маятника

вдвое

и

опять

определите

пе

-

риод

колебаний

. 

Измерения

проводятся

не

менее

трех

раз

и

данные

зано

-

сятся

в

таблицу

. 

Рис

. 6 

4 

1 

2 

3 

27

1

A

=… 

2

A

=… 

№

п

/

п

n t

1

, c  T

1

, c 

Δ

T

1

, 

c 

n t

2

, c  T

2

, c

Δ

T

2

, c 

2

1

Τ

Τ

2

1

A

A

1              
2              
3              

Не

за

-

пол

-

няется

Не

за

-

пол

-

няется

Ср

.      

Сделайте

вывод

о

характере

зависимости

периода

колебаний

мате

-

матического

маятника

от

его

длины

. 

Для

проверки

зависимости

периода

колебаний

от

амплитуды

коле

-

баний

установите

фиксированную

длину

маятника

, 

отклоните

шарик

при

-

мерно

на

 5 

см

и

определите

период

его

колебаний

. 

Удвойте

амплитуду

ко

-

лебаний

и

снова

определите

период

колебаний

. 

Для

каждой

амплитуды

А

период

колебаний

Т

рекомендуется

определять

не

менее

трех

раз

, 

а

затем

вычислить

среднее

значение

. 

Максимальное

значение

амплитуды

не

долж

-

но

превышать

 20–25 

см

. 

Составьте

таблицу

, 

аналогичную

предыдущей

, 

все

данные

занесите

в

эту

таблицу

и

на

основании

полученных

результатов

сделайте

вывод

о

характере

зависимости

периода

колебаний

математиче

-

ского

маятника

от

амплитуды

его

колебаний

.  

При

определении

ускорения

свободного

падения

необходимо

учиты

-

вать

следующее

. 

Так

как

длиной

математического

маятника

является

рас

-

стояние

от

точки

подвеса

до

его

центра

тяжести

, 

а

центр

тяжести

лабора

-

торного

математического

маятника

не

совпадает

точно

с

геометрическим

центром

шарика

, 

то

непосредственное

точное

измерение

длины

не

пред

-

ставляется

возможным

. 

Поэтому

при

определении

ускорения

свободного

падения

наблюдают

колебания

маятника

для

разных

длин

ℓ

1

и

ℓ

2

, 

опреде

-

ляя

Т

1

и

Т

2

 , 

и

находят

g

по

формуле

, 

полученной

из

 (3): 

2

2

2

2

1

2

1

4

(

) (

).

g

T

T

π

=

−

−

A

A

                                        (5) 

Расстояния

ℓ

1 

и

ℓ

2

и

соответствующие

им

значения

Т

1

и

Т

2

можно

взять

из

проделанных

выше

опытов

. 

С

целью

оценки

погрешности

вычисления

ускорения

свободного

па

-

дения

выведите

формулу

для

расчета

абсолютной

и

относительной

ошибок

измерения

и

определите

их

  (

A

Δ

 = 2 

мм

, 

а

ΔΤ

берется

из

эксперимента

). 

Контрольные

вопросы

1. 

Какой

колебательный

процесс

называется

гармоническим

и

како

-

во

его

аналитическое

и

графическое

представление

? 

2.

Перечислите

характеристики

гармонического

колебания

, 

опреде

-

лите

их

физический

смысл

. 

3.

По

какому

закону

изменяются

при

гармонических

колебаниях

смещение

, 

скорость

и

ускорение

? 

4.

От

каких

величин

зависит

ускорение

свободного

падения

? 

28

3. 

ЗАТУХАЮЩИЕ

КОЛЕБАНИЯ

Простейшим

видом

колебательного

движения

является

гармониче

-

ское

, 

которое

совершается

по

закону

синуса

или

косинуса

. 

Оно

возникает

в

том

случае

, 

если

на

тело

, 

выведенное

из

положения

равновесия

, 

непре

-

рывно

действует

сила

, 

направленная

всегда

к

положению

равновесия

, 

а

по

величине

пропорциональная

смещению

этого

тела

от

положения

равнове

-

сия

. 

Колебательные

движения

системы

имеют

особенно

простой

харак

-

тер

в

случае

малых

колебаний

, 

когда

мало

смещение

системы

от

положе

-

ния

равновесия

. 

Примером

простейших

колебательных

систем

может

слу

-

жить

небольшое

тело

 (

шарик

), 

подвешенное

на

пру

-

жине

или

нити

 (

математический

маятник

). 

Если

колебательное

движение

происходит

в

какой

-

либо

внешней

среде

, 

то

эта

среда

оказывает

сопротивление

движению

, 

стремясь

замедлить

его

. 

Такой

процесс

движения

можно

описать

, 

если

вве

-

сти

дополнительную

силу

, 

появляющуюся

в

резуль

-

тате

самого

движения

и

направленную

противопо

-

ложно

ему

. 

Такой

силой

является

сила

трения

. 

Рассмотрим

такое

колебательное

движение

шарика

, 

подвешенного

на

упругой

пружине

 (

рис

. 1). 

После

отклонения

шарика

от

положения

равновесия

он

будет

совер

-

шать

гармонические

колебания

. 

Если

деформация

пружины

невелика

, 

то

можно

считать

справедливым

закон

Гука

и

записать

выражение

для

воз

-

вращающей

в

равновесие

шарик

силы

F

в

виде

:                    

kx

F

−

=

,         (1) 

где

k – 

коэффициент

пропорциональности

, 

зависящий

от

упругих

свойств

пружины

, 

x

 – 

смещение

относительного

положения

равновесия

. 

Знак

ми

-

нус

показывает

, 

что

сила

направлена

к

положению

равновесия

, 

т

. 

е

. 

имеет

знак

, 

обратный

знаку

x

. 

Под

влиянием

этой

силы

предоставленный

самому

себе

шарик

начнет

двигаться

, 

приобретая

скорость

dt

dx

V

=

.

При

его

движе

-

нии

возникает

сила

трения

F

тр

, 

направленная

противоположно

скорости

. 

В

первом

приближении

ее

можно

считать

пропорциональной

скорости

ша

-

рика

:                                                

dt

dx

r

F

тр

−

=

,                                               (2)  

где

r

 –  

коэффициент

пропорциональности

, 

называемый

коэффициентом

сопротивления

 (

коэффициент

трения

). 

Если

масса

шарика

невелика

  (

это

дает

возможность

пренебречь

си

-

лой

тяжести

по

сравнению

с

возникающими

упругими

силами

), 

то

второй

закон

Ньютона

будет

иметь

вид

:                      

dt

d

х

r

kx

dt

x

d

m

−

−

=

2

2

.                (3) 

0 

Рис

. 1 

-

x 

 +x 

29

После

преобразований

2

2

0.

d x

r dx

k

x

dt

m dt

m

+

+

=

Или

2

2
0

2

2

ω

0.

d x

dx

x

dt

dt

δ

+

+

=

(4) 

Здесь

m

k

=

2

0

ω

 – 

квадрат

собственной

частоты

колебаний

шарика

, 

т

. 

е

. 

коле

-

баний

при

отсутствии

сил

трения

и

других

внешних

сил

; 

m

r

=

δ

2

, 

где

δ

называется

коэффициентом

затухания

. 

Уравнение

 (4) 

есть

дифференциальное

уравнение

затухающих

коле

-

баний

, 

и

решение

которого

имеет

вид

t

e

A

x

t

ω

cos

0

δ

−

⋅

=

.                 (5) 

Здесь

А

0

 – 

амплитуда

колебаний

в

начальный

момент

времени

; 

2

2

0

ω

ω

δ

−

=

 – 

циклическая

частота

затухающих

колебаний

, 

е

 – 

основа

-

ние

натурального

логарифма

 (

е

= 2,71). 

А

период

колебаний

Т

будет

2

2

2

0

2

2

ω

2

ω

2

π

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

=

m

r

m

k

T

π

δ

π

                           (6) 

В

формулу

 (5) 

входят

два

множителя

, 

зависящие

от

времени

. 

Один

 cos

t

 – 

периодическая

функция

времени

, 

другой

е

-

t

убывает

с

течением

времени

. 

Тогда

, 

если

коэффициент

сопротивления

мал

, 

то

величину

А

 = 

А

0

е

– t

мож

-

но

рассматривать

как

амплитуду

, 

которая

с

течением

времени

уменьшает

-

ся

по

экспоненциальному

закону

, 

окончательно

решение

уравнения

зату

-

хающих

колебаний

можно

записать

в

общем

виде

:     

cos

ω

x

A

t

= ⋅

.         (7) 

Затухающие

колебания

представляют

собой

непериодические

коле

-

бания

, 

так

как

в

них

никогда

не

повторяются

, 

например

, 

максимальные

значения

смещения

, 

скорости

и

ускорения

. 

Поэтому

величины

и

Т

называть

частотой

и

перио

-

дом

можно

только

условно

. 

Графически

затухающие

колебания

представлены

на

рис

. 

2. 

Из

формулы

t

0

δ

−

⋅

=

e

A

A

, 

выражающей

закон

убывания

амплитуды

колебаний

, 

можно

показать

, 

что

отношение

амплитуд

, 

отделенных

друг

относительно

друга

интервалом

в

один

период

Т

, 

остается

постоянным

в

течение

всего

процес

-

са

затухания

. 

Итак

, 

возьмем

отношение

двух

амплитуд

А

n 

и

A

n+1

 (

см

. 

рис

. 2) 

T

0

(t T)

T

1

0

1

.

t

n

n

A

A

e

D

e

A

A

e

e

δ

δ

δ

δ

−

−

+

−

+

⋅

=

=

=

=

⋅

                    (8) 

Т

A

n 

A

n+1 

x

t

e

A

δ

−

⋅

0

Рис

. 2 

t

30

Величина

D 

называется

декрементом

затухания

. 

Чем

больше

дек

-

ремент

затухания

, 

тем

скорее

уменьшается

амплитуда

. 

Чаще

затухающие

колебания

характеризуются

логарифмическим

декрементом

затухания

: 

T

e

ln 

A

A

ln

D

ln 

θ

T

1

n

n

δ

δ

=

=

=

=

+

, 

или

    =   

Т

.                          (9) 

Таким

образом

, 

для

характеристики

затухающих

колебаний

вводятся

две

величины

: 

коэффициент

затухания

и

логарифмический

декремент

за

-

тухания

  . 

Поясним

их

физический

смысл

. 

Обозначим

через

промежуток

времени

, 

за

который

амплитуда

ко

-

лебаний

уменьшится

в

е

раз

. 

Тогда

τ

0

,

A

e

e

A

δ

τ

= =

откуда

   = 1 

или

τ

1

=

δ

. 

Следовательно

, 

коэффициент

затухания

есть

физическая

величина

обратная

промежутку

времени

  , 

в

течение

которого

амплитуда

убывает

в

е

раз

. 

Величина

называется

временем

релаксации

. 

Если

, 

например

,   = 10

2

с

, 

то

это

значит

, 

что

амплитуда

колебаний

убывает

в

е

раз

за

время

 10

2

с

. 

Пусть

n – 

число

колебаний

, 

после

которых

амплитуда

уменьшается

в

е

раз

. 

Тогда

   = 

nT 

и

   = 

Т

 = 1/  = 1/n

. 

Следовательно

, 

логарифмический

декремент

затухания

есть

физи

-

ческая

величина

, 

обратная

числу

колебаний

n

, 

по

истечении

которого

ам

-

плитуда

убывает

в

е

раз

. 

Если

, 

например

,   = 0,01, 

то

это

значит

, 

что

амплитуда

колебаний

убывает

в

е

раз

по

истечении

 100 

колебаний

.  

РАБОТА

№

 3–1 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО

ДЕКРЕМЕНТА

ЗАТУХАНИЯ

И

КОЭФФИЦИЕНТА

ЗАТУХАНИЯ

КРУТИЛЬНЫХ

КОЛЕБАНИЙ

Приборы

и

принадлежности

: 

прибор

для

наблюдения

упругих

 (

кру

-

тильных

) 

колебаний

, 

секундомер

. 

Описание

прибора

Прибор

для

наблюдения

затухающих

коле

-

баний

 (

рис

. 3) 

состоит

из

металлической

проволо

-

ки

 1, 

верхний

конец

которой

закреплен

. 

На

ее

ниж

-

нем

конце

подвешен

груз

 2, 

центр

тяжести

которо

-

го

расположен

на

продолжении

оси

проволоки

; 

выше

груза

на

его

оси

вращения

закреплено

зер

-

кальце

 3. 

Если

груз

повернуть

на

некоторый

угол

около

вертикальной

оси

, 

то

проволока

закручива

-

ется

и

в

ней

появляются

упругие

силы

. 

Вследствие

этого

система

, 

предоставленная

сама

себе

, 

начина

-

9 

1 

2 

3 

4  5 

6 

7 

8 

Рис

. 3