ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 698
Скачиваний: 5
081.png)
4.1.3
Пространственная задача теплопроводности
Будем рассматривать неравномерно нагретое тело, температура
которого в каждой точке
(
x, y, z
)
в момент времени
t
определя-
ется функцией
u
(
x, y, z, t
)
. В любой момент времени
t
функция
u
определяет скалярное поле – поле температуры, которое, очевид-
но, является нестационарным. В фиксированный момент времени
t
совокупность точек, в которых
u
(
x, y, z, t
) =
const
образует изотермическую поверхность. Форма и расположение изо-
термических поверхностей будет со временем меняться.
Направление наибольшей скорости изменения температуры
u
совпадает с направлением градиента функции
u
(
x, y, z, t
)
при фик-
сированном значении
t
:
grad u =
∂u
∂x
i
+
∂u
∂y
j
+
∂u
∂z
k
81
082.png)
Во всех точках изотермической поверхности градиент направлен
по нормали к этой поверхности в сторону увеличения значений
u
и модуль градиента равен производной по этому направлению
|
grad u
|
=
∂u
∂n
.
Величина теплового потока через малый участок
∆
σ
изотерми-
ческой поверхности за время
∆
t
равна
∆
Q
=
−
k
∂u
∂n
∆
σ
∆
t
Здесь
k
– коэффициент теплопроводности.
Последняя формула справедлива для любых поверхностей. Про-
изводная по любому направлению, заданному единичным векто-
ром нормали к произвольной поверхности
n
может быть записана
как
∂u
∂n
= grad u
·
n
82
083.png)
Тогда поток тепла через участок
∆
σ
любой поверхности за вре-
мя
∆
t
будет равен
∆
Q
=
−
k
(grad u
·
n
)∆
σ
∆
t
Если ввести вектор теплового потока
A
=
−
k
grad u
то
∆
Q
=
A
n
∆
σ
∆
t
Если рассмотреть поток через замкнутую поверхность, то
Q
= ∆
t
I
S
A
n
dσ
Применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем
I
S
A
n
dσ
=
Z
V
div
Adv
83
084.png)
где
V
– часть тела, ограниченная поверхностью
S
.
div
A
=
−
k
div grad
u
=
−
k
∆
u
где
∆ =
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
– оператор Лапласа.
Тогда
Q
= ∆
t
I
S
A
n
dσ
= ∆
t
Z
V
div
Adv
=
−
∆
t
Z
V
k
∆
u dv
и количество тепла
Q
1
, приобретенное выделенной частью тела
за счет прохождения теплового потока, равно
Q
1
=
−
Q
= ∆
t
Z
V
k
∆
u dv
Если в теле имеются тепловые источники, плотность которых
F
(
x, y, z, t
)
, то в выделенной части тела за время
∆
t
выделится
84
085.png)
тепло
Q
2
= ∆
t
Z
V
F
(
x, y, z, t
)
dv
Таким образом, количество тепла, сообщенное выделенному объ-
ему,
Q
3
=
Q
1
+
Q
2
но оно может быть записано как
Q
3
=
Z
V
cρdv
∆
u
=
Z
V
cρdv
∂u
∂t
∆
t
= ∆
t
Z
V
cρ
∂u
∂t
dv
В результате
Z
V
cρ
∂u
∂t
dv
=
Z
V
k
∆
u dv
+
Z
V
F
(
x, y, z, t
)
dv
(169)
или
Z
V
cρ
∂u
∂t
−
k
∆
u
−
F
(
x, y, z, t
)
dv
= 0
(170)
85