ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 701
Скачиваний: 5
026.png)
Для однородной мембраны
a
2
(
u
xx
+
u
yy
) +
f
(
x, y, t
) =
u
tt
(52)
где
a
=
s
T
0
ρ
f
(
x, y, t
) =
F
(
x, y, t
)
ρ
3.2
Граничные и начальные условия
Постановка реальной физической задачи должна быть такова,
чтобы ее решение было однозначным. Дифференциальные урав-
нения с частными производными (и с обыкновенными тоже!) име-
ют бесчисленное множество решений. Поэтому если физическая
задача сводится к решению уравнения с частными производными
необходимо сформулировать некоторые дополнительные условия.
26
027.png)
В случае простейшей задачи о поперечных колебаниях стру-
ны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные
и краевые (граничные).
Начальные условия показывают в каком состоянии находилась
струна в момент начала колебаний, например при
t
= 0
. Началь-
ное положение точек струны задается условием
u
|
t
=0
=
f
(
x
)
(53)
начальная скорость
u
t
|
t
=0
=
F
(
x
)
(54)
где
f
(
x
)
и
F
(
x
)
– заданные функции.
Краевые условия показывают, что происходит на концах струны
во время колебаний. Если концы струны закреплены, то
u
|
x
=0
= 0
,
u
|
x
=
l
= 0
(55)
Из физических соображений очевидно, что задание начальных
и граничных условий полностью определяет процесс и описываю-
щее его единственное решение.
27
028.png)
Если нас интересует явление в течение малого промежутка вре-
мени, когда влияние границ еще несущественно, то полную зада-
чу можно заменить предельной задачей с начальными условиями
для неограниченной области:
найти решение уравнения
u
tt
=
a
2
u
xx
+
f
(
x, t
)
,
−∞
< x <
∞
,
t >
0
с начальными условиями
u
|
t
=0
=
f
(
x
)
u
t
|
t
=0
=
F
(
x
)
Эта задача называется задачей Коши.
28
029.png)
3.3
Метод распространяющихся волн
Рассмотрим задачу с начальными условиями для неограниченной
струны:
u
tt
−
a
2
u
xx
= 0
,
(56)
u
(
x,
0) =
ϕ
(
x
)
,
(57)
u
t
(
x,
0) =
ψ
(
x
)
.
Преобразуем наше уравнение к каноническому виду. Запишем ха-
рактеристическое уравнение
dx
2
−
a
2
dt
2
= 0
Характеристическое уравнение распадается на два
dx
−
adt
= 0
dx
+
adt
= 0
Интегралы
x
−
at
=
C
1
x
+
at
=
C
2
29
030.png)
Сделаем замену переменных по общим правилам
ξ
=
x
+
at,
η
=
x
−
at
u
t
(
ξ
(
x, t
)
, η
(
x, t
)) =
u
ξ
ξ
t
+
u
η
η
t
=
u
ξ
a
−
u
η
a
u
tt
=
u
ξξ
a
2
−
u
ξη
a
2
+
u
ηη
a
2
−
u
ηξ
a
2
u
x
=
u
ξ
+
u
η
u
xx
=
u
ξξ
+
u
ηη
+ 2
u
ξη
Подставляем
u
ξξ
a
2
−
u
ξη
a
2
+
u
ηη
a
2
−
u
ηξ
a
2
−
a
2
u
ξξ
−
a
2
u
ηη
−
2
a
2
u
ξη
= 0
u
ξη
= 0
Общее решение полученного уравнения мы уже находили (см.
(9),(13)):
u
(
ξ, η
) =
f
1
(
ξ
) +
f
2
(
η
)
(58)
или
u
(
x, t
) =
f
1
(
x
+
at
) +
f
2
(
x
−
at
)
(59)
30