ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1751
Скачиваний: 15
11.4. Модель САРМ
153
измеряется величиной бета. Она представляет собой прямую линию, проходя-
щую через две точки, координаты которых равны
[
r
f
,
0]
и
[
E
(
r
m
)
,
1]
. Эти две
точки, которые определяют положение прямой
SML
, представляют собой при-
емлемые ожидаемые доходности ценных бумаг и портфелей с различными зна-
чениями «беты».
SML
должна проходить через точку, характеризующую ры-
ночный портфель (
M
). Таким образом, зная ставку без риска и ожидаемую
доходность рыночного портфеля, можно построить
SML
. В состоянии равнове-
сия рынка ожидаемая доходность каждого актива и портфеля, независимо от
того, эффективный он или нет, должна располагаться на
SML
.
Не менее важным итогом САРМ является рыночная линия (Capital Market
Line,
CML
), см. рис. 11.4. В сущности она является линейным эффективным
множеством в модели САРМ. Уравнение
CML
имеет вид:
E
(
r
i
) =
r
f
+
E
(
r
m
)
−
r
f
D
(
r
m
)
C
(
r
i
, r
m
)
.
(11.100)
Эта прямая отображает равновесную зависимость между ожидаемыми до-
ходностями и стандартными отклонениями эффективных портфелей. В соот-
ветствии с САРМ, различные инвесторы выбирают различные портфели из од-
ного и того же эффективного множества. Несмотря на выбор различных порт-
фелей, каждый инвестор выберет одну и ту же комбинацию рискованных бумаг.
Следовательно, все инвесторы размещают средства в рискованные бумаги в со-
ответствии с некоторой инвариантной относительной пропорцией, увеличивая
безрисковое заимствование или кредитование с целью достижения предпочти-
тельной для него комбинации риска и дохода. Иначе говоря, оптимальная ком-
бинация рискованных активов может быть определена и без построения кривых
безразличия инвесторов. Это свойство модели САРМ нередко называют
тео-
ремой разделения
.
Основным практическим следствием модели CAPM в версии Шарпа-Линтнера
является идентичная структура инвестиций всех рациональных участников рын-
ка, включающая безрисковый актив и рыночный портфель.
В начале 1970-х гг. Ф. Блэк [25] предложил новую версию CAPM, носящую
теперь название модели Блэка или модели с активом с нулевым бета. Внешне
суть заключается в том, что предположение о существовании безрискового ак-
тива исключается из модели. Это приводит к неоднозначности выбора эффек-
154
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
Рис. 11.4. Рыночная линия
тивного «образцового» портфеля (benchmark portfolio), играющего теперь роль
заменителя рыночного портфеля в классической CAPM, по отношению к кото-
рому и строится актив с нулевым бета.
Модель Блека – не просто исследование Блека как практика в ответ на
существование рынков, на которых отсутствует безрисковый актив. Отметим,
что, по мнению [8], этот факт всегда был очевидным по отношению к российско-
му рынку, а дефолт 1998 г. лишь формально его зафиксировал. Однако модель
Блека является ответом Блека как теоретика на очевидные недостатки класси-
ческой CAPM. Все дело в том, что на рынке обязательно присутствуют активы
с различной ликвидностью и различными сроками погашения. Основная зада-
ча банков и многих других финансовых учреждений состоит в преобразова-
нии краткосрочных пассивов (вложений) в долгосрочные активы (инвестиции
в реальный сектор). Долгосрочные активы в развитой банковской системе име-
ют ценность и ликвидность, но «приравнивание» их к спекулятивным активам
некорректно. Таким образом, в статическую модель неявно вносится динами-
ческий аспект. Конкретная реализация ликвидности может происходить через
РЕПО-рынок, рынок межбанковского кредита, валютные и процентные свопы.
Все эти инструменты не учитываются CAPM, хотя их роль для поддержания
ликвидности видимого спекулятивного рынка весьма велика. С точки зрения
классической CAPM важность этих инструментов означала бы ошибку в моде-
ли – неэффективность рыночного индекса. Модель Блэка позволяет включать
эти инструменты в качестве ненаблюдаемой компоненты финансового рынка,
11.4. Модель САРМ
155
регистрируемой только после идентификации эконометрической модели. Имен-
но такой подход развивался в серии работ [36, 37, 49, 50].
В соответствии с [8], основной вывод из модели Блека, как и в «класси-
ческой» версии, заключается в том, что ожидаемая доходность любого актива
E
(
r
i
)
пропорциональна риску этого актива, мерой которой является ковари-
ация
C
(
r
i
, r
m
)
доходностей
i
-го актива и любого из эффективных портфелей
CML
. Кардинальное отличие выводов модели Блэка состоит в том, что ожида-
емая доходность произвольного актива может быть описана ожидаемой доход-
ностью любого эффективного портфеля и доходностью некоторого гипотетиче-
ского портфеля с нулевым бета и доходностью
r
z
. Элементы множества таких
портфелей являются ортогональными к элементам множества
CML
.
Таким образом, портфель с нулевым бета представляет комбинацию рис-
кованных активов, доходность которой имеет нулевую ковариацию с данным
эффективным портфелем и наименьший уровень риска. Основное уравнение
модели Блека имеет вид:
E
(
r
i
) =
E
(
r
z
) +
β
i
[
E
(
r
m
)
−
E
(
r
z
)]
.
(11.101)
В [8] подчеркивается еще несколько важных отличий модели Блэка от
«классической» CAPM. Прежде всего, под доходностью активов понимается
реальная, а не номинальная доходность. Ожидаемая доходность любого актива
определяется линейной комбинацией ожидаемых доходностей двух ненаблюда-
емых портфелей, что делает модель двухфакторной. В модели Блэка не пред-
полагается, что все инвесторы формируют одинаковые по структуре портфели.
Они могут формировать портфели в соответствии со своими предпочтения-
ми, используя разные активы с нулевым бета. В связи с отсутствием безриско-
вой ставки формирование индивидуального инвестиционного портфеля требует
либо возможности коротких продаж, либо наличия активов с отрицательным
бета–коэффициентом.
Эти отличия делают модель Блэка более реалистичной и гибкой, нежели
модель Шарпа-Линтнера, но и значительно более сложной для эконометриче-
ской проверки и применения. Кратко остановимся на чисто экономических раз-
личиях этих двух вариантов. Модель Шарпа-Линтнера оперирует рыночным
портфелем рискованных активов и безрисковым активом в рамках статики и
предполагает абсолютную ликвидность во всех секторах рынка и одинаковый
156
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
горизонт планирования для всех инвесторов. Экономика модели Блэка суще-
ственно отличается, несмотря на схожесть уравнений. Она позволяет включить
в рассмотрение не только фондовые активы, но и активы, посредством которых
в банковской системе происходит трансформация краткосрочных спекулятив-
ных инвестиций в долгосрочные активы. Важность этих инструментов озна-
чала бы с точки зрения модели Шарпа-Линтнера неэффективность рыночно-
го индекса как аппроксимации рыночного портфеля. Модель Блэка позволяет
включить эти инструменты в качестве ненаблюдаемой компоненты фондового
рынка, регистрируемой в результате идентификации эконометрической модели.
11.5. Модель портфеля У. Шарпа
Правила построения границы эффективных портфелей, сформулирован-
ные Г. Марковицем, позволяют находить оптимальный с точки зрения инвесто-
ра портфель из любого количества ценных бумаг. Однако основной сложностью
выполнения этих правил является большой объем вычислений, необходимый
для определения веса каждой ценной бумаги. В 1963 г. У. Шарп предложил но-
вый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий значи-
тельно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод
был модифицирован и в настоящее время известен как одноиндексная модель
Шарпа. На формальном уровне с помощью одноиндексной модели [51] устанав-
ливается взаимосвязь между доходностью активов, включаемых в портфель, и
доходностью рыночного индекса
r
ti
=
α
i
+
β
i
r
tI
+
ε
ti
,
i
= 1
, n
(11.102)
где
r
ti
– доходность
i
-го актива в момент времени
t
;
r
tI
– доходность рыночного
индекса в момент времени
t
;
α
i
, β
i
– оцениваемые параметры регрессионной
модели;
ε
ti
– ненаблюдаемая случайная величина.
Через параметры линейного уравнения регрессии (11.102) выражаются все
величины, используемые при построении модели, с помощью которой форми-
руется оптимальная структура портфеля. Расчетные формулы выглядят сле-
дующим образом:
¯
r
i
=
α
i
+
β
i
¯
r
I
,
(11.103)
11.5. Модель портфеля У. Шарпа
157
D
(
r
i
) =
σ
2
i
=
β
2
i
σ
2
I
+
σ
2
ε i
,
(11.104)
C
(
r
i
, r
j
) =
σ
i,j
=
β
i
β
j
σ
2
I
,
(11.105)
где
¯
r
i
,
¯
r
I
– математические ожидания доходностей
i
-го актива и рыночного ин-
декса;
σ
2
i
, σ
2
I
– дисперсии доходностей
i
-го актива и рыночного индекса;
σ
i,j
–
ковариация доходностей
i
-го и
j
-го активов.
Формулы получены благодаря свойствам случайных величин
ε
ti
, наличие
которых, в силу того, что сами случайные величины не наблюдаемы, посту-
лируется. Естественность всех предположений относительно
ε
ti
не вызывает
сомнений. Чтобы записать формальную постановку модели У. Шарпа, опреде-
лим выражение для доходности портфеля и выражение для дисперсии портфе-
ля. Как установлено, ожидаемая доходность портфеля, состоящего из
n
ценных
бумаг, вычисляется по формуле:
E
(
r
n
) =
n
X
i
=1
w
i
E
(
r
i
)
,
(11.106)
где
w
i
– вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу вы-
ражение
E
(
r
i
)
E
(
r
n
) =
n
X
i
=1
w
i
[
α
i
+
β
i
E
(
r
m
)]
.
(11.107)
Выделим в этом равенстве слагаемые, на которые не оказывают воздей-
ствие изменения рынка, и слагаемые, которые не зависят от них:
E
(
r
n
) =
n
X
i
=1
w
i
α
i
+
n
X
i
=1
w
i
β
i
!
E
(
r
m
)
.
(11.108)
Для придания этой формуле компактности У. Шарп предложил сначала
считать рыночный индекс, как характеристику условной
(
n
+1)
-й акции в порт-
феле. В таком случае второе слагаемое уравнения (11.108) можно представить
в виде:
n
X
i
=1
w
i
β
i
!
E
(
r
m
) =
w
n
+1
E
(
α
n
+1
)
,
(11.109)
где
w
n
+1
=
n
X
i
=1
w
i
β
i
,
(11.110)