ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1747
Скачиваний: 15
Задания для самоконтроля
13
учете этих векселей выплатит одинаковые суммы, если расчетное число дней в
году равно 360?
Задача 1.47.
Предприниматель разделил свой капитал на две равные ча-
сти, одну из них он поместил в банк под простую процентную ставку 30% годо-
вых, а другую часть потратил на покупку векселя со сроком погашения через
250 дней, при этом он учел вексель по простой учетной ставке, также равной
30% годовых. Через 250 дней деньги, полученные предпринимателем по вексе-
лю, превышали сумму, образовавшуюся к этому сроку в банке, на
Р
572. Какова
была величина первоначального капитала предпринимателя, если во всех рас-
четах предполагалось, что в году 360 дней?
Задача 1.48.
Дисконтный сертификат, выданный на 90 дней, обеспечи-
вает держателю доход в виде дисконта, равного 18% от величины номинала.
Определите размер простой годовой учетной ставки, доставляющей такой же
доход при наращении, если в году: а) 360 дней; б) 366 дней.
Задача 1.49.
Клиент хочет получить ссуду в
Р
150000 на полгода. Банк
согласился предоставить ссуду на условиях начисления простых процентов по
учетной ставке 24% годовых. Какую сумму клиент будет должен банку?
Задача 1.50.
Банк выдал предпринимателю ссуду на полгода по простой
учетной ставке 24% годовых, удержав проценты при выдаче ссуды. Определите
сумму, полученную предпринимателем, и величину дисконта, если предприни-
матель должен возвратить
Р
300000.
Задача 1.51.
Клиент получил 24 апреля ссуду по простой учетной ставке
15% годовых и должен возвратить 30 ноября того же года
Р
10000. Определите
несколькими способами полученную клиентом сумму и величину дисконта, если
год невисокосный и проценты удерживаются банком при выдаче ссуды.
Задача 1.52.
Вексель на сумму
Р
50000, выданный 14 июня и сроком по-
гашения 14 сентября того же года, учтен в банке 16 августа по учетной ставке
32% годовых. На номинальную стоимость векселя предусматривалось начисле-
ние простых процентов по процентной ставке 30% годовых. Определите в виде
простой годовой процентной ставки доходность этой операции для предъяви-
теля векселя и для банка, если и при учете, и при наращении берутся в рас-
чет точные проценты с точным числом дней и год невисокосный. Зависит ли
величина доходности от суммы, написанной на векселе? Зависит ли величина
14
Глава 1. Операции с простыми ставками
доходности финансовой операции для банка от процентной ставки, по которой
начисляются простые проценты?
Задача 1.53.
Клиент получил 1 февраля ссуду в банке по простой учетной
ставке 30% годовых и должен возвратить весь долг 17 мая того же года. Какова
будет доходность такой операции для банка в виде годовой простой процентной
ставки, если год високосный и: а) временная база для учетной и процентной
ставок одна и та же и равна числу дней в году; б) для учетной ставки временная
база равна 360 дней, а для процентной ставки - 366 дней?
Задача 1.54.
На капитал в
Р
70000. в течение 3 лет осуществляется нараще-
ние простыми процентами по учетной ставке 12% годовых. Найдите приращение
первоначального капитала за каждый год и общую наращенную сумму.
Задача 1.55.
Предприниматель получил кредит в банке на 60 дней по
учетной ставке 20% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные
в размере 1,5% от величины кредита. Найдите доходность финансовой опера-
ции для банка в виде годовой простой процентной ставки, если банк начисляет
простые проценты на исходную сумму кредита, полагая в году 360 дней. Как
изменится доходность при выдаче кредита на 30 дней и на 90 дней?
Задача 1.56.
На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную
сумму под простую процентную ставку 24% годовых, чтобы она увеличилась
в 2,5 раза? Как изменится ответ, если наращение осуществляется по простой
учетной ставке 24% годовых?
Задача 1.57.
На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную
сумму под простую процентную ставку 26% годовых, чтобы начисленные про-
центы были в 1,2 раза больше первоначальной суммы? Как изменится ответ,
если наращение осуществить по простой учетной ставке 26% годовых?
2
Операции со сложными ставками
2.1. Наращение по сложной процентной ставке
Когда в при осуществлении финансовой операции проценты не выплачива-
ются сразу после их начисления, а присовокупляются к сумме долга, наращение
первоначальной суммы происходит при помощи сложных процентов. Сложные
процентные ставки – ставки, которые применяются к сумме с начисленными в
предыдущем периоде процентами («процент на процент»). Присоединение на-
численных процентов к сумме долга называется капитализацией процентов.
Процесс наращения по сложной процентной ставке описывается геометри-
ческой прогрессией
P,
P
(1 +
i
)
,
P
(1 +
i
) +
P
(1 +
i
)
i
=
P
(1 +
i
)
2
. . .
(2.1)
S
=
P
(1 +
i
)
n
,
(2.2)
где
(1 +
i
)
n
– множитель наращения по сложной процентной ставке.
Если процентные ставки являются переменными, то наращенная сумма
определяется через произведение частных множителей наращения:
S
=
P
(1 +
i
1
)
n
1
(1 +
i
2
)
n
2
×
. . .
×
(1 +
i
k
)
n
k
,
(2.3)
S
=
P
k
Y
t
=1
(1 +
i
t
)
n
t
.
(2.4)
Соотношение значений множителей наращения по простым и сложным го-
довым ставкам процентов при одинаковой абсолютной величине ставок зависит
от срока ссуды:
16
Глава 2. Операции со сложными ставками
•
для срока меньше года (
n <
1
)
(1 +
ni
)
>
(1 +
i
c
)
n
;
(2.5)
•
для срока больше года (
n >
1
)
(1 +
ni
)
<
(1 +
i
c
)
n
;
(2.6)
•
при
n
= 1
множители наращения равны друг другу при условии, что вре-
менная база для начисления простых и сложных процентов одна и та же.
С увеличением срока (при
n >
1
) различие в последствиях применения
простых и сложных процентов усиливается. Графическая иллюстрация соотно-
шений множителей приведена на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Разница в применении простых и сложных процентов
При заключении финансового соглашения на время, отличное от целого
числа лет, проценты начисляются либо по схеме сложных процентов, либо по
смешаной схеме. Во втором случае схема сложных поцентов используется для
целого числа лет, а схема простых – для дробной части года, т.е.
S
=
P
(1 +
i
)
w
(1 +
f i
)
,
n
=
w
+
f,
(2.7)
где
w
– целое число периодов начисления сложных процентов;
f
– дробная
часть периода;
2.2. Начисление сложного процента несколько раз в году
17
S
=
P
(1 +
j/m
)
ˆ
w
1 + ˆ
f j/m
,
n
m
= ˆ
w
+ ˆ
f ,
(2.8)
где
ˆ
w
– целое число периодов начисления сложных процентов;
ˆ
f
– дробная часть
периода;
j
– номинальная годовая процентная ставка, начисление по которой
осуществляется
m
раз в год.
В подобных ситуациях наращенная сумма будет большей при использова-
нии второй схемы. Нет препятствий для использования аналогичных способов
начисления когда базовый период начисления отличен от года. Возможны и
другие схемы начисления процентов.
2.2. Начисление сложного процента несколько раз в году
В современных условиях проценты, как правило, капитализируются не один,
а несколько раз в год – по полугодиям, кварталам и т.д. Так как обычно в кон-
трактах фиксируется годовая ставка с указанием периода начисления, а не став-
ка за период, то применяется следующий метод расчета. Пусть годовая ставка
равна
j
, а число периодов начисления в году
m
. Тогда каждый раз проценты
начисляются по ставке
j/m
. В таком случае процентная ставка
j
называется
номинальной, а начисления процентов производятся по формуле
S
=
P
(1 +
j/m
)
N
,
(2.9)
где
N
=
mn
– количество периодов начисления.
Номинальная процентная ставка не характеризует действительную доход-
ность финансовой операции, последнюю показывает эффективная ставка про-
центов. Эта ставка измеряет реальный относительный доход, который получа-
ют в целом за год. Другими словами, эффективная ставка показывает, какая
годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и
m
-разовое наращение в год по ставке
j/m
. Обозначим эффективную ставку че-
рез
i
e
. Если проценты капитализируются
m
раз в год, каждый раз со ставкой
j/m
, то по определению можно записать
(1 +
i
e
)
n
= (1 +
j/m
)
mn
,
(2.10)