ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1749
Скачиваний: 15
18
Глава 2. Операции со сложными ставками
откуда
i
e
= (1 +
j/m
)
m
−
1
.
(2.11)
Таким образом, в общем случае номинальной называется процентная став-
ка, используемая в расчетах, для фиксирования в договорах и т.п., а действи-
тельная ставка, которая при этом получается, называется эффективной. Как
следует из (2.11), эффективная ставка процентов всегда больше эквивалентного
ей значения номинальной ставки процентов. Практическое значение эффектив-
ной ставки заключается в возможности сравнения сделок, построенных по раз-
ным схемам. Специфика операций с номинальными и эффективными ставками
более подробно будет рассмотрена в следующих главах.
Пример 2.1.
Определите более выгодный для кредитора вариант разме-
щения средств: под 20% годовых на три месяца или под 41% годовых на год.
Находим значение эффективной ставки для первого варианта
i
1
e
=
1 +
0
,
2
4
4
−
1 = 0
,
21
или
21%
,
из которого следует, что второй вариант более выгодный при прочих равных.
Нередки ситуации, когда получаемые проценты облагаются налогом по
ставке
q
. Рассмотрим особенности наращения по сложной процентной ставке,
полагая, что налог уплачивается единожды в конце срока.
S
n
=
P
(1 +
j/m
)
mn
−
[
P
(1 +
j/m
)
mn
−
P
]
q,
(2.12)
S
n
=
P
(1 +
j/m
)
mn
−
P
(1 +
j/m
)
mn
q
+
P q,
(2.13)
S
n
=
P
[(1 +
j/m
)
mn
−
(1 +
j/m
)
mn
q
+
q
]
,
(2.14)
S
n
=
P
[(1
−
q
)(1 +
j/m
)
mn
+
q
]
.
(2.15)
Аналогично получаем формулу наращения по сложной процентной ставке,
полагая, что налог уплачивается каждый год:
S
n
=
P
1 +
j
m
m
−
1 +
j
m
m
−
1
q
n
.
(2.16)
2.3. Дисконтирование по сложным ставкам
19
Также приведем формулу вычисления размера налога на получаемые про-
центы, если он выплачивается ежегодно
Q
k
=
P
1 +
j
m
m
−
1
1 +
j
m
m
−
1 +
j
m
m
−
1
q
k
−
1
q,
(2.17)
где
k
– номер года, за который взимается налог.
Определение срока ссуды при использовании сложной процентной ставки
осуществляется по формуле
S
=
P
(1 +
i
)
n
,
(2.18)
(1 +
i
)
n
=
S/P,
(2.19)
n
=
ln(
S/P
)
ln (1 +
i
)
,
(2.20)
n
=
ln(
S/P
)
ln (1 +
j/m
)
m
.
(2.21)
В свою очередь сама сложная процентная ставка определяется следующим
образом
S
=
P
(1 +
i
)
n
,
(2.22)
i
= (
S/P
)
1
/n
−
1
,
(2.23)
S
=
P
(1 +
j/m
)
mn
,
(2.24)
j
=
m
(
S/P
)
1
/mn
−
1
.
(2.25)
2.3. Дисконтирование по сложным ставкам
При изучении простых процентов мы рассмотрели два метода дисконтиро-
вания – математический и банковский. Первый заключался в определении
P
по
S
при заданном значении ставки процентов, второй – при заданном значе-
нии учетной ставки. Применим математическое дисконтирование, основываясь
теперь на ставке сложных процентов:
P
=
S
(1 +
i
)
n
,
(2.26)
20
Глава 2. Операции со сложными ставками
где
1
(1 +
i
)
n
= (1 +
i
)
−
n
– учетный или дисконтный множитель.
Для случая, когда проценты начисляются
m
раз в году математическое
дисконтирование осуществляется по номинальной ставке
j
P
=
S
(1 +
j/m
)
mn
,
(2.27)
где
1
(1 +
i
)
mn
= (1 +
i
)
−
mn
– дисконтный множитель.
Величину
P
, полученную дисконтированием
S
, часто называют современ-
ной, а иногда приведенной величиной
S
. Она характеризует ту исходную (ба-
зовую) сумму, начисление процентов на которую дает величину
S
. Суммы
P
и
S
связаны между собой сроком и процентной ставкой и в известном смысле эк-
виваленты: платеж в сумме
S
через
n
лет равноценен сумме
P
, выплачиваемой
в настоящий момент.
Банковское дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке в
соответствии с формулой
P
=
S
(1
−
d
)
n
.
(2.28)
Дисконтирование в этом случае происходит с замедлением, так как на каж-
дом шаге во времени учетная ставка применяется не к первоначальной сумме
(как при учете по простой ставке, а к сумме, уменьшенной на величину дискон-
та, определенного на предыдущем шаге). Дисконтирование по сложной учетной
ставке приводит к результатам, которые выгоднее для должника, чем при дис-
контировании по простой учетной ставке.
Сравним две формулы:
P
=
S
(1
−
nd
)
и
P
=
S
(1
−
d
)
n
. В первой из
них значение дисконтного множителя равномерно падает по мере роста
n
и
достигает нуля уже при
n
= 1
/d
. Во второй – множитель экспоненциально
уменьшается и достигает нуля лишь в пределе (при
n
→ ∞
).
Соотношение значений множителей дисконтирования по простым и слож-
ным годовым учетным ставкам при одинаковой абсолютной величине ставок
зависит от срока ссуды:
•
для срока меньше года (
n <
1
)
(1
−
nd
)
>
(1
−
d
c
)
n
;
(2.29)
2.4. Дисконтирование несколько раз в году
21
•
для срока больше года (
n >
1
)
(1
−
nd
)
<
(1
−
d
c
)
n
;
(2.30)
•
при
n
= 1
множители дисконтирования равны друг другу при условии, что
временная база одна и та же.
С увеличением срока (при
n >
1
) различие в последствиях усиливается.
Графически процесс дисконтирования по простым и сложным учетным
ставкам изображен на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Дисконтирование по простым и сложным учетным ставкам
2.4. Дисконтирование несколько раз в году
По аналогии с номинальной и эффективной процентными ставками рас-
смотрим номинальную и эффективную учетные ставки. Если дисконтирование
осуществляется
m
раз в году, то используется номинальная учетная ставка
f
.
В каждом периоде дисконтирование осуществляется по ставке
f /m
, рассчиты-
вается по формуле:
P
=
S
(1
−
f /m
)
N
,
(2.31)
где
N
– общее число периодов дисконтирования,
N
=
mn
.
Дисконтирование несколько раз в году замедляет данный процесс, что
уменьшает сумму дисконта при прочих равных. Под эффективной учетной став-
22
Глава 2. Операции со сложными ставками
кой понимается сложная годовая учетная ставка, эквивалентная номинальной
при заданном значении
m
. Из равенства множителей следует
d
e
= (1
−
f /m
)
m
= 1
−
d
c
(2.32)
d
e
= 1
−
(1
−
f /m
)
m
.
(2.33)
Значение эффективной учетной ставки всегда меньше эквивалентного ей
значения номинальной ставки.
Очевидно, что сложную учетную ставку можно использовать не только для
дисконтирования
S
, но и для наращения первоначальной суммы
P
. Формула
наращения по сложной учетной ставке имеет вид
S
=
P
(1
−
d
)
n
.
(2.34)
При
m
-разовом наращении в году формула примет вид
S
=
P
(1
−
f /m
)
mn
.
(2.35)
При существовании налога на получаемые проценты по ставке
q
формула
наращения по сложной учетной ставке примет один из вариантов:
•
налог уплачивается единожды в конце срока
S
n
=
P
"
(1
−
q
)
1
−
f
m
−
mn
+
q
#
;
(2.36)
•
налог уплачивается каждый год
S
n
=
P
"
1
−
f
m
−
m
−
1
−
f
m
−
m
−
1
!
q
#
n
.
(2.37)
Приведем формулу вычисления размера налога на получаемые проценты,
если он выплачивается ежегодно
Q
k
=
P
1
−
f
m
−
m
−
1
! "
1
−
f
m
−
m
−
1
−
f
m
−
m
−
1
!
q
#
k
−
1
q,
(2.38)