Файл: posobie.pdf

2.4. Дисконтирование несколько раз в году

23

где

k

– номер года, за который взимается налог.

Вычислить срок ссуды при использовании сложной учетной ставки можно,

используя формулу

n

=

ln

P

S

ln (1

−

d

)

,

(2.39)

n

=

ln

P

S

m

ln

1

−

f

m

!

.

(2.40)

Различие в последствиях применения сложных и простых процентов наибо-

лее наглядно проявляется при определении времени, необходимого для заданно-

го увеличения первоначальной суммы

P

в

N

раз. Очевидно, что при подобном

росте множитель наращения равен

N

. Таким образом, для простых процентов

(1 +

ni

n

) =

N,

(2.41)

n

=

N

−

1

i

n

;

(2.42)

для сложных процентов

(1 +

i

c

)

n

=

N,

(2.43)

n

=

ln

N

ln (1 +

i

c

)

.

(2.44)

Наиболее наглядно влияние ставки процентов на процесс наращения можно

представить, сопоставляя числа лет, необходимых для удвоения первоначаль-

ной суммы. В этом случае, приняв в приведенных формулах

N

= 2

, получим

следующие формулы удвоения для простых и сложных процентов

n

=

1

i

(2.45)

n

=

ln 2

ln (1 +

i

c

)

.

(2.46)

24

Глава 2. Операции со сложными ставками

2.5. Интенсивность наращения и дисконтирования

по разным ставкам

Пусть

i

– простая процентная ставка;

i

c

– сложная процентная ставка;

d

– простая учетная ставка;

d

c

– сложная учетная ставка. Тогда интенсивность

наращения детерминируется длительностью финансовой операции имеет вид

n <

1

(1 +

i

c

)

n

<

(1 +

ni

)

<

(1

−

nd

)

−

1

<

(1

−

d

c

)

−

n

;

(2.47)

n >

1

(1 +

ni

)

<

(1 +

i

c

)

n

<

(1

−

d

c

)

−

n

<

(1

−

nd

)

−

1

;

(2.48)

n

= 1

(1 +

ni

) = (1 +

i

c

)

n

<

(1

−

nd

)

−

1

= (1

−

d

c

)

−

n

.

(2.49)

Аналогично обстоят дела с интенсивностью дисконтирования по разным

ставкам:

n <

1

(1

−

d

c

)

n

<

(1

−

nd

)

<

(1 +

ni

)

−

1

<

(1 +

i

c

)

−

n

;

(2.50)

n >

1

(1

−

nd

)

<

(1

−

d

c

)

n

<

(1 +

i

c

)

−

n

<

(1 +

ni

)

−

1

;

(2.51)

n

= 1

(1

−

nd

) = (1

−

d

c

)

n

<

(1 +

ni

)

−

1

= (1 +

i

c

)

−

n

.

(2.52)

Задания для самоконтроля

Задача 2.1.

Сумма

Р

60000 инвестируется под процентную ставку 15% го-

довых: а) на 6 лет, б) на 9 лет. Рассчитайте наращенные суммы при условии

ежегодного начисления сложных и простых процентов.

Задача 2.2.

Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в

Р

1000000

при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных про-

центов, если годовая процентная ставка равна 30%, но различны периоды нара-

щения: 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 3 года, 10 лет, 20 лет, 50 лет. Полагать

год равным 360 дней.

Задача 2.3.

В банке получена ссуда в размере

Р

145000 на 7 лет на следу-

ющих условиях: для первых трех лет процентная ставка равна 18% годовых, на

следующий год устанавливается маржа в размере 1%, и на последующие годы

маржа равна 1,5%. Рассчитайте сумму, которая должна быть возвращена банку

по окончании срока ссуды при ежегодном начисления сложных процентов.

Задания для самоконтроля

25

Задача 2.4.

Предприниматель получил банковскую ссуду в размере

Р

50000

на 34 месяца под процентную ставку 27% годовых на условиях ежегодного на-

числения процентов. Какую сумму предприниматель вернет банку по истече-

нии срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании

смешанной схемы?

Задача 2.5.

Клиент размещает в банке

Р

40000 на 23 месяца под процент-

ную ставку 26% годовых на условиях единовременного возврата основной сум-

мы долга и начисленных сложных процентов. Какую сумму предстоит вернуть

банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) полугодо-

вое; б) квартальное.

Задача 2.6.

Имеются следующие процентные ставки по вкладам: 110%

годовых или 22% за квартал, причем в обоих случаях используется смешан-

ная схема начисления процентов. Какой вариант выгоднее, если срок хранения

вклада составляет: а) 9 месяцев; б) один год? До какого срока выгоднее иметь

110% годовых, а когда выгоднее ежеквартальное начисление по 22%? Финансо-

вый год принять равным 360 дней (месяц – 30 дней).

Задача 2.7.

Рассчитайте время, необходимое для увеличения первоначаль-

ной суммы, инвестированную под процентную ставку 30% годовых: а) в 4 раза;

б) в 2 раза при начислении в конце года сложных и простых процентов.

Задача 2.8.

Субъект рассчитывает за 7 лет утроить сумму, помещаемую в

банк на депозит. Какова должна быть годоаая номинальная процентная ставка

при начислении сложных процентов: а) каждые полгода; б) каждый месяц?

Задача 2.9.

Рассчитайте номинальную процентную ставку, если эффек-

тивная годовая процентная ставка равна 40% сложные проценты начисляются:

а) каждые полгода; б) ежемесячно; в) ежедневно.

Задача 2.10.

В долг на 25 месяцев предоставлена сумма в

Р

50000 с усло-

вием возврата

Р

85000. Рассчитайте эффективную ставку в этой сделке.

Задача 2.11.

Из какого капитала можно получить

Р

49000 через 8 лет

наращением сложными процентами по процентной ставке 36%, если наращение

осуществлять: а) ежегодно; б) ежеквартально?

Задача 2.12.

Оцените, что лучше: получить

Р

16000 через 2 года или

Р

50000 – через 6 лет, если можно поместить деньги на депозит под сложную

процентную ставку 35% годовых?

26

Глава 2. Операции со сложными ставками

Задача 2.13.

Рассчитайте современную ценность

Р

20000, если: а) сумма

будет получена через 4 года 7 месяцев; б) сумма была получена 2 года 6 месяцев

назад; в) сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность

помещения денег на депозит под сложную процентную ставку 30% годовых.

Задача 2.14.

Субъект поместил в банк

Р

400000 на условиях начисления

каждые полгода сложных процентов по годовой номинальной процентной став-

ке 34%. Через полтора года он снял со счета

Р

180000, а через 3 года после этого

закрыл счет. Рассчитайте сумму, полученную субъектом при закрытии счета.

Задача 2.15.

На счете в банке лежит сумма в

Р

60000. Банк начисляет

сложные проценты по процентной ставке 12% годовых. Вам предлагают вой-

ти вашим капиталом в организацию венчурного предприятия. Представленные

экономические расчеты показывают, что через 4 года ваш капитал возрастет в

3,5 раза. Стоит ли принимать это предложение? Как может повлиять на выбор

решения учет фактора риска?

Задача 2.16.

Банк начисляет ежеквартально сложные проценты на вкла-

ды по номинальной годовой процентной ставке 24%. Рассчитайте в виде простой

годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их

размещении на год.

Задача 2.17.

Рассчитайте современную ценность

Р

40000, если: а) сумма

будет получена через 5 лет 3 месяца; б) сумма была получена 3 гола 6 месяцев

назад; в) сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность

помещения денег на депозит под сложную процентную ставку 26% годовых.

Задача 2.18.

Банк начисляет ежеквартально сложные проценты по годо-

вой номинальной процентной ставке 32%. Рассчитайте современную ценность

Р

15000, если: а) сумма была помещена на депозит в банке 3 года 2 месяца назад;

б) сумма будет помещена на депозит в банке через 10 месяцев.

Задача 2.19.

Свободные денежные средства помещены в банк под слож-

ную процентную ставку 40% годовых на условиях ежегодного начисления про-

центов. Через 3 года и 10 месяцев счет был закрыт и получена сумма в размере

Р

36587. Рассчитайте величину наращенной суммы, которая была бы получена

при закрытии счета через 2 года и 3 месяца, если банк начисляет проценты по

смешанной схеме.

Задача 2.20.

На вашем счете в банке

Р

18000. Банк платит 12% годовых.

Вам предлагают принять участие всем вашим капиталом в некоторой финансо-

Задания для самоконтроля

27

вой сделке. Представленные экономические расчеты показывают, что в случае

согласия через пять лет ваш капитал возрастет в 1,9 раза. Стоит ли принимать

это предложение?

Задача 2.21.

Какая сумма выглядит предпочтительнее при сложной про-

центной ставке 29% годовых:

Р

100000 сегодня или

Р

700000 через 8 лет?

Задача 2.22.

На вклад по истечении 7 лет были начислены сложные про-

центы по годовой номинальной процентной ставке 34% исходя из ежекварталь-

ной схемы начисления, причем один раз в конце срока был выплачен налог

на все полученные проценты. Рассчитайте годовую эффективную процентную

ставку в этой финансовой сделке, если ставка налога на проценты равна 15%.

Задача 2.23.

Предприниматель инвестировал

Р

120000 на 6 лет, по ис-

течении которых были начислены сложные проценты по переменной годовой

процентной ставке, причем для первых трех лет головая процентная ставка

равнялась 12%, на следующие два года устанавливалось 18% и на последний

год – 20%. Рассчитайте наращенную сумму после уплаты налога на проценты,

если ставка налога на проценты равна 5% и налог на все полученные проценты

выплачивается один раз в конце срока.

Задача 2.24.

Предприниматель инвестировал

Р

200000 на 4 года, в тече-

ние которых раз в год начислялись сложные проценты по переменной головой

процентной ставке, причем для первых двух лет годовая процентная ставка

равнялась 15%, на следующий год устанавливалось 17% и на последний год

– 13%. Рассчитайте итоговую наращенную сумму после уплаты налога на все

проценты, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на проценты

уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы.

Задача 2.25.

Вклад

Р

160000 был размещен в банке на 2 года и 5 меся-

цев, по истечении которых на этот вклад были начислены сложные проценты

по годовой номинальной процентной ставке 30% и вклад был востребован. По-

сле уплаты налога на проценты вкладчик стал обладателем суммы в размере

Р

299808. Какую схему начисления процентов использовал банк, если ставка

налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачи-

вается один раз в конце срока?

Задача 2.26.

Вексель на сумму

Р

175000 учитывается за 4 года до срока

погашения. Составьте схему учета векселя по годам при использовании сложной

учетной ставки 20% годовых. Какую сумму получит предъявитель векселя?