ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 905
Скачиваний: 4
36
На
фабрику
ткани
1
поступает
в
два
раза
больше
(
по
длине
),
чем
тка
-
ни
2.
Выход
готовых
изделий
должен
быть
максимальным
.
Вопросы
1.
Сколько
способов
раскроя
ткани
1
следует
использовать
?
2.
Какая
часть
(
в
%)
ткани
1
должна
раскраиваться
по
способу
1?
3.
На
сколько
(
в
%)
изменится
выход
готовых
изделий
по
сравнению
с
первоначальным
,
если
на
фабрику
будет
поступать
равное
количество
двух
артикулов
тканей
?
Задача
6.
На
производство
поступила
партия
стержней
длиной
250
и
190
см
.
Необходимо
получить
470
заготовок
длиной
120
см
и
450
загото
-
вок
длиной
80
см
.
Отходы
должны
быть
минимальными
.
Вопросы
1.
Какое
количество
стержней
длиной
250
см
надо
разрезать
?
2.
Какое
количество
стержней
длиной
190
см
надо
разрезать
?
3.
Какова
величина
отходов
(
в
см
)?
Оказалось
,
что
количество
стержней
длиной
250
см
ограничено
и
равно
200
шт
.
4.
Какое
количество
стержней
длиной
190
см
надо
разрезать
в
этом
случае
?
5.
На
сколько
увеличится
количество
отходов
(
в
см
)?
Задача
7.
Завод
заключил
договор
на
поставку
комплектов
отрезков
стержней
длиной
по
18, 23
и
32
см
.
Причем
количества
отрезков
разной
длины
в
комплекте
должны
быть
в
соотношении
1 : 5 : 3.
На
сегодняшний
день
имеется
80
стержней
длиной
по
89
см
.
Как
их
следует
разрезать
,
что
-
бы
количество
комплектов
было
максимальным
?
Вопросы
1.
Сколько
существует
рациональных
способов
раскроя
?
2.
Сколько
комплектов
стержней
будет
выпущено
?
3.
Какова
при
этом
величина
отходов
(
в
см
)?
ГЛАВА
3.
МОДЕЛИ
ЛОГИСТИКИ
И
РИСКА
§ 1.
Моделирование
процессов
перевозок
и
назначения
1.1.
Простейшие
модели
Одним
из
распространённых
процессов
,
при
математическом
мо
-
делировании
которых
с
успехом
используется
транспортная
задача
и
её
мо
-
дификации
,
является
процесс
перевозки
и
распределения
продукции
,
сырья
,
трудовых
и
материальных
ресурсов
.
Другими
словами
,
речь
идёт
о
модели
-
ровании
процессов
перевозки
продукции
с
m
пунктов
производства
в
n
пунк
-
тов
потребления
так
,
чтобы
при
этом
был
выполнен
баланс
производства
и
потребления
и
затрачены
минимальные
средства
на
транспортировку
.
37
Математически
этот
процесс
может
быть
описан
следующим
образом
:
1
1
min,
n
m
ij i
j
i
c x
=
=
→
∑ ∑
(1)
1
,
1... ,
n
ij
i
j
x
a i
m
=
=
=
∑
(2)
1
,
1... ,
m
ij
j
i
x
b j
n
=
=
=
∑
(3)
0,
1.. ,
1... .
ij
x
i
m j
n
≥
=
=
(4)
Здесь
a
i
–
объём
запасов
i
-
го
продукта
на
складах
(
или
в
пунктах
производ
-
ства
),
a
i
>0;
b
j
–
объём
потребления
j
-
го
объекта
,
b
j
>0;
x
ij
–
количество
продукции
,
перевозимое
с
i
-
го
склада
j
-
му
потреби
-
телю
;
c
ij
–
стоимость
перевозки
единицы
груза
с
i
-
го
склада
j
-
му
потреби
-
телю
.
Отметим
,
что
задача
(1) – (4)
является
сбалансированной
,
если
1
1
.
m
n
i
j
i
j
a
b
=
=
=
∑
∑
Если
последнее
условие
не
выполняется
,
причём
объём
потребления
превосходит
объём
запасов
,
то
ограничение
(2)
записывается
в
виде
:
1
,
1... .
m
ij
j
i
x
b j
n
=
≤
=
∑
Если
же
предложение
превосходит
потребление
,
то
ограничение
(1)
записывается
в
виде
:
1
,
1... .
n
ij
i
j
x
a i
m
=
≤
=
∑
Нередко
появляются
дополнительные
требования
на
пропускную
возможность
коммуникации
,
в
этом
случае
появляется
дополнительное
ог
-
раничение
:
,
1... ,
1... ,
ij
ij
x
d i
m j
n
≤
=
=
(5)
где
d
ij
–
пропускная
способность
пути
от
i
-
го
поставщика
к
j
-
му
потребите
-
лю
.
Простой
модификацией
данной
модели
является
модель
процес
-
са
назначения
.
Речь
идёт
о
назначении
m
различных
специалистов
на
n
мест
работы
при
условии
,
что
каждую
работу
должен
выполнять
лишь
один
специалист
и
каждый
специалист
должен
выполнять
лишь
одну
рабо
-
ту
.
Приоритетная
возможность
i
-
го
специалиста
на
получение
j
-
й
работы
38
оценивается
коэффициентами
c
ij
матрицы
С
.
При
моделировании
таких
процессов
x
ij
вводится
как
булевская
переменная
i-
й
1,
если
i-
й
работник
будет
назначен
на
выполнение
j-
й
работы
,
0,
если
i-
й
работник
не
будет
назначен
на
выполнение
j-
й
работы
.
ij
x
⎧⎪⎪
= ⎨
⎪⎪⎩
Ограничения
в
этом
случае
записываются
в
виде
:
,
1
1
1...
m
ij
i
x
j
n
=
=
=
∑
или
,
1
1
1... ,
n
ij
j
x
i
m
=
≤
=
∑
в
случае
если
m
>
n
,
т
.
е
.
специалистов
больше
,
чем
мест
работы
.
Функция
цели
имеет
вид
:
1
1
min.
n
m
ij ij
j
i
c x
=
=
→
∑ ∑
К
этому
же
типу
моделей
примыкают
модели
задач
развития
и
размещения
,
заключающихся
в
одновременном
отыскании
объёма
выпус
-
ка
изделий
на
пунктах
производства
и
вопроса
прикрепления
пунктов
про
-
изводства
к
пунктам
потребления
.
Данные
модели
называются
моделями
развития
и
размещения
и
имеют
следующий
вид
:
1
1
1
min,
n
n
m
j i
ij ij
j
j
i
c x
c x
=
=
=
+
→
∑
∑ ∑
1
,
1... ,
m
ij
j
i
x
x j
n
=
=
=
∑
1
,
1... ,
n
ij
i
j
x
a i
m
=
=
=
∑
,
1... ,
j
j
j
D
x
D j
n
≤
≤
=
0,
1.. ,
1... ,
ij
x
i
m j
n
≥
=
=
где
c
j
–
затраты
производства
единицы
продукции
у
j
-
го
производителя
;
x
j
–
объём
производства
j
-
го
производителя
;
j
j
D
D
,
–
верхняя
и
нижняя
границы
для
выпуска
продукции
;
c
ij
–
затраты
на
транспортировку
ед
.
продукции
от
j
-
го
производителя
к
i
-
му
потребителю
;
x
ij
–
количество
продукции
,
перевозимой
от
j
-
го
производителя
к
i
-
му
потребителю
;
a
i
–
потребности
i
-
го
заказчика
.
39
В
заключение
приведём
модель
развития
и
размещения
в
общем
ви
-
де
,
в
случае
когда
перевозится
R
видов
продукции
.
Найти
оптимальный
вариант
развития
транспортной
сети
,
удовле
-
творяющий
перевозке
грузов
к
потребителям
.
Введём
обозначения
:
q
–
номер
варианта
развития
сети
,
Q
–
число
всех
вариантов
разви
-
тия
сети
;
g
–
вид
груза
,
G
–
число
всех
видов
груза
;
i
,
j
–
пункты
,
между
которыми
осуществляется
перевозка
;
s
–
вид
лимитированного
ресурса
;
S
–
число
всех
видов
лимитиро
-
ванных
ресурсов
;
R
sij
–
количество
выделенных
ресурсов
s
-
го
вида
для
развития
транспортного
участка
между
пунктами
i
и
j
;
q
sijg
R
–
потребность
в
s
-
м
виде
ресурсов
для
перевозки
g
-
го
вида
грузов
по
участку
i
,
j
согласно
q
-
му
варианту
развития
сети
;
q
gij
c
–
текущие
затраты
на
перевозку
g
-
го
вида
груза
из
пункта
i
в
пункт
j
согласно
q
-
му
варианту
развития
сети
;
K
ij
–
выделенные
капитальные
вложения
для
развития
участка
сети
от
пункта
i
к
пункту
j
;
q
gij
K
–
капитальные
вложения
,
выделенные
согласно
q
-
му
варианту
развития
сети
для
перевозки
g
-
го
груза
от
пункта
i
к
пункту
j
;
E
–
нормативный
коэффициент
эффективности
капитальных
вло
-
жений
в
транспорт
;
a
ij
–
пропускная
способность
участка
I
,
j
;
q
gij
a
–
план
перевозок
g
-
го
вида
продукции
,
перевозимого
от
пункта
I
к
пункту
j
согласно
q
-
му
варианту
;
q
gij
x
–
искомая
величина
,
равная
1
,
если
на
участке
от
пункта
I
к
пункту
j
выбирается
q
-
й
вариант
развития
сети
по
перевозкам
g
-
го
вида
груза
,
и
равная
0
в
противном
случае
.
Математическая
модель
:
( )
∑ ∑ ∑ ∑
→
+
=
=
=
=
=
n
1
i
m
1
j
G
1
g
Q
1
q
q
gij
q
gij
q
gij
q
ij
g
min
x
)
EK
c
(
x
F
–
минимизация
приведённых
затрат
;
1
1,
1... ,
1... ,
1...
Q
q
gij
q
x
i
n j
m g
G
=
≤
=
=
=
∑
–
выбирается
лишь
один
вариант
развития
;
1
1
,
1... ,
1... ,
1...
Q
G
q
q
sijg
gij
sij
g
q
R
x
R
s
S i
n j
m
=
=
≤
=
=
=
∑ ∑
–
ограничение
на
объёмы
выделенных
ресурсов
;
40
1
1
,
1... ,
1...
Q
G
q
q
gij
gij
ij
g
q
K x
K
i
n j
m
=
=
≤
=
=
∑ ∑
–
ограничение
на
объёмы
капитальных
вложений
;
1
1
,
1... ,
1...
Q
G
q
q
gij
gij
ij
g
q
a x
a
i
n j
m
=
=
≤
=
=
∑ ∑
–
ограничение
на
план
перевозок
(
)
.
q
,
j
,
i
,
g
0
1
x
x
q
gij
q
gij
∀
=
−
Данная
задача
решается
методами
целочисленного
програм
-
мирования
.
1.2.
Закрепление
приемов
построения
моделей
Задача
1.
Известен
выпуск
продукции
на
трёх
заводах
: 460, 340
и
300
тонн
соответственно
.
Требования
четырёх
потребителей
на
эту
про
-
дукцию
составляют
: 350, 200, 450
и
100
тонн
.
Известны
также
затраты
на
производство
1
единицы
продукции
на
каждом
заводе
: 9, 8
и
2
р
.
соответ
-
ственно
,
а
также
матрица
транспортных
расходов
на
доставку
1
единицы
продукции
от
i
-
го
завода
k
-
му
потребителю
:
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
1
8
5
4
3
2
1
5
1
6
4
3
ik
c
C
.
Определить
оптимальный
план
прикрепления
потребителей
к
заво
-
дам
из
условия
минимизации
суммарных
затрат
на
производство
и
транс
-
портировку
.
Сравнить
с
оптимальным
планом
,
построенным
из
условия
миними
-
зации
только
транспортных
расходов
.
Решение
.
Обозначим
через
x
ik
объем
поставки
продукции
от
i
-
го
за
-
вода
k
-
му
потребителю
.
Данная
транспортная
задача
является
сбаланси
-
рованной
(460 + 340 + 300 = 350 + 200 + 450 + 100).
Тогда
ограничения
на
выпуск
продукции
будут
выглядеть
следующим
образом
:
11
12
13
14
460,
x
x
x
x
+
+
+
=
21
22
23
24
340,
x
x
x
x
+
+
+
=
(1)
31
32
33
34
300.
x
x
x
x
+
+
+
=
Ограничения
на
потребление
продукции
:
11
21
31
350,
x
x
x
+
+
=
12
22
32
200,
x
x
x
+
+
=
(2)