ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 359
Скачиваний: 3
6
Вариант 3
Найти интегралы.
1
.
R
dx
cos
5
x
.
2
.
R
(
x
+ 1)
2
x
√
1 + 3
x
+
x
2
dx.
3
.
R
4
x
3
+
x
2
+ 2
x
(
x
−
2)(
x
−
1)
dx.
4
.
R
dx
2 sin
2
x
+ 3 sin 2
x
.
5
.
R
5
q
(1 +
3
√
x
2
)
4
x
2
5
√
x
dx.
6
.
R
dx
(1 +
x
2
)
√
1
−
x
2
.
7
.
R
ln
x
−
1
ln
2
x
dx.
8
.
R
x
3
arctg
2
xdx.
9
.
R
√
x
−
3
3
√
x
√
x
(
3
√
x
2
+ 4
3
√
x
)
2
dx.
10
.
R
x
2
+ 4
(
x
−
2)
4
dx.
11
.
R
cos
4
xdx
sin
x
(cos
5
x
+ sin
5
x
)
.
12
.
R
dx
(
x
+ 1)
√
3
x
2
+ 4
x
.
13
.
R
x
−
arctg
4
x
1 +
x
2
dx.
14
.
R
max(4
−
x
2
,
2)
dx.
15
.
R
3
√
x
+ 1 +
√
x
+ 1
(
x
+ 1)(4
−
3
√
x
+ 1)
dx.
16
.
R
cos
4
x
sin
x
dx.
17
.
R
5
√
arctg
x
1+
x
2
dx.
18
.
R
dx
√
ax
2
+
b
dx, a
6
= 0
.
19
.
R
1 + sin
x
1 + cos
x
dx.
20
.
R
2 +
√
x
+ 1
(
x
+ 1)
2
−
√
x
+ 1
dx.
21
.
arccos
√
2
3
R
0
tg
x
+ 2
sin
2
x
+ 2 cos
2
x
−
3
dx.
22
.
−
7
8
R
−
14
15
6
√
x
+ 2
(
x
+ 2)
2
√
x
+ 1
dx.
23
.
π
2
R
0
dx
1 +
a
2
sin
2
x
.
24
.
1
√
2
R
0
arccos
3
x
−
1
√
1
−
x
2
dx.
25. Доказать, что если функция
f
непрерывна на отрезке
[
a, b
]
и для всех
t
∈
[0
, b
−
a
]
выполняется равенство
f
(
a
+
t
) =
f
(
b
−
t
)
, то
b
R
a
xf
(
x
)
dx
=
=
a
+
b
2
b
R
a
f
(
x
)
dx
.
26. Проверить равенство
lim
n
→∞
π
2
R
−
π
2
cos
n
xdx
= 0
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
t
2
+
t
,
y
(
t
) =
t
3
+ 1
,
x
= 0
,
x
= 1
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
(
x
2
+
y
2
)
3
=
x
2
y
2
.
29. Найти длину дуги кривой
y
=
√
x
−
x
2
−
arccos
√
1
−
x
,
11
36
≤
x
≤
15
16
.
30. Найти объем тела, образованного вращением петли кривой
y
2
(
x
−
a
) +
x
2
(
x
+
a
) = 0
вокруг оси ОХ.
7
Вариант 4
Найти интегралы.
1
.
R
ctg
4
xdx.
2
.
R
x
3
dx
x
4
−
x
2
+ 5
.
3
.
R
x
5
+ 2
x
4
−
2
x
3
+ 5
x
2
−
7
x
+ 9
x
(
x
+ 3)(
x
−
1)
dx.
4
.
R
dx
(2 sin
x
+ 3 cos
x
+ 1)
2
.
5
.
R
5
p
(1 +
3
√
x
)
4
x
5
√
x
2
dx.
6
.
R
√
x
2
+5
x
2
+2
dx.
7
.
R
x
2
ln 1 +
x
1
−
x
dx.
8
.
R
sin
2
x
cos
4
x
dx.
9
.
R
sin 2
x
sin
4
x
−
cos
4
x
dx.
10
.
R
x
2
arcsin
x dx.
11
.
R
dx
2 + 3 sin
x
+ cos
x
.
12
.
R
dx
(
x
−
1)
2
√
x
2
+
x
+ 1
.
13
.
R
x
−
1
x
√
1 +
x
2
dx.
14
.
R
(
|
1
−
4
x
2
|
+
|
x
|
)
dx.
15
.
R
dx
sin
x
+ ctg
x
.
16
.
R
x
(
3
√
x
−
2
6
√
x
)
(
x
+ 4
3
√
x
2
)
3
dx.
17
.
R
x
4
arctg
x
x
2
+ 1
dx.
18
.
R
dx
(
x
2
+ (
a
+
b
)
x
+
ab
)
2
, a
6
=
b.
19
.
R
e
x
+
e
x
dx.
20
.
R
1
−
6
√
x
+ 1
1 +
x
+
3
p
(1 +
x
)
4
dx.
21
.
π
4
R
arcsin
1
√
37
6 tg
xdx
3 sin 2
x
+ 5 cos
2
x
.
22
.
9
R
0
q
9
−
2
x
2
x
−
21
dx.
23
.
ln 5
R
0
e
x
√
e
x
−
1
e
x
+ 3
dx.
24
.
2
π
R
π
1
−
cos
x
(
x
−
sin
x
)
2
dx.
25. Для непрерывной при
x
≥
0
функции
f
, доказать, что
a
Z
0
x
r
+1
f
(
x
r
)
dx
=
1
r
a
r
Z
0
x
2
r
f
(
x
)
dx, a >
0
, r
≥
1
.
26. Показать, что
2
π
R
0
sin
x
x
dx >
0
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
t
2
t
2
−
1
,
y
(
t
) =
t
2
t
−
1
,
x
=
−
1
,
x
= 1
.
28. Перейдя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную кривой
(
x
6
+
y
6
) = 2(
x
4
+
y
4
)
.
29. Найти длину дуги кривой
y
= 6 ln
√
3+
√
x
√
3
−
√
x
−
4
√
3
x
,
0
≤
x
≤
1
.
30. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ петли
кривой
(
x
−
4)
y
2
=
x
(
x
−
3)
.
8
Вариант 5
Найти интегралы.
1
.
R
dx
cos
3
x
sin
4
x
.
2
.
R
x
3
+
x
−
1
−
x
2
+
x
4
dx.
3
.
R
3
x
3
−
x
2
−
12
x
−
2
x
(
x
−
2)(
x
+ 1)
dx.
4
.
R
cos
2
x
sin
x
2 sin
x
+ cos
x
dx.
5
.
R
5
p
(1 +
√
x
)
4
x
10
√
x
9
dx.
6
.
R
dx
(
x
2
+
x
)
3
/
2
.
7
.
R
(
x
2
+
x
−
3) sh 2
x dx.
8
.
R
x
ln
x
1 +
x
2
dx.
9
.
R
dx
sin
2
x
−
5 sin
x
+ 6
.
10
.
R
e
x
dx
√
e
2
x
+
e
x
+ 4
.
11
.
R
4
3
√
x
+
5
√
x
2
3
√
x
2
(2
3
√
x
+
5
√
x
)
3
dx.
12
.
R
dx
(
x
−
1)
√
4
x
2
−
10
x
+ 7
.
13
.
R
x
x
4
+ 1
dx.
14
.
R
max(
|
x
−
4
|
+
|
x
|
,
6)
dx.
15
.
R
arccos
q
x
x
+ 1
dx.
16
.
R
x
5
dx
2
−
x
3
−
x
6
.
17
.
R
x
arctg
x
(1 +
x
2
)
2
dx.
18
.
R
dx
x
√
x
2
+
a
.
19
.
R
e
2
x
√
e
x
+
e
2
x
dx.
20
.
R
dx
√
2
x
−
1
−
4
√
2
x
−
1
.
21
.
π
4
R
0
2 tg
2
x
−
11 tg
x
−
22
4
−
tg
x
dx.
22
.
5
R
0
e
√
5
−
x
5+
x
dx
(5 +
x
)
√
25
−
x
2
.
23
.
5
R
0
dx
2
x
+
√
3
x
+ 1
.
24
.
π
2
R
π
4
x
cos
x
+ sin
x
(
x
sin
x
)
2
dx.
25. Для непрерывной при
x
≥
0
функции
f
доказать равенство
a
Z
0
x
3
f
(
x
2
)
dx
=
1
2
a
2
Z
0
xf
(
x
)
dx, a >
0
.
26. Найти определенный интеграл от разрывной ограниченной функции
5
Z
0
ln[
x
]([
x
]([
x
] + 1) + 1)
dx.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
t
3
t
3
+1
, y
(
t
) =
t
3
t
+1
, x
=
−
1
, x
= 1
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
(
x
2
+
y
2
)
3
=
x
4
y
.
29. Найти длину дуги кривой
y
= 2 ln
2+
√
4
−
x
2
x
−
√
4
−
x
2
,
1
≤
x
≤
2
.
30.
Найти
объем
тела,
образованного
вращением
петли
кривой
x
=
t
sin
t
+ cos
t, y
= sin
t
−
t
cos
t,
0
≤
t
≤
π
вокруг оси
y
= 0
.
9
Вариант 6
Найти интегралы.
1
.
R
dx
cos
4
x
sin
3
x
.
2
.
R
(
x
+ 2)
√
x
2
+
x
+ 1
dx.
3
.
R
x
3
+ 6
x
2
+ 13
x
+ 8
x
(
x
+ 2)
3
dx.
4
.
R
cos
x
+ sin
x
+ 1
2 sin
x
+ cos
x
+ 2
dx.
5
.
R
3
q
(1 +
4
√
x
3
)
2
x
2
4
√
x
dx.
6
.
R
x
4
−
5
x
3
+ 6
x
−
7
√
x
2
+ 2
x
+ 3
dx.
7
.
R
e
arcsin
x
dx.
8
.
R
dx
x
ln
x
−
x
.
9
.
R
dx
e
2
x
+ 6
.
10
.
R
cos
3
x
sin
x
dx.
11
.
R
x
2
cos
xdx.
12
.
R
xdx
sin
4
x
.
13
.
R
8
x
−
arctg 2
x
1 + 4
x
2
dx.
14
.
R
min(5
−
x
2
,
1
, x
2
)
dx.
15
.
R
dx
x
(3 +
√
x
2
−
3)
.
16
.
R
dx
cos
x
+ tg
x.
17
.
R
x
arcsin(
x
−
1)
dx.
18
.
R
dx
(
x
2
−
a
2
)
√
b
2
−
x
2
, ab
6
= 0
.
19
.
R
xe
√
x
dx.
20
.
R
dx
√
2 +
√
1 +
x
+
√
1
−
x
.
21
.
0
R
−
arctg
1
√
3
3 tg
x
+ 1
2 sin 2
x
−
5 cos 2
x
+ 1
dx.
22
.
12
R
6
q
6
−
x
x
−
14
dx.
23
.
1
R
−
1
dx
(1 +
x
2
)
2
.
24
.
π
4
R
0
tg
x
ln cos
xdx.
25. Доказать, что если функция
f
непрерывна на отрезке
[
a, b
]
, то
b
Z
a
f
(
x
)
dx
= (
b
−
a
)
1
Z
0
f
(
a
+ (
b
−
a
)
x
)
dx.
26. Сравнить
π
R
0
e
sin
2
x
dx
и
3
π
2
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
t
2
t
−
1
, y
(
t
) =
t
t
2
−
1
, x
=
−
1
, x
= 1
.
28. Перейдя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную кривой
x
4
+
y
4
= 6
x
2
.
29. Найти длину дуги кривой
y
=
√
x
2
−
32 + 8 ln(
x
+
√
x
2
−
32)
,
6
≤
x
≤
9
.
30.
Найти
площадь
поверхности,
образованной
вращением
кривой
x
=
t
2
+ 1
, y
=
t
3
(3
−
t
2
)
,
|
t
| ≤
√
3
вокруг оси
y
= 0
.
10
Вариант 7
Найти интегралы.
1
.
R
dx
cos
4
x
sin
2
x
.
2
.
R
dx
(
x
+ 1)
√
x
2
+ 2
.
3
.
R
x
3
+ 6
x
2
+ 14
x
+ 10
(
x
+ 1)(
x
+ 2)
3
dx.
4
.
R
dx
sin
4
x
+ cos
4
x
.
5
.
R
3
p
1 +
4
√
x
3
x
2
dx.
6
.
R
x
2
+ 1
(
x
2
−
1)
√
x
2
−
2
x
−
1
dx.
7
.
R
x
arctg
x
(1 +
x
2
)
2
dx.
8
.
R
sin
3
x
5
√
cos
x
dx.
9
.
R
x
3
−
x
−
1
√
x
2
+ 2
x
+ 2
dx.
10
.
R
2
x
+ 3
(
x
2
+ 1)(
x
2
+ 2)
dx.
11
.
R
√
x
ln
xdx.
12
.
R
√
x
3
√
x
2
−
3
√
x
dx.
13
.
R
x
+ cos
x
x
2
+ 2 sin
x
dx.
14
.
R
min(sin
x,
cos
x
)
dx.
15
.
R
xdx
p
1
−
√
1
−
x
2
.
16
.
R
cos
xdx
cos
3
x
+ sin
3
x
.
17
.
R
arcsin
3
(
x
3
)
dx.
18
.
R
dx
(
x
2
+
a
2
)
√
b
2
+
x
2
, ab
6
= 0
.
19
.
R
xe
x
(
x
+ 1)
2
dx.
20
.
R
e
x
ln(1 +
e
−
x
)
dx.
21
.
arctg 3
R
π
4
1 + ctg
x
(sin
x
+ 2 cos
x
)
2
dx.
22
.
1
R
0
e
√
1
−
x
1+
x
dx
(1 +
x
)
√
1
−
x
2
.
23
.
a
R
0
√
ax
−
x
2
dx.
24
.
0
R
−
1
tg(
x
+ 1)
cos
2
(
x
+ 1)
dx.
25. Доказать, что если функция
f
непрерывна на отрезке
[
a, b
]
и в точках,
симметричных относительно точки
x
=
a
+
b
2
, принимает равные значения, то
b
Z
a
f
(
x
)
dx
= 2
a
+
b
2
Z
a
f
(
x
)
dx.
26. Найти
d
da
cos
a
R
sin
a
ln(1 +
x
2
)
dx.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
ln
t
t
2
, y
(
t
) =
t
2
ln
t, x
=
1
2
, x
= 1
.
28. Перейдя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную кривой
x
4
+
y
4
= 4
xy
.
29. Найти длину дуги кривой
x
= cos
3
t, y
= sin
3
t,
0
≤
t
≤
2
π
.
30. Найти площадь поверхности, образованной вращением фигуры
2
px
=
y
2
,
2
q
(
a
−
x
) =
y
2
, p >
0
, q >
0
вокруг оси ОХ.