ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 357
Скачиваний: 3
11
Вариант 8
Найти интегралы.
1
.
R
x
2
√
a
2
−
x
2
dx.
2
.
R
e
2
x
e
2
x
+
e
x
+ 4
dx.
3
.
R
2
x
3
+ 6
x
2
+ 7
x
+ 1
(
x
−
1)(
x
+ 1)
3
dx.
4
.
R
sin 2
x
1 + cos
4
x
dx.
5
.
R
p
1 +
4
√
x
3
x
2
8
√
x
dx.
6
.
R
dx
x
−
√
x
2
−
x
−
2
.
7
.
R
th
5
xdx.
8
.
R
sin
5
x
3
√
cos
xdx.
9
.
R
x
2
√
x
2
+ 1
dx.
10
.
R
1
−
√
x
+ 2
1 +
3
√
x
+ 2
dx.
11
.
R
x
2
arctg 2
xdx.
12
.
R
x
4
+ 2
x
+ 4
(
x
2
+ 1)
3
dx.
13
.
R
4 arctg
x
−
x
1 +
x
2
dx.
14
.
R
[
x
]
dx.
15
.
R
x
2
√
x
2
+ 4
xdx.
16
.
R
dx
cos
x
+ ctg
x.
17
.
R
x
3
arccos 1
x dx.
18
.
R
dx
x
√
x
n
+
a
, a
6
= 0
, n
∈
N.
19
.
R
xe
x
(
e
x
+ 1)
2
dx.
20
.
R
ln (
√
1 +
x
+
√
1
−
x
)
dx.
21
.
arccos
1
√
3
R
π
4
tg
x
sin
2
x
−
5 cos
2
x
+ 4
dx.
22
.
10
3
R
5
2
√
x
+ 2 +
√
x
−
2
(
√
x
+ 2
−
√
x
−
2)(
x
−
2)
2
dx.
23
.
2
π
R
0
dx
5
−
3 cos
x
.
24
.
1
R
0
x
3
dx
(
x
2
+ 1)
2
.
25. Найти
lim
n
→∞
[
1
n
n
P
k
=1
f
(
a
+
k
b
−
a
n
)]
, если функция
f
интегрируема на отрезке
[
a, b
]
.
26. Найти определенный интеграл от разрывной ограниченной функции
3
R
0
cos
2
([ln[
x
]])
dx
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
2
t
1+
t
2
, y
(
t
) =
t
3
−
3
t, x
= 0
, x
= 1
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
= 6 sin 3
ϕ, r
≥
3
.
29. Найти длину дуги кривой
y
=
√
x
−
x
2
+
1
2
arcsin(2
x
−
1)
.
30. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ петли
кривой
x
= 2
t
−
t
2
, y
= 4
t
−
t
3
.
12
Вариант 9
Найти интегралы.
1
.
R
x
2
dx
(
a
2
−
x
2
)
3
2
.
2
.
R
e
2
x
+ 3
e
x
√
e
2
x
+
e
x
+ 1
dx.
3
.
R
2
x
3
+ 6
x
2
+ 7
x
+ 2
x
(
x
+ 1)
3
dx.
4
.
R
cos
2
x
3 + cos
2
x
dx.
5
.
R
4
q
(1 +
3
√
x
2
)
3
x
2
6
√
x
dx.
6
.
R
(
x
+ 1)
√
x
2
+ 4
x
+ 1
dx.
7
.
R
sh
xdx
√
ch 2
x
.
8
.
R
(
√
x
+ 1)
2
x
3
dx.
9
.
R
ch
4
xdx.
10
.
R
dx
(
x
2
−
2
x
+ 5)
3
2
.
11
.
R
e
2
x
sin
2
xdx.
12
.
R
dx
cos
x
sin
5
x
.
13
.
R
x
+
1
x
√
x
2
+ 1
dx.
14
.
R
max(
|
sin 2
x
|
,
√
2
2
)
dx.
15
.
R
x
√
1
−
x
2
arccos
x dx.
16
.
R
x
4
(
x
4
−
1)
2
dx.
17
.
R
3
x
2
−
1
x
√
x
arctg
x dx.
18
.
R
dx
n
p
(
x
−
a
)
n
+1
(
x
−
b
)
n
−
1
.
19
.
R
x
+ 1
2
x
dx.
20
.
R
ln(1
−
x
+
x
2
)
x
2
dx.
21
.
π
4
R
0
6 sin
2
x
3 cos 2
x
−
4
dx.
22
.
8
R
1
5
√
x
+ 24
(
x
+ 24)
2
√
x
dx.
23
.
3
R
0
(
x
2
−
3
x
) sin 2
xdx.
24
.
1
R
0
xdx
√
x
4
+
x
2
+ 1
.
25. Используя интеграл
1
R
0
dx
1+
x
2
, доказать, что
lim
n
→∞
n
(
1
n
2
+1
2
+
1
n
2
+2
2
+
· · ·
+
1
2
n
2
) =
π
4
.
26. Найти определенный интеграл от разрывной ограниченной функции
5
Z
0
[
x
]
[
x
]
−
1
sin(
π
3
−
x
)
dx.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
2
t
1+
t
2
, y
(
t
) =
t
3
−
6
t, x
=
−
1
, x
= 2
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
= cos
ϕ
−
sin
ϕ
.
29. Найти длину дуги кривой
y
2
=
2
3
(
x
−
1)
3
, лежащей внутри параболы
y
2
=
x
3
.
30. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры,
ограниченной кривой
x
4
+
y
4
=
y
3
.
13
Вариант 10
Найти интегралы.
1
.
R
x
2
dx
(
a
2
+
x
2
)
3
/
2
.
2
.
R
4
x
−
11
√
1 +
x
−
x
2
dx.
3
.
R
x
3
−
6
x
2
+ 13
x
−
7
(
x
+ 1)(
x
−
2)
3
dx.
4
.
R
cos
2
xdx
sin
x
+ 3 cos
x
.
5
.
R
4
p
(1 +
3
√
x
)
3
x
12
√
x
7
dx.
6
.
R
(
x
2
−
1)
x
√
1 + 3
x
2
+
x
4
dx.
7
.
R
dx
2 sh
x
+ 3 ch
x
.
8
.
R
x
2
arcsin 1
xdx.
9
.
R
sin
2
x
2
cos 3
x
2
dx.
10
.
R
x
2
ln
√
1
−
xdx.
11
.
R
dx
(sin
x
+ cos
x
)
2
.
12
.
R
xdx
√
1
−
2
x
2
−
x
4
.
13
.
R
1
2
√
x
+ 1
(
√
x
+
x
)
2
dx.
14
.
R
min(
|
ln
|
x
| −
2
|
,
5)
dx.
15
.
R
dx
2 +
√
x
.
16
.
R
dx
(
x
2
+
x
+ 1)
7
/
2
.
17
.
R
arctg(1
−
√
x
)
dx.
18
.
R
(cos
ax
cos
bx
)
2
dx.
19
.
R
1 +
e
2
x
(1 +
e
x
)
2
dx.
20
.
R
e
arccos
x
dx.
21
.
arctg 3
R
0
4 + tg
x
2 sin
2
x
+ 18 cos
2
x
dx.
22
.
2
R
1
x
+
√
3
x
−
2
−
10
√
3
x
−
2 + 7
dx.
23
.
2
R
1
x
ln
2
xdx.
24
.
√
3
R
0
arctg
x
+
x
x
2
+ 1
dx.
25. Доказать, что если
f
интегрируема на отрезке
[
a, b
]
, то она обладает
свойством интегральной непрерывности
lim
h
→
0
b
Z
a
|
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
|
dx
= 0
,
где
f
(
x
) = 0
при
x
6∈
[
a, b
]
.
26. Используя интеграл
2
R
1
dx
x
, показать, что
lim
n
→∞
1
n
+1
+
1
n
+2
+
· · ·
+
1
2
n
= ln 2
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
2
t
1+
t
2
, y
(
t
) =
t
3
−
t, x
=
−
2
, x
= 3
.
28. Найти площадь, ограниченную кривыми
r
= 2 cos
ϕ, r
= 3 cos
ϕ.
29. Найти длину дуги кривой
y
(
x
) =
x
R
1
√
t
4
−
1
dt,
1
≤
x
≤
2
.
30. Найти объем тела, образованного вращением фигуры
y
=
x
+ sin
2
x,
y
=
x,
0
≤
x
≤
π
вокруг прямой
y
=
x
.
14
Вариант 11
Найти интегралы.
1
.
R
dx
e
x
√
e
x
+ 1
.
2
.
R
√
cos 2
x
sin
xdx.
3
.
R
3
x
3
+ 9
x
2
+ 10
x
+ 2
(
x
−
1)(
x
+ 1)
3
dx.
4
.
R
cos 2
xdx
sin
5
x
cos
x
+ cos
5
x
sin
x
.
5
.
R
4
p
(1 +
√
x
)
3
x
8
√
x
7
dx.
6
.
R
x
−
1
(
x
2
+ 1)
√
3
−
x
2
dx.
7
.
R
sh
3
xdx.
8
.
R
x
arccos(5
x
−
2)
dx.
9
.
R
xe
x
sin
xdx.
10
.
R
√
x
−
4
x
2
dx.
11
.
R
cos
4
xdx.
12
.
R
dx
2 sh
x
+ 3 ch
x
.
13
.
R
2 cos
x
+ 3 sin
x
(2 sin
x
−
3 cos
x
)
3
dx.
14
.
R
(
|
sin
x
|
+
|
cos
x
|
)
dx.
15
.
R
dx
4
p
x
3
(
x
+ 1)
5
.
16
.
R
(sin
x
+ sh
x
)
2
dx.
17
.
R
arctg
√
1
−
xdx.
18
.
R
dx
sin(
x
+
a
) sin(
x
+
b
)
.
19
.
R
e
2
x
1 +
e
x
dx.
20
.
R
x
(1 +
x
2
)
−
3
/
2
e
arctg
x
dx.
21
.
arctg 2
R
0
12 + tg
x
3 sin
2
x
+ 12 cos
2
x
dx.
22
.
10
R
0
q
4
−
x
x
−
12
dx.
23
.
e
2
R
1
ln
2
x
√
x
dx.
24
.
2
R
√
2
dx
x
√
x
2
−
1
.
25. Построить такую непрерывную при
x
≥
0
функцию, для которой существует
конечный предел
lim
T
→∞
1
T
T
R
0
f
(
t
)
dt,
а предел
lim
x
→∞
f
(
x
)
не существует.
26. Найти определенный интеграл от разрывной ограниченной функции
1
Z
−
1
d
dx
(
1
1 + 2
1
/x
)
dx.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
(
t
+2)
2
t
+1
, y
(
t
) =
(
t
−
2)
2
t
−
1
, x
=
−
1
, x
= 2
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
= 3 sin
ϕ, r
= 5 sin
ϕ.
29. Найти длину дуги кривой
y
(
x
) =
x
R
0
√
cos 2
tdt,
0
≤
x
≤
π
4
.
30. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ, ОУ фигуры,
ограниченной кривой
y
=
q
3+3
x
3
−
x
,
0
≤
x
≤
2;
y
= 6
.
15
Вариант 12
Найти интегралы.
1
.
R
dx
x
4
√
1 +
x
7
.
2
.
R
(
x
3
+
x
)
√
1 +
x
4
dx.
3
.
R
x
3
+ 6
x
2
+ 10
x
+ 10
(
x
−
1)(
x
+ 2)
3
dx.
4
.
R
cos 2
x
1 + cos
2
x
dx.
5
.
R
√
1 +
x
x
2
√
x
dx.
6
.
R
x
2
+ 3
x
+ 1
(
x
2
+ 2
x
−
1)
5
/
2
dx.
7
.
R
ch
3
xdx.
8
.
R
(
x
2
−
3
x
) sin 5
xdx.
9
.
R
sh
√
1
−
x
√
1
−
x
dx.
10
.
R
dx
x
√
x
2
+
x
+ 1
.
11
.
R
sin
x
sh
xdx.
12
.
R
1 + tg
x
1
−
tg
x
dx.
13
.
R
x
3
x
2
+ 4
dx.
14
.
R
(
|
ln
x
−
2
|
+
|
ln
x
−
3
|
)
dx.
15
.
R
x
√
1
−
x
2
arcsin
x dx.
16
.
R
x
3
√
x
+ 1
dx.
17
.
R
√
x
arctg
√
x
x
+ 1
dx.
18
.
R
dx
sin
x
−
sin
a
.
19
.
R
dx
x
p
1
−
ln
2
x
.
20
.
R
(1 + 2
x
)
e
arctg
x
dx.
21
.
arctg
2
3
R
0
6 + tg
x
9 sin
2
x
+ 4 cos
2
x
dx.
22
.
2
R
0
(4
√
2
−
x
−
√
2
x
+ 2)
dx
(
√
2
x
+ 2 + 4
√
2
−
x
)(2
x
+ 2)
2
.
23
.
4
R
2
(
x
−
1)
3
ln
2
(
x
−
1)
dx.
24
.
1
R
0
(
x
2
+ 1)
dx
(
x
3
+ 3
x
+ 1)
2
.
25. Доказать, что если функция
f
непрерывна при
x
≥
0
и
lim
x
→∞
f
(
x
) =
a,
a
∈
R,
то
lim
T
→
+
∞
1
T
T
R
0
f
(
t
)
dt
=
a.
26. Почему неверно равенство
2
π
Z
0
sec
2
xdx
2 + tg
2
x
=
1
√
2
arctg
tg
2
x
√
2
1
−
1
= 0?
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
t
3
−
t
2
, y
(
t
) =
t
(2
−
t
2
)
3
−
t
2
, x
=
−
2
, x
= 2
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
2
= 2 cos 2
ϕ
.
29. Найти длину дуги кривой
y
(
x
) =
x
R
0
√
sin 2
tdt,
0
≤
x
≤
π
4
.
30.
Найти
площадь
поверхности,
образованной
вращением
кривой
r
2
= sin 2
ϕ
вокруг полярного луча.