ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 369
Скачиваний: 3
21
Вариант 18
Найти интегралы.
1
.
R
cos
2
x
sin
4
x
dx.
2
.
R
dx
√
e
2
x
−
5
e
x
+ 6
.
3
.
R
2
x
3
−
6
x
2
+ 7
x
+ 4
(
x
−
2)(
x
−
1)
3
dx.
4
.
R
sin 2
x
sin
4
x
+ cos
4
x
dx.
5
.
R
3
p
1 +
3
√
x
x
9
√
x
4
dx.
6
.
R
dx
√
2
x
−
1
−
4
√
2
x
−
1
.
7
.
R
ln
2
(
x
+
√
1 +
x
2
)
dx.
8
.
R
x
arctg
x
(1 +
x
2
)
2
dx.
9
.
R
e
3
x
+
e
x
e
4
x
−
e
2
x
+ 1
dx.
10
.
R
tg
x
tg
2
x
+ tg
x
+ 1
dx.
11
.
R
(3 +
x
2
)
2
x
3
(1 +
x
2
)
3
dx.
12
.
R
sin
8
xdx.
13
.
R
x
cos
x
+ sin
x
(
x
sin
x
)
2
dx.
14
.
R
|
arcsin
|
x
−
1
2
| −
π
3
|
dx.
15
.
R
xdx
√
x
+ 2 +
√
x
+ 3
.
16
.
R
2 sin
x
−
cos
x
+ 3
3 sin
x
+ cos
x
+ 1
dx.
17
.
R
arcsin
√
x
√
1
−
x
dx.
18
.
R
dx
(
a
cos
x
+
b
sin
x
)
2
, a
2
+
b
2
6
= 0
.
19
.
R
ln(1 +
x
2
)
x
2
dx.
20
.
R
dx
(
e
x
−
1
+ 1)
2
−
(
e
x
+1
+ 1)
2
.
21
.
arcsin
2
√
5
R
π
4
4 tg
x
−
5
4 cos
2
x
−
sin
2
x
+ 1
dx.
22
.
7
R
0
√
x
+ 25
(
x
+ 25)
2
√
x
+ 1
dx.
23
.
3
R
π
4
(3
x
−
x
2
) sin 2
xdx.
24
.
1
2
R
0
8
x
−
arctg 2
x
1 + 4
x
2
dx.
25. Доказать, что если функция
f
интегрируема на отрезке
[
a, b
]
, то существует
такая последовательность непрерывных на этом отрезке функций
f
n
,
n
=
1
,
2
,
3
, ...
, что для любой точки
c
∈
[
a, b
]
имеет место
lim
n
→∞
c
R
a
f
n
(
x
)
dx
=
c
R
a
f
(
x
)
dx
.
26. Вычислить интеграл от разрывной ограниченной функции
1
R
0
sign
(sin ln
x
)
dx.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) = 3 sin
t
,
y
(
t
) = 3 sin 2
t
.
28. Найти площадь, ограниченную кривыми
r
=
1
1+2 cos
ϕ
,
ϕ
= 0
,
ϕ
=
π
6
.
29. Найти длину дуги петли
x
= 2
t
3
(1
−
t
2
)
,
y
=
√
15
t
4
.
30. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры
x
=
t
3
,
y
=
t
2
,
y
= 0
,
|
x
|
= 1
.
22
Вариант 19
Найти интегралы.
1
.
R
cos
7
x
sin
3
x
dx.
2
.
R
cos
xdx
√
1
−
4 sin
x
+ cos
2
x
.
3
.
R
x
3
+ 6
x
2
+ 13
x
+ 6
(
x
−
2)(
x
+ 2)
3
dx.
4
.
R
cos 2
x
sin
4
x
+ cos
4
x
dx.
5
.
R
p
1 +
3
√
x
x
√
x
dx.
6
.
R
dx
(3
−
x
)
√
1
−
x
2
.
7
.
R
dx
√
e
2
x
+
e
x
+ 1
.
8
.
R
sin 2
x
p
cos
4
x
+ sin
4
x
dx.
9
.
R
dx
a
2
−
b
2
cos
2
x
.
10
.
R
dx
(2
x
−
3)
√
4
x
−
x
2
.
11
.
R
xe
x
√
1 +
e
x
dx.
12
.
R
dx
(1
−
2
x
)
4
.
13
.
R
sin
x
−
cos
x
(sin
x
+ cos
x
)
5
dx.
14
.
R
|
2
|
x
−
2
|
−
8
|
dx.
15
.
R
1
−
x
1 +
x
3
/
2
dx.
16
.
R
dx
3 ctg
x
+ 2 sin
x
.
17
.
R
arcsin
√
x
(
x
−
1)
2
dx.
18
.
R
xdx
(
a
cos
x
+ sin
x
)
2
.
19
.
R
x
ln
|
x
|
(1 +
x
2
)
2
dx.
20
.
R
dx
√
1 +
e
x
+
e
2
x
.
21
.
arcsin
7
8
R
0
6 sin
2
x
4 + 3 cos 2
x
dx.
22
.
2
R
0
4
√
2
−
x
−
√
3
x
+ 2
(
√
3
x
+ 2 + 4
√
2
−
x
)(3
x
+ 2)
2
dx.
23
.
3
R
2
(
x
−
1)
3
ln
2
(
x
−
1)
dx.
24
.
2
π
R
π
x
+ cos
x
x
2
+ 2 sin
x
dx.
25. Доказать, что функция, ограниченная и имеющая конечное число точек
разрыва на данном отрезке, интегрируема на нем по Риману, причем значение
интеграла не зависит от значений функции в точках разрыва.
26. Доказать, что
sin 1
<
1
R
−
1
cos
x
1+
x
2
dx <
2 sin 1
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) = cos
3
t
,
y
(
t
) = sin
3
t
.
28. Найти площадь, ограниченную кривыми
r
=
2
1+0
.
2 cos
ϕ
,
ϕ
= 0
,
ϕ
=
π
3
.
29. Найти длину дуги петли
x
=
t
2
−
1
,
y
=
2
√
3
(
t
3
−
t
4
)
.
30. Найти объем тела, образованного вращением петли кривой
r
= 2 +
1
cos
ϕ
вокруг луча
ϕ
=
π
2
.
23
Вариант 20
Найти интегралы.
1
.
R
dx
sin
6
x
.
2
.
R
ln
x
+ 2
x
p
1
−
ln
x
−
ln
2
x
dx.
3
.
R
x
3
+ 6
x
2
+ 18
x
−
4
(
x
−
2)(
x
+ 2)
3
dx.
4
.
R
cos
xdx
cos
2
x
−
5 cos
x
+ 6
.
5
.
R
3
p
1 +
√
x
x
3
√
x
2
dx.
6
.
R
x
q
x
+ 2
x
−
3
dx.
7
.
R
1 +
e
x
(1
−
e
2
x
)
e
x
dx.
8
.
R
dx
sin 2
x
−
2 sin
x
.
9
.
R
ln
x
−
1
ln
2
x
dx.
10
.
R
x
2
e
x
cos
xdx.
11
.
R
dx
√
sin
3
x
cos
5
x
.
12
.
R p
tg
2
x
+ 2
dx.
13
.
R
1
−
cos
x
(
x
−
sin
x
)
2
dx.
14
.
R
(
|
tg
x
|
+
|
ctg
x
|
)
dx.
15
.
R
dx
√
x
−
3
√
x
.
16
.
R
q
1
−
x
1 +
x
dx.
17
.
R
x
3
arccos
x
√
1
−
x
2
dx.
18
.
R
dx
ae
x
+
be
−
x
, ab
6
= 0
.
19
.
R
x
ln(1
−
x
+
x
2
)
(1 +
x
2
)
2
dx.
20
.
R
√
e
2
x
+ 4
e
x
−
1
dx.
21
.
0
R
−
arccos
1
√
5
11
−
3 tg
x
tg
x
+ 3
dx.
22
.
2
R
0
e
√
2
−
x
2+
x
dx
(2 +
x
)
√
4
−
x
2
.
23
.
1
R
0
arcsin
√
x
p
x
(1
−
x
)
dx.
24
.
e
2
+1
R
e
+1
1 + ln(
x
−
1)
x
−
1
dx.
25. Построить функцию, непрерывную в точке и не интегрируемую ни на
каком промежутке, содержащем эту точку.
26. Вычислить интеграл от разрывной ограниченной функции
n
+1
Z
1
ln[
x
]
dx, n
∈
N.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) = 2 cos
t
,
y
(
t
) = sin
t
2
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
= 2 sin 5
ϕ
.
29. Найти длину дуги петли
x
=
t
−
t
2
,
y
=
t
2
−
t
3
.
30. Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой
x
=
1
4
y
2
−
1
2
ln
y
,
1
≤
y
≤
e
вокруг оси ОХ.
24
Вариант 21
Найти интегралы.
1
.
R
sin
2
x
cos
3
x
dx.
2
.
R
7
−
3
x
√
x
2
+
x
+ 1
dx.
3
.
R
x
3
+ 4
x
2
+ 4
x
+ 2
(
x
+ 1)
2
(
x
2
+
x
+ 1)
dx.
4
.
R
sin
xdx
sin
2
x
−
3 sin
x
+ 2
.
5
.
R
p
1 +
√
x
x
4
√
x
3
dx.
6
.
R
x
2
+ 2
√
x
2
+
x
+ 1
dx.
7
.
R
e
x
ch
x
+ sh
x
dx.
8
.
R
dx
(
x
4
−
1)
2
.
9
.
R
(
x
3
−
2
x
2
+ 5)
e
2
x
dx.
10
.
R
(1 +
x
2
)
5
/
2
x
6
dx.
11
.
R
r
1
−
3
√
x
1 +
3
√
x
dx
x .
12
.
R
√
2
x
+ 1
x
2
dx.
13
.
R
x
3
(
x
2
+ 1)
2
dx.
14
.
R
max(tg
x,
ctg
x
)
dx.
15
.
R
1
−
2
x
(1
−
3
√
x
)
2
dx.
16
.
R
2 sin
2
x
+ cos
2
x
sin
x
+ cos
x
dx.
17
.
R
arccos
q
x
x
+ 1
dx.
18
.
R
dx
√
a
+
be
x
, ab
6
= 0
.
19
.
R
ln
x
√
x
−
1
dx.
20
.
R
vdx
√
1 +
e
x
+
√
1
−
e
x
.
21
.
arcsin
3
√
10
R
0
2 tg
x
−
5
(4 cos
x
−
sin
x
)
2
dx.
22
.
5
R
3
q
2
−
x
x
−
6
dx.
23
.
π
4
R
0
dx
a
2
cos
2
x
+
b
2
sin
2
x
.
24
.
1
R
0
x
3
dx
(
x
2
+ 1)
2
.
25. Построить не интегрируемую функцию на отрезке, квадрат которой
интегрируем на этом отрезке.
26. Доказать, что
0
<
3
π
4
Z
π
4
sin
x
x
dx <
ln 3
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
t
3
(6
−
t
)
,
y
(
t
) =
t
2
8
(6
−
t
)
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
= 2(1 + sin 2
ϕ
)
.
29. Найти длину дуги петли
x
=
t
2
−
1
,
y
=
t
3
−
t
.
30. Найти объем тела, образованного вращением петли кривой
r
= 4 +
1
cos
ϕ
вокруг полярного луча.
25
Вариант 22
Найти интегралы.
1
.
R
ctg
5
xdx.
2
.
R
√
sin 2
x
cos
xdx.
3
.
R
2
x
3
+ 7
x
2
+ 7
x
−
1
(
x
+ 2)
2
(
x
2
−
x
+ 1)
dx.
4
.
R
dx
(sin
x
+ cos
x
+ 1)
2
.
5
.
R
3
p
1 +
5
√
x
4
x
2
15
√
x
dx.
6
.
R
2
x
+ 3
(
x
2
−
2
x
+ 1)
√
x
2
+ 1
dx.
7
.
R
ch
3
x
sh
2
xdx.
8
.
R
x
4
dx
(
x
2
−
1)(
x
+ 2)
.
9
.
R
(
x
2
+ 3
x
+ 5) cos 2
xdx.
10
.
R
arctg(1 +
√
x
)
dx.
11
.
R
e
3
√
x
dx.
12
.
R
dx
x
3
√
x
−
1
.
13
.
R
tg(
x
+ 1)
cos
2
(
x
+ 1)
dx.
14
.
R
max(ch
x,
sh
x,
10)
dx.
15
.
R
dx
3
p
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
.
16
.
R
dx
2 +
√
x
.
17
.
R
x
2
arccos(
x
√
x
)
(1
−
x
3
)
2
dx.
18
.
R
sh
ax
ch
bxdx, a
2
+
b
2
6
= 0
.
19
.
R
ln(1
−
x
2
)
√
1
−
x
dx.
20
.
R
x
+ sh
x
ch
x
−
sh
x
dx.
21
.
arccos
1
√
26
R
π
4
36
dx
(6
−
tg
x
) sin 2
x
.
22
.
1
3
R
1
24
5
√
x
+ 1
(
x
+ 1)
2
√
x
dx.
23
.
π
2
R
6
dx
1 + cos
x
+ sin
x
.
24
.
1
R
0
xdx
√
x
4
+
x
2
+ 1
.
25. Доказать, что разрывная функция
f
(
x
) =
sign
(sin
π
x
)
интегрируема на
отрезке
[0
,
1]
.
26. Вычислить интеграл от разрывной ограниченной функции
π
Z
0
x sign
(cos
x
)
dx
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) = 3
t
2
,
y
(
t
) = 3
t
−
t
3
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
= 2 sin 3
ϕ
.
29. Найти длину дуги петли
x
= 1 +
t
−
t
3
,
y
= 1
−
15
t
2
.
30. Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой
x
=
√
2 sin
t
,
y
=
1
4
sin 2
t
,
0
≤
t
≤
π
вокруг прямой
x
= 0
.