ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 356
Скачиваний: 3
26
Вариант 23
Найти интегралы.
1
.
R
x
2
√
a
2
+
x
2
dx.
2
.
R
√
sin 2
x
sin
xdx.
3
.
R
x
3
+ 4
x
2
+ 3
x
+ 2
(
x
+ 1)
2
(
x
2
+ 1)
dx.
4
.
R
dx
1 + cos
2
x
.
5
.
R
3
p
1 +
4
√
x
x
3
√
x
dx.
6
.
R
2
x
−
1
(
x
2
+ 2
x
−
1)
√
x
2
−
1
dx.
7
.
R
√
th
xdx.
8
.
R
dx
1 + sin
x
+ cos
x
.
9
.
R
x
2
−
1
x
√
x
4
+ 3
x
2
+ 1
dx.
10
.
R
xe
x
(1 +
x
)
2
dx.
11
.
R
arctg
x
x
4
dx.
12
.
R
arctg
x
(1 +
x
)
2
dx.
13
.
R
tg
x
ln(cos
x
)
dx.
14
.
R
|
√
x
−
1
− |
x
||
dx.
15
.
R
√
x
+ 3
x
2
+
√
x
dx.
16
.
R
2 sin
2
x
+ cos
2
x
sin
x
+ cos
x
dx.
17
.
R
cos arctg(sin
x
)
dx.
18
.
R
dx
a
+
b
ch
x
+
c
sh
x
, a
2
+
b
2
+
c
2
6
= 0
.
19
.
R
ln
|
x
+
√
x
2
−
1
|
x
2
dx.
20
.
R
xdx
sin
2
x
.
21
.
π
4
R
0
4
−
7 tg
x
2 + 3 tg
x
dx.
22
.
15
R
0
q
6
−
x
x
−
18
dx.
23
.
a
R
0
dx
√
x
+
√
a
2
−
x
2
.
24
.
2
R
√
2
dx
x
√
x
2
−
1
.
25. Пусть функция
f
непрерывно дифференцируема на отрезке
[
a, b
]
и
∆
n
=
b
Z
a
f
(
x
)
dx
−
b
−
a
n
n
X
k
=1
f
(
a
+
k
(
b
−
a
)
n
)
.
Найти
lim
n
→∞
n
∆
n
.
26. Доказать, что
1
−
1
n
<
1
R
0
e
−
x
n
dx <
1
, n >
1
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) = 1 + 2 cos
t
,
y
(
t
) = tg
t
+ 2 sin
t
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
= 3 + 2 cos
ϕ
.
29. Найти длину дуги кривой
ϕ
= ln
r
+
r
,
1
≤
r
≤
5
.
30.
Найти
площадь
поверхности,
образованной
вращением
кривой
x
= ln(
y
−
p
y
2
−
1)
,
5
4
≤
y
≤
5
3
вокруг оси ОУ.
27
Вариант 24
Найти интегралы.
1
.
R
x
2
√
x
2
−
a
2
dx.
2
.
R
dx
(2
x
+ 1)
√
3
x
2
+ 1
.
3
.
R
x
3
+ 5
x
2
+ 12
x
+ 4
(
x
+ 2)
2
(
x
2
+ 4)
dx.
4
.
R
dx
1 + sin
2
x
.
5
.
R
4
p
1 +
3
√
x
12
√
x
5
dx.
6
.
R
dx
x
+
√
x
2
+
x
+ 1
.
7
.
R
e
2
x
dx
sh
4
x
.
8
.
R
dx
1 + cos
2
x
.
9
.
R
x
ln(1 +
x
3
)
dx.
10
.
R
x
ln
x
p
(
x
2
−
1)
3
dx.
11
.
R
xe
x
2
(
x
2
+ 1)
dx.
12
.
R
dx
sin
5
x
cos
5
x
.
13
.
R
arccos
3
x
−
1
√
1
−
x
2
dx.
14
.
R
min(
|
sin
x
|
,
|
cos
x
|
)
dx.
15
.
R
3
p
1
−
4
√
x
√
x
dx.
16
.
R
cos
x
sin
x
−
sin
2
x
2 sin
x
+ 3 cos
x
dx.
17
.
R
arcsin tg
x
cos
2
x
dx.
18
.
R
sh
ax
cos
bxdx, a
2
+
b
2
6
= 0
.
19
.
R
x
ln(
x
+
√
x
2
+ 1)
√
x
2
+ 1
dx.
20
.
R
xdx
1 + sin
x
.
21
.
π
4
R
−
arcsin
2
√
3
2
−
tg
x
(sin
x
+ 3 cos
x
)
2
dx.
22
.
1
R
0
4
√
1
−
x
−
√
2
x
+ 1
(
√
2
x
+ 1 + 4
√
1
−
x
)(2
x
+ 1)
2
dx.
23
.
6
R
3
√
x
2
−
9
x
4
dx.
24
.
√
8
R
√
3
x
+
1
x
√
x
2
+ 1
dx.
25. Доказать, что если функция
f
монотонна на отрезке
[0
,
1]
, то
1
Z
0
f
(
x
)
dx
−
1
n
n
X
k
=1
f
k
n
=
O
1
n
, n
→ ∞
.
26. Вычислить интеграл от разрывной ограниченной функции
6
R
0
[
x
] sin
πx
6
dx
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
2
π
t
−
sin
t
,
y
(
t
) = 1
−
cos
t
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
= 3(1 + cos 2
ϕ
)
.
29. Найти длину дуги границы области, ограниченной кривыми
r
=
1
4 sin
2
ϕ
2
,
r
= 1 + cos
ϕ
.
30. Найти объем тела, образованного вращением петли кривой
x
= 2
t
−
t
2
,
y
= 4
t
−
t
3
вокруг оси ОХ.
28
Вариант 25
Найти интегралы.
1
.
R
x
4
(
a
2
+
x
2
)
2
dx.
2
.
R
2 ln
x
+ 3
x
p
3
−
ln
2
x
dx.
3
.
R
3
x
3
+
x
+ 46
(
x
−
1)
2
(
x
2
+ 9)
dx.
4
.
R
dx
sin
2
x
−
sin 2
x
.
5
.
R
4
p
1 +
3
√
x
2
x
6
√
x
5
dx.
6
.
R
dx
1 +
p
x
(1 +
x
)
2
.
7
.
R
dx
(1 + ch
x
)
2
.
8
.
R
sin
√
xdx.
9
.
R
x
2
−
1
x
−
√
x
2
−
7
dx.
10
.
R
x
4
dx
√
x
2
+ 1
.
11
.
R
dx
x
3
p
(1 +
x
)
3
.
12
.
R
x
4
dx
x
15
−
1
.
13
.
R
xdx
√
x
4
+
x
2
+ 1
.
14
.
R
max(1
−
ln
x,
2 + ln
x
)
dx.
15
.
R
√
tg
x
tg 2
xdx.
16
.
R
cos
xdx
sin
3
x
−
cos
3
x
.
17
.
R
e
x
arcsin
e
x
dx.
18
.
R
ln
|
x
2
+
a
|
dx.
19
.
R
ln(
x
+
√
x
2
+ 1)
(
x
2
+ 1)
√
x
2
+ 1
dx.
20
.
R
arctg
1
x
−
1
dx.
21
.
arcsin
√
2
3
R
π
4
8 tg
xdx
3 cos
2
x
+ 8 sin
2
x
−
7
.
22
.
64
R
1
2 +
3
√
x
(
6
√
x
+ 2
3
√
x
+
√
x
)
√
x
dx.
23
.
4
R
3
3
√
x
−
2
3 +
3
p
(
x
−
2)
2
dx.
24
.
√
8
R
√
3
x
−
1
x
√
x
2
+ 1
dx.
25. Доказать, исходя из определения интеграла, что если функция интегрируема
на отрезке, то она ограничена на нем.
26. Доказать, что
1
<
1
Z
0
1 +
x
20
1 +
x
40
dx <
1 +
1
10
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) = sin 2
t
,
y
(
t
) = sin
t
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
= 3 cos 2
ϕ
.
29. Найти длину дуги кривой
r
=
πa
ϕ
,
ϕ >
0
, находящейся внутри кольца
a
4
≤
r
≤
2
a
.
30. Найти объем тела, образованного вращением фигуры
y
= arcsin
x
,
y
=
−
π
2
,
x
= 1
вокруг прямой
y
=
π
2
.
29
Вариант 26
Найти интегралы.
1
.
R
√
e
3
x
+
e
2
x
dx.
2
.
R
(
√
sin
x
+ cos
x
)
2
dx.
3
.
R
2
x
3
+ 3
x
2
+ 3
x
+ 2
(
x
2
+
x
+ 1)(
x
2
+ 1)
dx.
4
.
R
cos
xdx
2
−
cos
x
.
5
.
R
3
p
1 +
5
√
x
x
15
√
x
4
dx.
6
.
R
x
2
+ 4
x
√
x
2
+ 2
x
+ 2
dx.
7
.
R
√
th
x
sh
x
ch
x
dx.
8
.
R
dx
1
−
x
4
.
9
.
R
ln(
x
+ 1)
√
x
+ 1
dx.
10
.
R
x
2
sh
xdx.
11
.
R
arccos
x
x
2
dx.
12
.
R
xe
4
√
x
dx.
13
.
R
(
|
arctg
x
|
+
|
arcctg
x
|
+ 3)
dx.
14
.
R
x
2
+ ln
x
2
x
dx.
15
.
R
(sin
x
−
cos
x
)
dx
(sin
x
+ cos
x
)
p
sin
x
cos
x
+ sin
2
x
cos
2
x
.
16
.
R
dx
x
3
√
x
+ 1
.
17
.
R
sh
x
arcsin
e
x
dx.
18
.
R
ln
|
x
+
√
x
2
+
a
|
x
2
dx.
19
.
R
xdx
√
1
−
x
2
ln
x
√
1
−
x
.
20
.
R
x
7
arctg
xdx.
21
.
arccos
1
√
26
R
arccos
1
√
10
12
dx
(6 + 5 tg
x
) sin 2
x
.
22
.
4
3
R
16
15
4
√
x
x
2
√
x
−
1
dx.
23
.
q
a
2+
b
2
2
R
q
3
a
2+
b
2
2
dx
p
(
x
2
−
a
2
)(
b
2
−
x
2
)
.
24
.
e
R
1
x
2
+ ln
x
2
√
x
dx.
25. Доказать, что всякая монотонная на отрезке функция интегрируема на
нем.
26. Вычислить определенный интеграл от разрывной ограниченной функции
3
Z
0
sign
(
x
−
x
3
)
dx
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
1
1+
t
2
,
y
(
t
) =
t
(1
−
t
2
)
1+
t
2
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
=
1
cos(
ϕ
−
π
3
)
,
ϕ
= 0
,
ϕ
=
π
2
.
29. Найти длину дуги кривой
r
= sin
4
(
ϕ
4
)
.
30. Найти объем тела, образованного вращением фигуры
y
=
x
(3
−
x
)
,
y
=
x
вокруг прямой
y
=
x
.
30
Вариант 27
Найти интегралы.
1
.
R
3
p
1 +
4
√
x
√
x
dx.
2
.
R
2
−
5 tg
x
(1+cos 2
x
)(
tg
2
x
+ tg
x
+ 3)
dx.
3
.
R
x
3
+
x
2
+ 1
(
x
2
−
x
+ 1)(
x
2
+ 1)
dx.
4
.
R
dx
sin
x
+ 2 cos
x
+ 6
.
5
.
R
5
p
1 +
3
√
x
x
5
√
x
2
dx.
6
.
R
x
3
−
x
−
1
√
x
2
+ 2
x
+ 2
dx.
7
.
R p
1
−
sh
4
xdx.
8
.
R
x
3
dx
(
x
−
1)
12
.
9
.
R
x
3
√
a
+
xdx
;
10
.
R
xdx
x
−
√
x
2
−
1
.
11
.
R
dx
ae
mx
+
b
−
mx
.
12
.
R
x
√
1 +
x
√
1
−
x
dx.
13
.
R
cos 2
x
−
√
sin 2
x
√
sin
x
cos
3
x
dx.
14
.
R
min(ln
2
x,
−
5 ln
x
−
6)
dx.
15
.
R
dx
sin
3
x
+ cos
3
x
.
16
.
R
e
x
(
x
+ 2)
(
x
+ 3)
2
dx.
17
.
R
sh
x
arctg(sh
x
)
dx.
18
.
R
ln
x
√
x
+
a
dx, a >
0
.
19
.
R
dx
3
√
tg 5
x
.
20
.
R
ln
x
−
1
ln
2
x
dx.
21
.
π
3
R
0
tg
2
x
4 + 3 cos 2
x
dx.
22
.
6
R
0
e
√
(6
−
x
)(6+
x
)
(6 +
x
)
√
36
−
x
2
dx.
23
.
2
π
R
0
(3
−
7
x
2
) cos 2
xdx.
24
.
2
π
R
0
dx
2
−
sin
x
.
25. Пусть функция
f
интегрируема на отрезке
[
a, b
]
. Доказать, что равенство
b
R
a
f
2
(
x
)
dx
= 0
имеет место тогда и только тогда, когда
f
(
x
) = 0
во всех точках
непрерывности функции
f
.
26. Доказать неравенство
0
<
200
Z
0
e
−
5
x
dx
x
+ 20
<
0
.
01
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
t
(1
−
t
2
)
1+3
t
2
,
y
(
t
) =
4
t
2
1+3
t
2
.
28. Найти площадь, ограниченную кривой
r
= 2
e
3
ϕ
,
π
6
≤
ϕ
≤
π
3
.
29. Найти длину дуги кривой
r
=
1
sin
3
(
ϕ
3
)
.
30. Найти объем тела, образованного вращением фигуры
y
=
x
(3
−
x
)
,
y
=
x
вокруг оси ОУ.