ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 360
Скачиваний: 3
16
Вариант 13
Найти интегралы.
1
.
R
dx
√
x
(1 +
3
√
x
)
.
2
.
R
dx
x
√
x
4
+ 3
x
2
+ 1
.
3
.
R
x
2
+
x
+ 2
(
x
+ 2)
x
3
dx.
4
.
R
sin 2
x
1 + sin
2
x
dx.
5
.
R
p
1 +
3
√
x
2
x
2
dx.
6
.
R
dx
√
x
+ 1 +
3
√
x
.
7
.
R
ch
4
xdx.
8
.
R
xdx
cos
2
3
x
.
9
.
R
sin
3
x
5
√
cos
3
x
dx.
10
.
R
sin(
π
4
−
x
) sin(
π
4
+
x
)
dx.
11
.
R
dx
3
√
1 +
x
2
.
12
.
R
x
√
x
2
+ 2
x
+ 2
dx.
13
.
R
x
2
+ 1
(
x
3
+ 3
x
+ 1)
5
dx.
14
.
R
max(arcsin
x,
π
6
)
dx.
15
.
R
ln(
−
x
+
√
1 +
x
2
)
dx.
16
.
R
arcsin
2
xdx.
17
.
R
arcsin
xdx
(1
−
x
2
)
√
1
−
x
2
.
18
.
R
dx
1 + 2
a
cos
x
+
a
2
.
19
.
R
x
2
ln
2
xdx.
20
.
R
x
cos
x
−
sin
x
x
2
dx.
21
.
arcsin
√
3
7
R
0
tg
2
xdx
3 sin
2
x
+ 4 cos
2
x
−
7
.
22
.
0
R
−
1
2
xdx
2 +
√
2
x
+ 1
.
23
.
0
R
−
2
(
x
2
+ 2)
e
x
2
dx.
24
.
1
R
0
xdx
x
4
+ 1
.
25. Доказать, что если функция
f
убывает на
[0
,
1]
, то для любого
Θ
∈
(0
,
1)
выполняется неравенство
Θ
1
R
0
f
(
x
)
dx
≤
Θ
R
0
f
(
x
)
dx
.
26. Доказать, что
0
.
03
<
1
Z
0
x
7
(
e
x
+
e
−
x
)
√
1 +
x
2
dx <
0
.
05
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
t
3
t
3
+1
, y
(
t
) =
t
2
t
3
+1
, x
= 0
, x
= 2
.
28. Найти площадь, ограниченную кривыми
r
= 2
cos
2
ϕ
sin
ϕ
, r
=
1
sin
ϕ
.
29. Найти длину дуги кривой
x
= 2 sin
2
t, y
= 2 cos
t.
30. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг полярного
луча графика функции
r
=
√
cos 2
ϕ,
0
≤
ϕ
≤
π
4
.
17
Вариант 14
Найти интегралы.
1
.
R
5
√
x
dx.
2
.
R
x
−
x
3
√
1 +
x
2
+
x
4
dx.
3
.
R
2
x
3
+ 6
x
2
+ 5
x
(
x
+ 2)(
x
+ 1)
3
dx.
4
.
R
sin
x
2 sin
x
+ 3 cos
x
dx.
5
.
R
3
p
(1 +
√
x
)
2
x
6
√
x
5
dx.
6
.
R
dx
3
p
x
(
x
+ 1)
2
.
7
.
R
ln(
x
+ 1)
x
2
dx.
8
.
R
x
2
e
x
2
dx.
9
.
R
tg
3
(
x
2
+
π
4
)
dx.
10
.
R
sin
2
x
cos
6
x
dx.
11
.
R
dx
x
√
1
−
x
2
.
12
.
R
1 +
√
ctg
x
sin
2
x
dx.
13
.
R
1 + ln(
x
−
1)
x
−
1
dx.
14
.
R
min(arccos
x,
π
3
)
dx.
15
.
R
(ln
x
+ 1)
2
dx.
16
.
R
(
e
x
+ cos
x
)
2
dx.
17
.
R
√
1
−
x
2
arcsin
xdx.
18
.
R
(
a
+ cos
x
)
dx
1 + 2
a
cos
x
+
a
2
.
19
.
R
ln
x
x
2
dx.
20
.
R
e
x
+
e
3
x
1
−
e
2
x
+
e
4
x
dx.
21
.
π
4
R
0
7 + 3 tg
x
(sin
x
+ 2 cos
2
x
)
2
dx.
22
.
4
R
0
e
√
4
−
x
4+
x
dx
(4 +
x
)
√
16
−
x
2
.
23
.
8
R
1
ln
2
x
3
√
x
2
dx.
24
.
√
8
R
√
3
x
−
1
x
√
x
2
+ 1
dx.
25. Если функция
f
(
x
)
интегрируема на некотором отрезке и не обращается
на нем в нуль, то будет ли на этом отрезке всегда интегрируема функция
1
f
(
x
)
?
Ответ обосновать.
26. Найти определенный интеграл от разрывной ограниченной функции
7
Z
0
(
x
−
1)(1 + (
−
1)
[
x
]
)
dx.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) = 4(
t
−
sin
t
)
,
y
(
t
) = 4(1
−
cos
t
)
,
y
= 4
;
(
x
∈
(0
,
8
π
)
, y
≥
4)
.
28. Найти площадь, ограниченную кривыми
r
= 2
|
tg
ϕ
|
,
r
=
1
cos
ϕ
.
29. Найти длину дуги кривой
x
= 8
t
3
,
y
= 3(2
t
2
−
t
4
)
,
y
≥
0
.
30. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры,
ограниченной кривой
(
x
2
+
y
2
)
3
=
x
4
.
18
Вариант 15
Найти интегралы.
1
.
R
sin
4
x
cos
2
xdx.
2
.
R
(1
−
3
x
)
√
1 +
x
−
x
2
dx.
3
.
R
2
x
3
+ 6
x
2
+ 5
x
+ 4
(
x
−
2)(
x
+ 1)
3
dx.
4
.
R
dx
3 + ctg
x
.
5
.
R
3
q
(1 +
3
√
x
2
)
2
x
2
9
√
x
dx.
6
.
R
3
q
x
+ 1
x
−
1
dx.
7
.
R
arctg
1
x
−
1
dx.
8
.
R
x
sin
2
xdx.
9
.
R
sec
2
x
p
tg
2
x
+ 4 tg
x
+ 1
dx.
10
.
R
dx
(2 + cos
x
)(3 + cos
x
)
.
11
.
R
dx
sin
x
sin 2
x
.
12
.
R
5
x dx
√
1 +
x
4
.
13
.
R
x
3
dx
√
x
2
−
1
.
14
.
R
(
|
arccos
x
|
+
|
arcsin
x
|
)
dx.
15
.
R
1
−
√
x
3
√
x
+1
dx.
16
.
R
(
e
x
−
sin
x
)
2
dx.
17
.
R
x
arcsin
x
(
x
2
−
1)
√
1
−
x
2
dx.
18
.
R
tg
x
tg(
x
+
a
)
dx.
19
.
R
x
3
ln
|
x
+ 3
x
−
3
|
dx.
20
.
R
dx
2
−
e
x
−
e
2
x
.
21
.
arcsin
3
√
10
R
arcsin
2
√
5
2 tg
x
+ 5
(5
−
tg
x
) sin 2
x
dx.
22
.
1
R
1
8
15
√
x
+ 3
(
x
+ 3)
2
√
x
dx.
23
.
0
R
−
1
(
x
+ 2)
3
ln
2
(
x
+ 2)
dx.
24
.
√
3
R
0
(
x
3
−
arctg
x
)
4
x
2
+ 1
dx.
25. Будет ли интегрируема на отрезке функция, у которой интегрируема
на этом отрезке ее абсолютная величина? Ответ обосновать.
26. Доказать, что
1
8
<
π
6
2
Z
0
sin(
π
6
(
x
+ 1))
(
x
+ 1)(3
−
x
)
dx <
1
6
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) = cos
t
,
y
(
t
) =
sin
2
t
2+sin
t
.
28. Найти площадь, ограниченную кривыми
r
=
√
3 sin
ϕ
,
r
≥
2 sin
2
ϕ
2
.
29. Найти длину дуги кривой, заданной параметрически
x
= 6
−
3
t
2
,
y
= 4
t
3
,
x
≥
0
.
30. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной
кривой
x
4
+
y
4
= 2
xy
2
, вокруг оси ОХ.
19
Вариант 16
Найти интегралы.
1
.
R
sin
2
x
cos
3
xdx.
2
.
R
dx
(
x
−
1)
√
4
x
2
−
10
x
+ 7
.
3
.
R
x
3
+ 6
x
2
+ 10
x
+ 12
(
x
−
2)(
x
+ 2)
3
dx.
4
.
R
dx
3 + tg
x
.
5
.
R
3
p
(1 +
3
√
x
)
2
x
9
√
x
5
dx.
6
.
R
dx
3
p
(
x
+ 1)
2
(
x
−
1)
7
.
7
.
R
xe
x
dx
(
x
+ 1)
2
.
8
.
R
x
arctg(2
x
+ 3)
dx.
9
.
R
cos(ln
x
)
dx.
10
.
R
arctg
x
x
2
dx.
11
.
R
cos
axdx
p
a
2
+ sin
2
ax
.
12
.
R
dx
sin
x
sin
2
x
.
13
.
R
xdx
√
x
4
−
x
2
−
1
.
14
.
R
max(arcsin
x,
arccos
x
)
dx.
15
.
R
4
q
2
−
x
1
−
x
dx.
16
.
R
dx
sin
6
x
−
cos
6
x
.
17
.
R
(
1 +
x
2
) arcsin
x
x
2
√
1
−
x
2
dx.
18
.
R
dx
tg
2
x
+
a
.
19
.
R
1
x
2
ln
|
x
+ 2
x
−
2
|
dx.
20
.
R
dx
1 +
e
x
+
e
2
x
+
e
3
x
.
21
.
0
R
−
arccos
1
√
10
3 tg
2
x
−
50
2 tg
x
+ 7
dx.
22
.
1
R
−
5
3
3
√
3
x
+ 5 + 2
1 +
3
√
3
x
+ 5
dx.
23
.
e
R
1
√
x
ln
2
xdx.
24
.
π
4
R
0
2 cos
x
+ 3 sin
x
(2 sin
x
−
3 cos
x
)
3
dx.
25. Функция
f
непрерывна на отрезке
[0
,
1]
, причем
1
R
0
f
(
x
)
dx >
0
. Доказать,
что существует отрезок
[
a, b
]
⊂
[0
,
1]
, на котором
f
(
x
)
>
0
.
26. Вычислить интеграл от разрывной ограниченной функции
3
π
Z
0
sin
x sign
(sin
x
cos
x
)
dx.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
√
t
(1+
t
2
)
2
,
y
(
t
) =
t
√
t
(1+
t
2
)
2
.
28. Найти площадь, ограниченную кривыми
r
= 2
−
cos
ϕ
,
r
= cos
ϕ
.
29. Найти длину дуги кривой
x
= sin
4
t
,
y
= cos
2
t
,
0
≤
t
≤
π
2
.
30. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ
кривой
x
= 2
√
3 cos
t
,
y
= sin 2
t
.
20
Вариант 17
Найти интегралы:
1
.
R
dx
cos
3
x
.
2
.
R
e
2
x
dx
√
e
2
x
−
5
e
x
+ 6
.
3
.
R
x
3
+ 6
x
2
+ 15
x
+ 2
(
x
−
2)(
x
+ 2)
3
dx.
4
.
R
sin
2
x
cos
x
sin
x
+ cos
x
dx.
5
.
R
3
p
1 +
3
√
x
2
x
9
√
x
8
dx.
6
.
R
dx
(
x
−
1)
3
√
x
.
7
.
R
x
7
e
−
x
2
dx.
8
.
R
dx
sin
4
x
+ cos
4
x
.
9
.
R
x
+ sin
x
1 + cos
x
dx.
10
.
R
e
sin
x
x
cos
3
x
−
sin
x
cos
2
x
dx.
11
.
R
x
2
−
8
x
+ 7
(
x
2
−
3
x
−
10)
2
dx.
12
.
R
arctg(1 +
√
x
)
dx.
13
.
R
x
3
+
x
x
4
+ 1
dx.
14
.
R
min(arctg
x,
arcctg
x
)
dx.
15
.
R
1
−
3
√
x
1 +
3
√
x
dx.
16
.
R
arccos
2
xdx.
17
.
R
√
x
arcsin
√
1
−
xdx.
18
.
R
dx
a
2
cos
2
x
+
b
2
sin
2
x
, ab
6
= 0
.
19
.
R
ln
|
x
|
(
x
+ 2)
2
dx.
20
.
R
dx
(
e
x
+ 1)
4
.
21
.
π
4
R
0
5 tg
x
+ 2
2 sin 2
x
+ 5
dx.
22
.
3
R
2
q
3
−
2
x
2
x
−
7
dx.
23
.
1
R
0
x
2
e
3
x
dx.
24
.
2
R
0
x
3
dx
x
2
+ 4
.
25. Доказать, что если функция разрывна в каждой точке отрезка, то она
не интегрируема на этом отрезке.
26. Доказать, что
2
π
ln
π
+ 2
2
<
π
2
Z
0
sin
x
x
(
x
+ 1)
dx <
ln
π
+ 2
2
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) = cos 3
t
,
y
(
t
) = sin
t
.
28. Найти площадь, ограниченную кривыми
r
= 2 cos
ϕ
,
r
=
sin
ϕ
cos
2
ϕ
,
ϕ
= 0
.
29. Найти длину дуги петли
x
=
t
2
,
y
=
t
(
1
3
−
t
2
)
.
30. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ
кривой
x
=
t
3
3
,
y
= 4
−
t
2
2
,
|
t
| ≤
2
√
2
.