ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 291
Скачиваний: 1
— 11 —
7.4. Можно ли в пространстве
C
1
[
a, b
]
непрерывно дифференцируемых на
[
a, b
]
функций принять за норму следующие выражения :
а)
|
x
(
a
)
−
x
(
b
)
|
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
,
б)
|
x
(
a
)
|
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
,
в)
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
dt
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
,
г)
|
x
(
a
)
|
+
Z
b
a
|
x
0
(
t
)
|
dt
?
7.5. Пусть
M
– ЛМ в
E
– ЛНП. Показать, что замыкание
M
– подпро-
странство
E
.
7.6. Показать, что в задачах 6.13 и 6.14 множества
M
n
, N
n
, N
1
являются
подпространствами в
l
2
.
7.7. Доказать, что в линейном нормированном пространстве замыкание
выпуклого множества есть выпуклое множество.
7.8. Показать, что всякий шар в линейном нормированном пространстве
есть выпуклое множество.
7.9. Показать, что замыкание открытого шара в линейном нормированном
пространстве есть соответствующий замкнутый шар.
7.10. Пусть для двух замкнутых шаров в линейном нормированном про-
странстве выполнено включение
B
[
a
1
, r
1
]
⊂
B
[
a
2
, r
2
]
. Доказать, что
r
1
≤
r
2
и
k
a
1
−
a
2
k ≤
r
2
−
r
1
.
7.11. Показать, что внутренность замкнутого шара в линейном нормиро-
ванном пространстве есть соответствующий открытый шар.
7.12. Показать, что аксиому 3) в определении нормы можно заменить усло-
вием выпуклости единичного шара
B
[
θ,
1] =
{
x
| k
x
k ≤
1
}
.
7.13. Пусть
A
и
B
– множества в линейном нормированном пространстве.
Доказать, что :
1) если множества
A
и
B
ограничены, то множество
A
+
B
ограничено ;
2) если множество
A
открыто, то для произвольного множества
B
множество
A
+
B
открыто ;
3) если множество
A
замкнуто, а множество
B
компактно, то множество
A
+
B
замкнуто ;
4) если множества
A
и
B
компактны, то и множество
A
+
B
компактное.
7.14. Доказать, непосредственно получая необходимые оценки, эквивалент-
ность в
R
n
норм:
k
x
k
1
,
k
x
k
2
,
k
x
k
∞
.
7.15. Доказать, что в линейном пространстве
C
[
a, b
]
не эквивалентны
нормы
k
x
k
= max
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
|
,
k
x
k
1
=
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
dt.
7.16. Доказать, что в пространстве
C
1
[
a, b
]
эквивалентны нормы :
— 12 —
а)
k
x
k
1
= max
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
|
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
,
б)
k
x
k
2
=
|
x
(
a
)
|
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
,
в)
k
x
k
3
=
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
dt
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
?
7.17. Методом последовательных приближений, считая
x
o
(
t
)
≡
0
, найти
решения следующих уравнений Вольтерра :
1)
x
(
t
) = 1 +
Z
t
0
x
(
s
)
ds,
2)
x
(
t
) =
t
−
Z
t
0
(
t
−
s
)
x
(
s
)
ds.
8. Пространства со скалярным произведением
8.1. В пространстве со скалярным произведением доказать равенство па-
раллелограмма
k
x
+
y
k
2
+
k
x
−
y
k
2
= 2(
k
x
k
2
+
k
y
k
2
)
.
8.2. Доказать, что в вещественном пространстве со скалярным произведе-
нием
4(
x, y
) =
k
x
+
y
k
2
− k
x
−
y
k
2
.
8.3. Доказать, что в комплексном пространстве со скалярным произведе-
нием
4(
x, y
) = (
k
x
+
y
k
2
− k
x
−
y
k
2
) +
i
(
k
x
+
iy
k
2
− k
x
−
iy
k
2
)
.
8.4. Пусть
H
– ПСП,
x
∈
H
и последовательность
{
x
n
} ⊂
H
такие, что
при
n
→ ∞
выполнено
(
k
x
n
k → k
x
k
)
∧
(
∀
h
∈
H
)[(
x
n
, h
)
→
(
x, h
)]
.
Доказать,
что
k
x
n
−
x
k →
0
.
8.5. Пусть
H
– ПСП, последовательности
{
x
n
}
,
{
y
n
} ⊂
H
такие, что
k
x
n
k ≤
1
,
k
y
n
k ≤
1
и
(
x
n
, y
n
)
→
1
при
n
→ ∞
. Доказать, что
k
x
n
−
y
n
k →
0
.
8.6. Пусть
x, y
∈
H
– ПСП. Для того чтобы
x
⊥
y
необходимо, а в веще-
ственном пространстве
H
и достаточно, чтобы
k
x
+
y
k
2
=
k
x
k
2
+
k
y
k
2
.
8.7. Доказать, что в комплексном пространстве со скалярным произведе-
нием для выполнения
x
⊥
y
достаточно чтобы
k
x
+
λy
k
2
=
k
x
k
2
+
k
y
k
2
для
λ
= 1
и
λ
=
i
.
8.8. Доказать, что в
H
– ПСП
|
(
x, y
)
|
=
k
x
k k
y
k
тогда и только тогда,
когда
x, y
∈
H
линейно зависимы.
8.9. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением два векто-
ра
x
и
y
лежат на одном луче (
x
= Θ
или
y
=
λx
при некотором
λ
≥
0
) тогда
и только тогда, когда
k
x
+
y
k
=
k
x
k
+
k
y
k
.
8.10. Доказать, что в
H
– ПСП для любого множества
M
⊂
H
выполняется
включение
M
⊂
(
M
⊥
)
⊥
.
8.11. Доказать, что для произвольного множества
M
⊂
H
– ПСП множе-
ство
M
⊥
является подпространством
H
.
8.12. Доказать, что для произвольного множества
M
⊂
H
, где
H
– ГП,
равенство
M
= (
M
⊥
)
⊥
выполняется тогда и только тогда, когда
M
– подпро-
странство
H
.
— 13 —
8.13. Пусть
M
и
N
– такие подпространства
H
– ГП, что
H
=
M
⊕
N
.
Верно ли, что тогда
N
=
M
⊥
?
8.14. Показать, что в
l
2
– ГП выполняется
N
n
=
M
⊥
n
, где
M
n
и
N
n
из задачи
6.13.
8.15. Доказать, что элемент
x
∈
H
– ГП ортогонален подпространству
M
⊂
H
тогда и только тогда, когда
(
∀
y
∈
M
)(
k
x
k ≤ k
x
−
y
k
)
.
8.16. Пусть
M
и
N
– подпространства
H
– ГП. Пусть
M
⊥
N
. Доказать,
что
M
+
N
подпространство
H
.
8.17. Пусть
M
– одномерное подпространство
H
– ГП, элемент
a
∈
M
и
a
6
=
θ
. Доказать, что
(
∀
x
∈
H
)
³
inf
y
∈
M
⊥
k
x
−
y
k
=
|
(
x, a
)
|
k
a
k
´
.
8.18. В
C
2
[
−
1
,
1]
– ПСП провести процесс ортогонализации для элементов
1
, t, t
2
, t
3
.
8.19. Пусть
{
e
n
}
∞
n
=1
– ортонормированная система элементов в
H
– ГП и
{
λ
n
}
– последовательность чисел. Доказать, что ряд
P
∞
n
=1
λ
n
e
n
сходится в
H
тогда и только тогда, когда сходится числовой ряд
P
∞
n
=1
|
λ
n
|
2
.
9. Множества меры нуль на отрезке
9.1. Доказать, что всякое конечное или счетное множество является мно-
жеством меры нуль .
9.2. Пусть
B
⊂
A
и
A
– ММН. Показать, что и
B
– ММН.
9.3. Доказать, что любой промежуток (отрезок, интервал, полуинтервал)
не является множеством меры нуль.
9.4. Показать, что в определении множества меры нуль интервалы в по-
крытии можно заменить промежутками.
9.5 .Может ли множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю точку, быть
множеством меры нуль ?
9.6. Пусть множество
F
⊂
[
a, b
]
такое, что
F
= [
a, b
]
\
S
i
∆
i
, где
{
∆
i
}
–
конечная или счетная система интервалов такая, что
∆
i
∩
∆
j
=
∅
(
i
6
=
j
)
и
P
i
|
∆
i
|
=
b
−
a
. Доказать, что
F
– ММН.
9.7. Можно ли построить на отрезке
[
a, b
]
замкнутое множество полной
меры, отличное от всего отрезка ?
9.8. Пусть множество
A
⊂
[
a, b
]
и
A
– ММН. Является ли его замыкание
A
также множеством меры нуль ?
9.9. Доказать, что всякое замкнутое множество меры нуль является нигде
не плотным.
— 14 —
9.10. Известно, что сумма длин интервалов, смежных к замкнутому мно-
жеству
F
⊂
[
a, b
]
, меньше
b
−
a
. Показать, что
F
не является множеством
меры нуль.
9.11. Пусть
A
– ММН на отрезке
[0
,
1]
и нигде не плотно на этом отрезке.
Является ли его замыкание
A
– ММН ?
9.12. Множество
A
⊂
[
a, b
]
назовем множеством меры нуль, если
A
можно
покрыть счетной системой интервалов, с конечной суммой длин, таким обра-
зом, что любая точка множества
A
окажется покрытой бесконечным числом
этих интервалов. Доказать эквивалентность этого определения множества
меры нуль первоначальному.
9.13. Доказать, что множества Кантора (нулевой и ненулевой меры) явля-
ются нигде не плотными.
9.14. Пусть почти всюду на
[
a, b
]
задана последовательность функций
{
f
n
(
t
)
}
такая, что при
n
→ ∞
выполнено
f
n
(
t
)
п.в.
→
f
(
t
)
и
f
n
(
t
)
п.в.
→
g
(
t
)
.
Показать, что
f
(
t
)
п.в.
=
g
(
t
)
.
10. Измеримые на отрезке функции и класс функций
C
+
10.1. Показать, что всякая ступенчатая функция измерима.
10.2. Показать, что на
[0
,
1]
измеримы функции:
x
(
t
) =
½
0
,
t
∈
[0
,
1]
\
Q
1
,
t
∈
[0
,
1]
∩
Q
,
y
(
t
) =
½
1
,
t
∈
[0
,
1]
\
Q
0
,
t
∈
[0
,
1]
∩
Q
.
10.3. Показать, что если функции
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
и
x
(
t
)
измерима, то и
y
(
t
)
измерима.
10.4. Пусть множество
A
⊂
[
a, b
]
. Пусть
χ
A
(
t
) =
½
1
,
t
∈
A
0
,
t
∈
[
a, b
]
\
A
характеристическая функция множества
A
. Пусть
x
(
t
)
– произвольная конеч-
ная п.в. на
[
a, b
]
функция. Показать, что если
A
– ММН, то
y
(
t
) =
χ
A
(
t
)
·
x
(
t
)
– измеримая функция.
10.5. Показать, исходя из определения, измеримость всякой непрерывной
на отрезке
[
a, b
]
функции.
10.6. Показать, что ступенчатые функции принадлежат классу
C
+
.
10.7. Показать, что функции в задачах 10.2 и 10.4 из класса
C
+
.
10.8. Пусть на
[
a, b
]
функции
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
и
x
∈
C
+
. Показать, что тогда и
y
∈
C
+
.
— 15 —
10.9. Пусть на
[
a, b
]
множество
A
=
S
i
∆
i
, где
{
∆
i
}
– конечная или счетная
система интервалов таких, что
∆
i
∩
∆
j
=
∅
(
i
6
=
j
)
. Показать, что характе-
ристическая функция
χ
A
∈
C
+
.
10.10. Показать, что существует замкнутое множество
F
⊂
[0
,
1]
такое, что
его характеристическая функция
χ
F
/
∈
C
+
.
10.11. Привести примеры функций
x
(
t
)
и
y
(
t
)
из класса
C
+
таких, что
функции:
−
x
(
t
)
,
|
x
(
t
)
|
,
x
(
t
)
−
y
(
t
)
не принадлежат
C
+
.
10.12. Показать, что на отрезке
[0
,
1]
функции:
x
(
t
) = ln
t, y
(
t
) =
−
t
−
1
, z
(
t
) = (
t
−
1)
−
1
не принадлежат классу
C
+
.
10.13. Пусть
x
∈
C
+
на
[
a, b
]
и
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
. Тогда
(
C
+
)
Ix
= (
C
+
)
Iy
.
10.14. Вычислить
C
+
-интегралы от ступенчатой функции, а также от
функций, определенных в задачах 10.2, 10.4, 10.9.
10.15. Доказать, что если
x
∈
C
+
и
−
x
∈
C
+
, то
x
(
t
)
интегрируема по
Риману, либо отличается от таковой на множестве меры нуль.
10.16. Доказать, что для
i
= 1
,
2
,
3
,
4
определенные на
[0
,
1]
функции
x
i
(
t
)
принадлежат классу
C
+
, и вычислить
(
C
+
)
Ix
i
:
а)
x
1
(
t
) =
½
t
2
,
t
−
иррациональное
t
3
,
t
−
рациональное
;
б)
x
2
(
t
) =
t
2
,
(
t
−
иррациональное
)
∧
(
t >
1
/
3)
t
3
,
(
t
−
иррациональное
)
∧
(
t <
1
/
3)
t
4
,
t
−
рациональное
;
в)
A
– ММН на
[0
,
1]
и множество
E
– произвольное
x
3
(
t
) =
½
t
2
,
t
∈
A
∩
E
t
3
,
t
∈
[0
,
1]
\
(
A
∩
E
)
;
г)
D
– канторово ММН на
[0
,
1]
x
4
(
t
) =
sin
πt,
t
∈
[0
,
1
/
2)
∩
([0
,
1]
\
D
)
cos
πt,
t
∈
[1
/
2
,
1]
∩
([0
,
1]
\
D
)
sin
πt
+ cos
πt,
t
∈
D
.
10.17. Может ли быть интегрируемой по Риману на
[
a, b
]
функция, раз-
рывная во всех точках непустого открытого множества
G
⊂
[
a, b
]
?
10.18. Показать на примере, что из интегрируемости по Риману функции
на всяком отрезке
[
α, β
]
, где
a < α < β < b
, еще не следует, что она интегри-
руема на
[
a, b
]
.