ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1093
Скачиваний: 18
этом состоит обратный ход метода Гаусса.
Рассмотрим систему:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
,
(90)
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
b
2
,
(91)
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
=
b
3
.
(92)
Для того, чтобы исключить
x
1
из второго уравнения, прибавим к
нему первое, умноженное на
−
a
21
a
11
.
Далее, умножим первое уравнение на
−
a
31
a
11
и сложим с третьим. В результате у нас получится система уравне-
81
ний
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
,
(93)
a
0
22
x
2
+
a
0
23
x
3
=
b
0
2
,
(94)
a
0
32
x
2
+
a
0
33
x
3
=
b
0
3
,
(95)
где
a
0
ij
=
a
ij
−
a
i
1
a
11
a
1
j
,
i, j
= 2
,
3
,
(96)
b
0
i
=
b
i
−
a
i
1
a
11
b
1
,
i
= 2
,
3
.
(97)
Далее исключаем из третьего уравнения
x
2
. Для этого надо умно-
жить второе уравнение на
−
a
0
32
a
0
22
82
и сложить с третьим. В результате
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
,
(98)
a
0
22
x
2
+
a
0
23
x
3
=
b
0
2
,
(99)
a
00
33
x
3
=
b
00
3
,
(100)
где
a
00
ij
=
a
0
ij
−
a
0
i
2
a
0
22
a
0
2
j
,
i, j
= 3
,
(101)
b
00
i
=
b
0
i
−
a
0
i
2
a
0
22
b
0
2
,
i
= 3
.
(102)
Далее начинается обратный ход метода.
В процессе исключения неизвестных необходимо выполнять опе-
рацию деления на коэффициенты
a
11
,
a
0
22
(ведущие элементы). Они
должны быть отличны от нуля. Если это не так, то необходимо соот-
ветствующим образом переставить уравнения системы, что должно
быть предусмотрено в вычислительном алгоритме.
83
Модификацией метода Гаусса является схема с выбором ведущего
элемента. В ней требование неравенства нулю диагональных элемен-
тов
a
ii
заменяется более жестким: из всех оставшихся в
i
-ом столб-
це элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить
уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента
a
ii
.
Благодаря этому уменьшаются множители, используемые для преоб-
разования уравнений, что уменьшает погрешности вычислений. Мо-
дифицированный метод Гаусса обеспечивает приемлемую точность
для систем с
n
.
1000
. Число арифметических действий в методе
Гаусса
.
n
3
, т.е. время, необходимое для решения,
∼
n
3
.
Уточнение корней
Полученные методом Гаусса приближенные значения корней мож-
но уточнить. Пусть для системы
A
x
=
b
найдено приближенное решение
x
0
. Положим
x
=
x
0
+
δ
,
84
где
δ
=
δ
1
,
δ
2
,
....
δ
n
.
Тогда находим
A
(
x
0
+
δ
) =
b
или
A
δ
=
ε
,
где
ε
=
b
−
A
x
0
– невязка для решения
x
0
. Т.о. для нахождения
ε
нужно решить линейную систему с прежней матрицей и другой
правой частью.
85