ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1091
Скачиваний: 18
Замечание.
Уравнение хорды AB может быть переписано в виде
y
−
f
(
b
)
f
(
a
)
−
f
(
b
)
=
b
−
x
b
−
a
.
(23)
Метод хорд как правило обеспечивает более быструю сходимость,
по сравнению с методом деления отрезка пополам. Поэтому можно
сочетать оба метода: после нескольких шагов метода бисекций, когда
корень уже в достаточной степени локализован, переходить к методу
хорд.
21
2.4
Метод Ньютона
Метод Ньютона также называют ме-
тодом касательных. Он отличается от
метода хорд тем, что вместо хорды к
кривой проводится касательная в точ-
ке, абсцисса которой является получен-
ным приближением корня на предыду-
щем шаге. Начинается решение с вы-
бора некоторого нулевого приближе-
ния
x
0
. Положим
x
0
=
b
, причем
f
(
x
0
)
f
00
(
x
0
)
>
0
Уравнение касатель-
ной, проведенной к кривой в точке
B
с координатами
(
x
0
, f
(
x
0
))
записывается в виде:
y
=
f
0
(
x
0
)(
x
−
x
0
) +
f
(
x
0
)
.
(24)
22
Следующее приближение – абсцисса точки пересечения касательной
с осью
x
:
y
= 0
⇒
x
1
=
x
0
−
f
(
x
0
)
f
0
(
x
0
)
.
Формула для
n
-го приближения имеет вид:
x
n
=
x
n
−
1
−
f
(
x
n
−
1
)
f
0
(
x
n
−
1
)
,
n
= 1
,
2
, ... .
Если в нашем случае взять
x
0
=
a
, то на следующем шаге мы вый-
дем за пределы отрезка
[
a, b
]
, что является непрактичным. Причем
можно доказать общее правило:
в качестве исходной точки
x
0
выбирается тот конец отрезка
[
a, b
]
,
чтобы
f
(
x
0
)
f
00
(
x
0
)
>
0
.
Условие прекращения итераций
x
n
−
x
n
−
1
< ε.
(25)
23
Самым существенным отличием метода Ньютона от предыдущих
– необходимость вычисления производной функции.
2.5
Метод итерации
Метод итерации является одним из наиболее важных способов чис-
ленного решения уравнения.
Перепишем наше уравнение в виде:
x
=
ϕ
(
x
)
Если у нас есть начальное приближение
x
0
, то следующее прибли-
жение находим как
x
1
=
ϕ
(
x
0
)
Повторяя этот процесс, получим последовательность чисел
x
n
=
ϕ
(
x
n
−
1
)
.
Предел этой последовательности (если он существует) является кор-
нем уравнения.
24
3
Аппроксимация функций
3.1
Постановка задачи
Пусть некоторая величина
y
является функцией аргумента
x
, но
явная связь между
y
и
x
неизвестна (либо известная зависимость
y
=
f
(
x
)
слишком громоздка для численных расчетов). Допустим,
что в результате экспериментов получена таблица значений
{
x
i
, y
i
}
,
требуется же получить значения
y
в других точках, отличных от
узлов
x
i
. Эта проблема решается в задаче о приближении (аппрок-
симации) функции: функцию
f
(
x
)
, явный вид которой неизвестен,
требуется приближенно заменить некоторой функцией
ϕ
(
x
)
(наз. ап-
проксимирующей), так чтобы отклонение от
f
(
x
)
в заданной области
было наименьшим. Построенная таким образом аппроксимация на-
зывается точечной (примеры: интерполирование, среднеквадратич-
ное приближение и т.д.)
Одним из основных типов точечной аппроксимации является ин-
25