ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 552
Скачиваний: 1
Конечные последовательности испытаний
Определение:
Последовательность испытаний, в которой условные вероятности
p
(
l
t
|
l
1
. . .
l
t
−
1
)
не зависят от
l
1
, . . . ,
l
t
−
2
,
p
(
l
t
|
l
1
. . .
l
t
−
1
) =
p
(
t
)
l
t
−
1
l
t
называются
цепью Маркова
.
В случае, когда
p
(
l
t
|
l
1
. . .
l
t
−
1
)
не зависят от
l
1
, . . . ,
l
t
−
1
, последовательность
испытаний называется
последовательностью независимых испытаний
.
(ФКН ВГУ)
21 / 67
Последовательность независимых испытаний
Определение:
Под
последовательностью
n
независимых испытаний
, в каждом из
которых может осуществиться один из
N
исходов (обозначим исходы
1
,
2
, . . . ,
N
), мы будем понимать вероятностное пространство
(Ω
,
U
,
P
)
, в
котором
Ω =
{
(
l
1
l
2
. . .
l
n
)
}
,
l
k
= 1
,
2
, . . . ,
N
;
k
= 1
, . . . ,
n
,
и вероятности
p
(
l
1
l
2
. . .
l
n
)
,
приписываемые цепочкам из результатов
отдельных испытаний, задаются формулой
p
(
l
1
l
2
. . .
l
n
) =
p
l
1
p
l
2
· · ·
p
l
n
,
где
p
k
>
0
,
k
= 1
, . . . ,
N
,
P
N
k
=1
p
k
= 1
.
Число
p
k
является вероятностью появления исхода
k
в фиксированном
испытании.
N
X
l
1
,
l
2
,...,
l
n
=1
p
(
l
1
,
l
2
, . . . ,
l
n
) = 1
(ФКН ВГУ)
22 / 67
Последовательность независимых испытаний
Если событие
A
1
(
k
)
заключается в том, что в первом испытании наступил
исход
k
, то
A
1
(
k
) =
{
(
l
1
l
2
. . .
l
n
) :
l
1
=
k
}
,
P
(
A
1
(
k
)) =
N
X
l
2
,...,
l
n
=1
p
k
p
l
2
· · ·
p
l
n
=
p
k
.
Более общий случай:
A
i
1
...
i
s
(
L
1
, . . . ,
L
s
) =
{
(
l
1
l
2
. . .
l
n
) :
l
i
1
=
L
1
, . . . ,
l
i
s
=
L
s
}
,
P
(
A
i
1
...
i
s
(
L
1
, . . . ,
L
s
)) =
p
L
1
p
L
2
· · ·
p
L
s
.
(ФКН ВГУ)
23 / 67
Последовательность независимых испытаний
Теорема:
События
A
=
A
i
1
...
i
s
(
L
1
, . . . ,
L
s
)
и
B
=
B
j
1
...
j
t
(
L
′
1
, . . . ,
L
′
t
)
,
независимы, если
(
i
1
. . .
i
s
)
∩
(
j
1
. . .
j
t
) =
∅
.
Доказательство в частном случае.
Пусть
A
=
{
(
l
1
. . .
l
n
) :
l
1
= 2
}
,
B
=
{
(
l
1
. . .
l
n
) :
l
2
= 1
,
l
4
= 3
}
.
Тогда
AB
=
{
(
l
1
. . .
l
n
) :
l
1
= 2
,
l
2
= 1
,
l
4
= 3
}
.
P
(
A
) =
N
X
l
2
,...,
l
n
=1
p
2
p
l
2
· · ·
p
l
n
=
p
2
,
P
(
B
) =
N
X
l
1
,
l
3
,
l
5
,
l
6
,...,
l
n
=1
p
l
1
p
2
p
l
3
p
3
p
l
5
p
l
6
· · ·
p
l
n
=
p
1
p
3
P
(
AB
) =
N
X
l
2
,
l
5
,
l
6
,...,
l
n
=1
p
2
p
1
p
l
3
p
3
p
l
5
· · ·
p
l
n
=
p
2
p
1
p
3
⇒
P
(
AB
) =
P
(
A
)
P
(
B
)
.
(ФКН ВГУ)
24 / 67
Последовательность независимых испытаний
Испытания Бернулли
Независимые испытания при
N
= 2
называют
испытаниями Бернулли
.
Исходы 1 и 2 называют “успехом” (1) и “неудачей” (0), и их вероятности
p
1
и
p
2
полагают равными
p
и
q
= 1
−
p
.
Элементарные события — цепочки вида (из
n
элементов)
110001
. . .
1
.
Вероятность:
P
(110001
. . .
1) =
p
m
q
n
−
m
,
где
m
— число успехов (1).
(ФКН ВГУ)
25 / 67