ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.04.2021

Просмотров: 552

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

Последовательности испытаний

Конечные последовательности испытаний

Определение:

Последовательность испытаний, в которой условные вероятности

p

(

l

t

|

l

1

. . .

l

t

1

)

не зависят от

l

1

, . . . ,

l

t

2

,

p

(

l

t

|

l

1

. . .

l

t

1

) =

p

(

t

)

l

t

1

l

t

называются

цепью Маркова

.

В случае, когда

p

(

l

t

|

l

1

. . .

l

t

1

)

не зависят от

l

1

, . . . ,

l

t

1

, последовательность

испытаний называется

последовательностью независимых испытаний

.

(ФКН ВГУ)

Теор. вер. и мат. стат.

21 / 67


background image

Последовательности испытаний

Последовательность независимых испытаний

Определение:

Под

последовательностью

n

независимых испытаний

, в каждом из

которых может осуществиться один из

N

исходов (обозначим исходы

1

,

2

, . . . ,

N

), мы будем понимать вероятностное пространство

(Ω

,

U

,

P

)

, в

котором

Ω =

{

(

l

1

l

2

. . .

l

n

)

}

,

l

k

= 1

,

2

, . . . ,

N

;

k

= 1

, . . . ,

n

,

и вероятности

p

(

l

1

l

2

. . .

l

n

)

,

приписываемые цепочкам из результатов

отдельных испытаний, задаются формулой

p

(

l

1

l

2

. . .

l

n

) =

p

l

1

p

l

2

· · ·

p

l

n

,

где

p

k

>

0

,

k

= 1

, . . . ,

N

,

P

N
k

=1

p

k

= 1

.

Число

p

k

является вероятностью появления исхода

k

в фиксированном

испытании.

N

X

l

1

,

l

2

,...,

l

n

=1

p

(

l

1

,

l

2

, . . . ,

l

n

) = 1

(ФКН ВГУ)

Теор. вер. и мат. стат.

22 / 67


background image

Последовательности испытаний

Последовательность независимых испытаний

Если событие

A

1

(

k

)

заключается в том, что в первом испытании наступил

исход

k

, то

A

1

(

k

) =

{

(

l

1

l

2

. . .

l

n

) :

l

1

=

k

}

,

P

(

A

1

(

k

)) =

N

X

l

2

,...,

l

n

=1

p

k

p

l

2

· · ·

p

l

n

=

p

k

.

Более общий случай:

A

i

1

...

i

s

(

L

1

, . . . ,

L

s

) =

{

(

l

1

l

2

. . .

l

n

) :

l

i

1

=

L

1

, . . . ,

l

i

s

=

L

s

}

,

P

(

A

i

1

...

i

s

(

L

1

, . . . ,

L

s

)) =

p

L

1

p

L

2

· · ·

p

L

s

.

(ФКН ВГУ)

Теор. вер. и мат. стат.

23 / 67


background image

Последовательности испытаний

Последовательность независимых испытаний

Теорема:

События

A

=

A

i

1

...

i

s

(

L

1

, . . . ,

L

s

)

и

B

=

B

j

1

...

j

t

(

L

1

, . . . ,

L

t

)

,

независимы, если

(

i

1

. . .

i

s

)

(

j

1

. . .

j

t

) =

.

Доказательство в частном случае.

Пусть

A

=

{

(

l

1

. . .

l

n

) :

l

1

= 2

}

,

B

=

{

(

l

1

. . .

l

n

) :

l

2

= 1

,

l

4

= 3

}

.

Тогда

AB

=

{

(

l

1

. . .

l

n

) :

l

1

= 2

,

l

2

= 1

,

l

4

= 3

}

.

P

(

A

) =

N

X

l

2

,...,

l

n

=1

p

2

p

l

2

· · ·

p

l

n

=

p

2

,

P

(

B

) =

N

X

l

1

,

l

3

,

l

5

,

l

6

,...,

l

n

=1

p

l

1

p

2

p

l

3

p

3

p

l

5

p

l

6

· · ·

p

l

n

=

p

1

p

3

P

(

AB

) =

N

X

l

2

,

l

5

,

l

6

,...,

l

n

=1

p

2

p

1

p

l

3

p

3

p

l

5

· · ·

p

l

n

=

p

2

p

1

p

3

P

(

AB

) =

P

(

A

)

P

(

B

)

.

(ФКН ВГУ)

Теор. вер. и мат. стат.

24 / 67


background image

Последовательности испытаний

Последовательность независимых испытаний

Испытания Бернулли

Независимые испытания при

N

= 2

называют

испытаниями Бернулли

.

Исходы 1 и 2 называют “успехом” (1) и “неудачей” (0), и их вероятности

p

1

и

p

2

полагают равными

p

и

q

= 1

p

.

Элементарные события — цепочки вида (из

n

элементов)

110001

. . .

1

.

Вероятность:

P

(110001

. . .

1) =

p

m

q

n

m

,

где

m

— число успехов (1).

(ФКН ВГУ)

Теор. вер. и мат. стат.

25 / 67