ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3478
Скачиваний: 14
§
16
.
Линейные нормированные пространства
97
12. Покажите, что линейное пространство
C
[
−
1
,
1]
есть прямая сумма под-
пространств нечетных и четных функций (рекомендация: учтите, что
f
(
x
) = [
f
(
x
)
−
f
(
−
x
)]
/
2 + [
f
(
x
) +
f
(
−
x
)]
/
2)
.
13. Найдите размерность произведения
X
1
×
X
2
для линейных
пространств
X
1
и
X
2
.
14. Пусть
X
1
и
X
2
– подпространства из линейного пространства
X
со свой-
ством
dim X
1
+
dim X
2
> dim X.
Докажите, что
dim
(
X
1
T
X
2
)
≥
1
.
15. Для любых подпространств
X
1
X
2
из линейного пространства
X
через
X
1
+
X
2
обозначим множество векторов вида
{
x
1
+
x
2
:
x
1
∈
X
1
, x
2
∈
X
2
}
.
Докажите, что
X
1
+
X
2
- линейное подпространство и
dim
(
X
1
+
X
2
) =
=
dimX
1
+
dimX
2
−
dimX
1
T
X
2
.
16. Докажите, что для любых трех подпространств
X
i
,
1
≤
i
≤
3
линей-
ного пространства
X
имеют место равенства
X
=
X
1
L
X
2
L
X
3
=
(
X
1
L
X
2
)
L
X
3
=
X
1
L
(
X
2
L
X
3
)
.
§
16. Линейные нормированные пространства
Множество, наделенное некоторой структурой, т.е. множество с установ-
ленными соотношениями между его элементами или операциями над ними,
называют
пространством
. Обычно структуру множества относят к числу
геометрических либо алгебраических структур. Так, линейные пространства
есть множества, наделенные определенными алгебраическими структурами.
В этом параграфе мы введем понятие расстояния, которое по своей приро-
де является геометрическим. Определяемые далее линейные нормированные
пространства одновременно наделяются двумя структурами: алгебраической
(являясь линейным пространством) и геометрической (на нем введено поня-
тие расстояния), причем эти структуры определенным образом согласованы.
Определение 1.
Пусть
X
– непустое множество.
Расстоянием
или
метрикой
на
X
называется функция
ρ
:
X
×
X
→
R
, удовлетворяющая
следующим свойствам (аксиомам):
1)
ρ
(
x, y
)
≥
0
,
ρ
(
x, y
) = 0
⇐⇒
x
=
y
(
аксиома тождества
);
2)
ρ
(
x, y
) =
ρ
(
y, x
) (
свойство симметрии
);
3)
ρ
(
x, y
)
≤
ρ
(
x, z
) +
ρ
(
y, z
) (
неравенство треугольника
)
,
которые выполняются для всех элементов
x, y, z
∈
X.
Число
ρ
(
x, y
)
называ-
ется
расстоянием
между элементами
x
и
y
. Множество
X
, на котором опре-
98
Глава 3. Линейная алгебра
делено расстояние
ρ,
называется
метрическим пространством
; для него ис-
пользуется обозначение
(
X, ρ
)
.
Пример 1.
Пусть
X
=
R
или
X
=
C
.
Тогда функция
ρ
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
, ρ
:
X
×
X
→
R
является расстоянием.
Пример 2.
Пусть
X
=
R
n
(
X
=
C
n
)
.
Множество
R
n
(или
C
n
)
стано-
вится метрическим пространством, если ввести расстояние формулой
ρ
(
x, y
) =
n
X
i
=1
|
x
i
−
y
i
|
2
!
1
/
2
.
Пример 3.
Пусть
X
– произвольное непустое множество. Положим
d
(
x, y
) = 1
,
если
x
6
=
y
и
d
(
x, y
) = 0
для
x
=
y.
Функция
d
:
X
×
X
→
R
является расстоянием. Такое метрическое пространство называется
дискрет-
ным
.
Определение 2.
Пусть
X
– метрическое пространство с метрикой
ρ, x
0
∈
X
и
r >
0
.
Множества
B
(
x
0
, r
) =
{
x
∈
X
:
ρ
(
x, x
0
)
< r
}
,
B
(
x
0
, r
) =
{
x
∈
X
:
ρ
(
x, x
0
)
≤
r
}
,
S
(
x
0
, r
) =
{
x
∈
X
:
ρ
(
x, x
0
) =
r
}
=
B
(
x
0
, r
)
\
B
(
x
0
, r
)
называются соответственно
открытым шаром, замкнутым шаром и сферой
с центром в точке
x
0
∈
X
и радиусом
r >
0
.
Отметим, что в дискретном метрическом пространстве сфера
S
(
x
0
, r
)
пуста, если
r <
1
.
Определение 3.
Последовательность
(
x
n
) = (
x
1
, x
2
, . . .
)
элементов мет-
рического пространства
X
называется
сходящейся к элементу
x
0
∈
X,
если
lim
n
→∞
ρ
(
x
n
, x
0
) = 0
или
∀
ε >
0
∃
N
∈
N
,
что
ρ
(
x
n
, x
0
)
< ε
∀
n
∈
N
.
Эле-
мент
x
0
называется пределом последовательности
(
x
n
)
и используется запись
lim
n
→∞
x
n
=
x
0
.
Определение 4.
Последовательность
(
x
n
)
из метрического простран-
ства
X
называется
фундаментальной
или
последовательностью Коши
, если
∀
ε >
0
∃
N
∈
N
такое, что
ρ
(
x
n
, x
m
)
< ε
∀
n, m > N.
Т е о р е м а 1.
Всякая сходящаяся к элементу
x
0
из метрического
пространства
(
X, ρ
)
последовательность
(
x
n
)
является фундаментальной.
Доказательство.
Пусть
ε >
0
.
Из условия сходимости последователь-
ности
(
x
n
)
к элементу
x
0
следует существование числа
n
0
∈
N
такого, что
§
16
.
Линейные нормированные пространства
99
ρ
(
x
n
, x
0
)
< ε/
2
∀
n > n
0
.
Тогда для любых
n, m > n
0
из неравенства тре-
угольника получаем
ρ
(
x
n
, x
m
)
≤
ρ
(
x
n
, x
0
) +
ρ
(
x
m
, x
0
)
< ε.
Теорема доказана.
Определение 5.
Метрическое пространство
X
называется
полным
, ес-
ли всякая фундаментальная последовательность из
X
сходится к некоторому
элементу из
X
.
Отметим, что метрические пространства
R
и
C
полны. Примеры других
полных метрических пространств будут указаны несколько позже.
В линейных пространствах расстояние обычно определяют, используя
понятие нормы (длины) векторов.
Определение 6.
Линейное пространство
X
над полем
K
, которое сов-
падает с
R
либо с
C
, называется
нормированным
, если задана функция
ϕ
:
X
→
R
(величина
ϕ
(
x
)
называется нормой вектора
x
и обозначается
символом
||
x
||
), удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам):
1)
||
x
|| ≥
0
и
||
x
||
= 0
⇐⇒
x
= 0;
2)
||
αx
||
=
|
α
|||
x
||
;
3)
||
x
+
y
|| ≤ ||
x
||
+
||
y
||
,
для любых векторов
x, y
∈
X
и любого числа
α
∈
K
.
Замечание 1.
Любое линейное нормированное пространство
X
являет-
ся метрическим, если положить
ρ
(
x, y
) =
||
x
−
y
||
, x, y
∈
X.
Если выполнение
первых двух свойств расстояния очевидно, то неравенство треугольника сле-
дует из свойства 3) нормы:
ρ
(
x, y
) =
||
x
−
y
||
=
||
x
−
z
+
z
−
y
|| ≤ ||
x
−
z
||
+
||
z
−
y
||
=
ρ
(
x, z
) +
ρ
(
y, z
)
.
Таким образом, все понятия для метрических пространств естественным
образом формулируются для линейных нормированных пространств. Так, на-
пример, последовательность
(
x
n
)
из линейного нормированного пространства
X
называется
сходящейся
к вектору
x
0
∈
X,
если
lim
n
→∞
||
x
n
−
x
0
||
= 0
.
Особо выделим шар
B
(0
,
1) =
{
x
∈
X
:
||
x
|| ≤
1
}
,
который обозначим
символом
B
1
или
B
(1)
.
Рассмотрим несколько примеров линейных нормированных прост-
ранств.
Пример 4.
Линейное пространство
K
n
, где
K
=
R
, либо
K
=
C
,
явля-
ется нормированным. Например, можно ввести на следующие три нормы
100
Глава 3. Линейная алгебра
||
x
||
1
=
n
P
i
=1
|
x
i
|
(октаэдрическая норма),
||
x
||
2
=
n
P
i
=1
|
x
i
|
2
1
/
2
(евклидова норма),
||
x
||
3
= max
1=
i
≤
n
|
x
i
|
(кубическая норма),
где
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
K
n
.
В зависимости от выбора одной из трех указанных норм в
R
2
получаем
следующие три шара
B
(0
,
1)
соответственно
Рис. 14
Пример 5.
Линейное пространство
C
[
a, b
]
является нормированным,
если ввести норму следующей формулой
||
x
||
= max
t
∈
[
a,b
]
|
x
(
t
)
|
, x
∈
C
[
a, b
]
.
Конечность величины
||
x
||
для
x
∈
C
[
a, b
]
следует из теоремы Вейерштрасса.
Первые две аксиомы нормы проверяются совсем легко (проверьте !). Докажем
выполнение третьей аксиомы. Если
x, y, z
– функции из
C
[
a, b
]
, то для любого
t
0
∈
[
a, b
]
имеет место неравенство
|
x
(
t
0
) +
y
(
t
0
)
| ≤ |
x
(
t
0
)
|
+
|
y
(
t
0
)
| ≤
max
t
∈
[
a,b
]
|
x
(
t
)
|
+ max
t
∈
[
a,b
]
|
y
(
t
)
| ≤ ||
x
||
+
||
y
||
и, следовательно,
||
x
+
y
||
= max
t
0
∈
[
a,b
]
|
x
(
t
0
) +
y
(
t
0
)
| ≤ ||
x
||
+
||
y
||
.
Пример 6.
В каждом из линейных пространств
P
n
(
K
)
(где
K
=
R
или
K
=
C
),
C
[
a, b
]
введем в рассмотрение следующие две нормы
||
f
||
1
= max
t
∈
[
a,b
]
|
f
(
t
)
|
,
||
f
||
2
=
b
Z
a
|
f
(
t
)
|
dt,
§
16
.
Линейные нормированные пространства
101
где
a, b
∈
R
и
a < b.
Отметим, что если
||
f
||
1
= 0
,
то
f
(
t
) = 0
∀
t
∈
[
a, b
]
и поэтому в силу основной теоремы высшей алгебры
f
= 0
. Если же
||
f
||
2
=
b
R
a
|
f
(
t
)
|
dt
= 0
,
то из непрерывности функции
ϕ
(
t
) =
|
f
(
t
)
|
следует, что
f
(
t
) = 0
∀
t
∈
[
a, b
]
,
и поэтому снова
f
= 0
. Далее ясно, что
||
αf
||
2
=
b
R
a
|
αf
(
t
)
|
dt
=
|
α
|
b
R
a
|
f
(
t
)
|
dt
=
|
α
| ||
f
||
2
,
т.е. выполнена вторая аксиома нормы.
Если
f, g
∈ P
n
(
K
)
,
то
||
f
+
g
||
2
=
b
R
a
|
f
(
t
) +
g
(
t
)
|
dt
≤
b
R
a
(
|
f
(
t
)
|
+
|
g
(
t
)
|
)
dt
=
b
R
a
|
f
(
t
)
|
dt
+
b
R
a
|
g
(
t
)
|
dt
=
||
f
||
2
+
||
g
||
2
.
Выполнение второй и третьей аксиом
для первой нормы фактически проверено в предыдущем примере.
Определение 7.
Пусть
X
– линейное нормированное пространство и
|| · ||
1
,
|| · ||
2
– две нормы на
X
. Они называются
эквивалентными
, если
существуют две постоянные
C
1
, C
2
>
0
такие, что
C
1
||
x
||
2
≤ ||
x
||
1
≤
C
2
||
x
||
2
∀
x
∈
X
(и, следовательно,
C
−
1
2
||
x
||
1
≤ ||
x
||
2
≤
C
−
1
1
||
x
||
1
)
.
Важным свойством эквивалентных норм является тот факт, что сходи-
мость последовательности
(
x
n
)
из
X
по одной норме влечет ее сходимость
по второй норме.
Т е о р е м а 2.
Введенные в примере 4 нормы эквивалентны.
Доказательство.
Поскольку
||
x
||
1
=
n
P
i
=1
|
x
i
| ≤
n
max
1
≤
k
≤
n
|
x
k
|
=
n
||
x
||
3
и
||
x
||
3
≤ ||
x
||
1
,
т.е. нормы
|| · ||
1
и
|| · ||
3
эквивалентны.
Далее,
||
x
||
2
=
n
P
i
=1
|
x
i
|
2
1
/
2
≤
√
n
||
x
||
3
и
||
x
||
3
≤ ||
x
||
2
,
т.е.
||
x
||
2
и
||
x
||
3
эквивалентны. Следовательно, эквивалентны
|| · ||
1
и
|| · ||
2
(докажите!).
Теорема доказана.
Замечание 2.
Можно доказать, что любые две нормы в конечномерном
линейном пространстве эквивалентны.
Пример 7.
Нормы из примеров 5 и 6, рассматриваемые в
C
[
a, b
]
,
не эк-
вивалентны.
Для
этого
достаточно
рассмотреть
последовательность
ϕ
n
(
t
) =
t
n
(для определенности мы рассматриваем случай
a
= 0
, b
= 1
,
т.е. пространство
C
[0
,
1])
.
Поскольку
||
ϕ
n
||
2
=
1
√
n
+1
,
то
lim
n
→∞
||
ϕ
n
||
2
= 0
.
С
другой стороны,
||
ϕ
n
||
1
= max
0
≤
t
≤
1
|
t
n
|
= 1
.
Замечание.
Сходимость по норме пространства
C
[
a, b
]
(см.пример 5)
называют
равномерной сходимостью
.