ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3496
Скачиваний: 14
152
Глава 3. Линейная алгебра
симы;
5) определитель матрицы не изменится, если к одной из строк прибав-
ляется линейная комбинация других строк.
Отметим, что свойство 5) непосредственно следует из свойств 3) и 4).
Следствие 1.
Определитель матрицы равен нулю, если а) некоторая
строка нулевая, б) две строки матрицы пропорциональны, в) одна из строк
является линейной комбинацией остальных.
Следующие преобразования матрицы называются
элементарными
: а)
перестановка строк (столбцов);
б) умножение на ненулевое число строки
(столбца); в) прибавление к строке (столбцу) другой строки (другого столб-
ца), умноженной (умноженного) на число.
Определение 2.
Матрица
(
a
ji
)
∈
M atr
n
(
K
)
называется
транспониро-
ванной
к матрице
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
.
Транспонированная к
A
матрица
обозначается одним из символов
A
t
или
A
0
.
Если
A
t
=
A
,
то
A
называется
симметрической матрицей.
Т е о р е м а 2.
det
A
t
=
det
A ∀A ∈
M atr
n
(
K
)
.
Доказательство.
Пусть
A
= (
a
ij
)
.
Тогда
A
t
= (
a
ji
)
и поэтому
det
A
t
=
X
σ
∈
S
n
sign σa
σ
(1)1
a
σ
(2)2
. . . a
σ
(
n
)
n
.
(2)
Непосредственно, пользуясь замечанием 3 из
§
21, из равенства (2) получаем,
что
det
A
t
=
det
A
.
Теорема доказана.
Следствие.
Для определителя любой матрицы
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
имеет место формула
det
A
=
X
σ
∈
S
n
sign σa
σ
(1)1
a
σ
(2)2
. . . a
σ
(
n
)
n
.
(3)
Замечание 1.
Полученный только что результат позволяет рассматри-
вать функцию
det
:
M atr
n
(
K
)
→
K
как функцию от упорядоченного набора
столбцов матриц. Учитывая, что det – полилинейная антисимметрическая
форма, имеет место полный аналог теоремы 1 для столбцов матриц.
§
22. Определители
153
Формулы (1) и (3) для определителя матриц из
M atr
n
(
K
)
содержат
n
!
слагаемых, что вызывает существенные трудности при вычислении. Часто
полезно воспользоваться несколько другими формулами для определителя
матриц.
Определение 3.
Пусть
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
.
Рассмотрим элемент
a
ij
матрицы
A
, расположенный на пересечении
i
- oй строки и
j
- столбца.
Число
A
ij
= (
−
1)
i
+
j
M
ij
,
где
M
ij
- определитель матрицы из
M atr
n
−
1
(
K
)
,
полученной из матрицы
A
вычеркиванием
i
-ой строки и
j
- го столбца,
называется
алгебраическим дополнением
элемента
a
ij
.
Т е о р е м а 3.
Для любой матрицы
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
и любого
1
≤
k
≤
n
имеет место формула
det
A
=
n
X
j
=1
a
kj
A
kj
.
(4)
Доказательство.
Ясно, что выражение
n
P
j
=1
a
kj
A
kj
содержит
n
!
сла-
гаемых вида
α
(
σ
)
a
1
σ
(1)
a
2
σ
(2)
. . . a
nσ
(
n
)
, σ
∈
S
n
,
где
α
(
σ
)
принимает одно из
двух значений 1, -1. Поэтому для получения формулы (4) достаточно пока-
зать, что
α
(
σ
) =
sign σ.
Вначале допустим, что
k
= 1
, j
= 1
,
т.е. разберемся со знаками
(
n
−
1 ) !
слагаемых в выражении
a
11
A
11
=
a
11
P
ψ
∈
S
n
−
1
sign ψ a
2
ψ
(2)
. . . a
nψ
(
n
)
,
где
S
n
−
1
=
S
(2
, . . . , n
)
– группа перестановок множества
{
2
, . . . , n
}
. Посколь-
ку
a
11
sign ψ a
2
ψ
(2)
. . . a
nψ
(
n
)
=
sign σ a
1
σ
(1)
a
2
σ
(2)
. . . a
nσ
(
n
)
,
где перестановка
σ
∈
S
n
определяется соотношениями
σ
(1) = 1
, σ
(
j
) =
ψ
(
j
)
, j
= 2
, . . . , n
(и
поэтому
signσ
=
sign ψ
), то каждое слагаемое
α
(
σ
)
a
11
a
2
σ
(2)
. . . a
nσ
(
n
)
, σ
∈
S
n
,
участвующее в образовании выражения
a
11
A
11
,
имеет множитель
α
(
σ
)
, рав-
ный
signσ.
Рассмотрим теперь слагаемое
a
kj
A
kj
.
Переставляя последовательно со-
седние строки и столбцы, мы можем перевести элемент
a
kj
в левый верхний
угол матрицы, причем для этого понадобится
k
−
1 +
j
−
1 =
k
+
j
−
2
154
Глава 3. Линейная алгебра
перестановок. В результате получим матрицу
A
1
с определителем
det
A
1
=
(
−
1)
k
+
j
det
A
. При этом ясно, что алгебраическое дополнение к элементу
a
kj
,
занимающему верхний левый угол матрицы
A
1
,
будет совпадать с алгебра-
ическим дополнением этого элемента в матрице
A
, умноженным на число
(
−
1)
k
+
j
.
Таким образом, мы получили формулу (4). Теорема доказана.
Формулу (4) называют
формулой разложения определителя матрицы
по
k
- ой строке
.
Поскольку
det
A
t
=
det
A
, то непосредственно из теоремы получаем
Следствие.
det
A
=
n
X
j
=1
a
jk
A
jk
,
1
≤
k
≤
n.
(5)
Рассмотрим два примера вычисления определителей матриц.
Пример 1.
Матрица
(
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
называется
верхнетреугольной
,
если
a
ij
= 0
для всех
i > j
и –
нижнетреугольной
, если
a
ij
= 0
для всех
i < j.
Рассмотрим верхнетреугольную матрицу
A
=
a
11
a
12
. . .
a
1
n
0
a
22
. . .
a
2
n
0
0
. . .
a
3
n
...
...
...
...
0
0
. . . a
nn
и вычислим
det
A
, пользуясь формулой (5) при
k
= 1
(формулой разло-
жения определителя по первому столбцу). Имеет место равенство
det
A
=
=
a
11
det
A
n
−
1
,
где
A
n
−
1
∈
M atr
n
−
1
(
K
)
– матрица, полученная в резуль-
тате вычеркивания первой строки и первого столбца матрицы
A
.
Для вы-
числения
det
A
n
−
1
используем ту же формулу (5) при
k
= 1
. В результате
получим
det
A
n
−
1
=
a
22
det
A
n
−
2
,
где
A
n
−
2
– верхнетреугольная матрица из
M atr
n
−
2
(
K
)
, оставшаяся после вычеркивания первой строки и первого столб-
ца матрицы
A
n
−
1
.
Продолжая этот процесс вычисления далее, мы получим
равенство
det
A
=
a
11
a
22
. . . a
nn
,
(6)
§
22. Определители
155
т.е. определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению ее диаго-
нальных элементов.
Та же формула (6) имеет место и для нижнетреугольной матрицы.
Пример 2.
Вычислим определитель матрицы Вандермонда
B
=
1
1
. . .
1
x
1
x
2
. . .
x
n
x
2
1
x
2
2
. . .
x
2
n
...
...
...
...
x
n
−
1
1
x
n
−
1
2
. . . x
n
−
1
n
, x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈
K.
Вычитая первый столбец из последующих, получим матрицу
B
1
=
1
0
. . .
0
x
1
x
2
−
x
1
. . .
x
n
−
x
1
x
2
1
x
2
2
−
x
2
1
. . .
x
2
n
−
x
2
1
...
...
...
...
x
n
−
1
1
x
n
−
1
2
−
x
n
−
1
1
. . . x
n
−
1
n
−
x
n
−
1
1
,
имеющую тот же определитель, что и
B
(см.теорему 1). Произведя разложе-
ние определителя матрицы
B
1
по первой строке (т.е. используя формулу (4)
при
k
= 1
), получим
det
B
=
det
B
1
=
det
x
2
−
x
1
x
3
−
x
2
. . .
x
n
−
x
1
x
2
2
−
x
2
1
x
2
3
−
x
2
1
. . .
x
2
n
−
x
2
1
...
...
...
...
x
n
−
1
2
−
x
n
−
1
1
x
n
−
1
3
−
x
n
−
1
1
. . . x
n
−
1
n
−
x
n
−
1
1
=
det
B
2
.
Вычитая из каждой строки матрицы
B
2
∈
M atr
n
−
1
(
K
)
предыдущую
строку, умноженную на
x
1
, получим
det
B
2
=
x
2
−
x
x
3
−
x
1
. . .
x
n
−
x
1
x
2
(
x
2
−
x
1
)
x
3
(
x
3
−
x
1
)
. . .
x
n
(
x
n
−
x
1
)
. . .
. . .
. . .
. . .
x
n
−
1
2
(
x
2
−
x
1
)
x
n
−
1
3
(
x
3
−
x
1
)
. . . x
n
−
1
n
(
x
n
−
x
1
)
=
= (
x
2
−
x
1
(
x
3
−
x
1
)
· · ·
(
x
n
−
x
1
)
det
1
1
. . .
1
x
2
x
3
. . .
x
n
...
...
...
...
x
n
−
2
2
x
n
−
2
3
. . . x
n
−
2
n
=
156
Глава 3. Линейная алгебра
=
Y
1
≤
j<i
≤
n
(
x
i
−
x
j
)
.
Т е о р е м а 4.
Для любых двух матриц
A
,
B ∈
M atr
n
(
K
)
имеет место
равенство
det
AB
=
det
A
det
B
.
Доказательство.
Рассмотрим функцию
ϕ
:
M atr
n
(
K
)
→
K,
опреде-
ленную формулой
ϕ
(
X
) =
det
(
XB
)
, X
= (
x
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
.
Эту функцию рассмотрим так же, как функцию строк матриц (т.е. как функ-
цию, определенную на
(
K
n
)
n
)
.
Из определения произведения матрицы
B
= (
b
ij
)
на матрицу
X
= (
x
ij
)
получаем, что матрица
(
y
ij
) =
XB
име-
ет элементы вида
y
ij
=
n
X
k
=1
x
ik
b
kj
,
1
≤
i, j
≤
n.
Поэтому при перестановке строк матрицы
X
местами соответствующие стро-
ки матрицы
(
y
ij
)
также меняются местами и, следовательно, согласно свой-
ству определителей, функция
ϕ
антисимметрична.
Отметим также, что если
i
- ая строка матрицы
X
есть линейная ком-
бинация двух векторов из
K
n
, то
i
- ая строка матрицы
(
y
ij
)
будет такой же
линейной комбинацией тех же векторов. Следовательно, свойство линейности
функции det по каждому аргументу обеспечивает свойство линейности по
каждому аргументу и функции
ϕ.
Итак,
ϕ
– антисимметрическая полилинейная функция и поэтому, со-
гласно теореме 1 из
§
21, она имеет вид
ϕ
(
X
) =
X
σ
∈
S
n
sign σ x
1
σ
(1)
x
2
σ
(2)
. . . x
nσ
(
n
)
ϕ
(
E
) =
det Xϕ
(
E
)
,
где
E
– единичная матрицы из
M atr
n
(
K
)
(т.е. мы рассматриваем стандарт-
ный базис
e
1
= (1
,
0
, . . . ,
0)
, . . . , e
n
= (0
,
0
, . . . ,
1)
в
K
n
, составляющий строки
матрицы
E
).