ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3495
Скачиваний: 14
§
21. Полилинейные операторы и формы
147
формулой
f
σ
(
x
) =
f
σ
(
x
1
, . . . , x
n
) =
f
(
x
σ
(1)
, x
σ
(2)
, . . . , x
σ
(
n
)
)
.
Непосредственно из определения симметрического полилинейного опе-
ратора следует, что для любого такого оператора
f
и любой перестановки
σ
∈
S
n
имеет место равенство
f
σ
=
f.
Лемма 1.
Если
f
:
X
n
→
Y
- антисимметрический оператор, то
1)
f
(
x
1
, . . . , x
n
) = 0
,
если набор векторов
(
x
1
, . . . , x
n
)
∈
X
n
,
имеет
одинаковые члены;
2)
f
(
x
1
, . . . , x
n
) = 0
,
если векторы
x
1
, . . . , x
n
из
X
линейно зависимы;
3)
g
σ
(
x
) =
sign σ f
(
x
)
∀
σ
∈
S
n
, где
sign
:
S
n
→ {−
1
,
1
}
– гомоморфизм
групп (см. определение 2 из
§
6).
Доказательство.
Пусть
x
i
=
x
j
для
i
6
=
j.
Тогда
f
(
x
1
, . . . , x
i
, . . . , x
j
,
. . . , x
n
) =
−
f
(
x
1
, . . . , x
j
, . . . , x
i
, . . . , x
n
)
и поэтому
f
(
x
1
, . . . , x
n
) = 0
.
Допустим теперь, что векторы
x
1
, . . . , x
n
линейно зависимы. Тогда
α
1
x
1
+
· · ·
+
α
n
x
n
= 0
для некоторых чисел
α
1
, . . . , α
n
,
не равных нулю одно-
временно. Для определенности пусть
α
1
6
= 0
.
Тогда
x
1
=
λ
2
x
2
+
. . .
+
λ
n
x
n
,
где
λ
2
=
−
α
2
/α
1
, . . . , λ
n
=
−
α
n
/α
1
.
Поэтому
f
(
x
1
, . . . , x
n
) =
n
X
i
=2
λ
i
f
(
x
i
, x
2
, . . . , x
n
) = 0
,
так как в наборах
(
x
i
, x
2
, . . . , x
n
)
, i
= 2
, . . . , n
есть одинаковые члены.
Для доказательства равенства
f
σ
(
x
) =
sign σf
(
x
)
заметим, что если
σ
∈
S
n
является транспозицией, то
f
σ
(
x
) =
−
f
(
x
) =
sign σf
(
x
)
.
Поскольку
любая перестановка из
S
n
является суперпозицией транспозиций (см. тео-
рему 3,
§
6) и
σ
:
S
n
→ {−
1
,
1
}
– гомоморфизм групп, то имеет место
доказываемое равенство. Лемма доказана.
Т е о р е м а 1.
Пусть
X
– конечномерное линейное пространство с
базисом
e
1
, . . . , e
n
.
Тогда существует по крайней мере одна ненулевая анти-
симметрическая полилинейная форма
g
:
X
n
→
K
и каждая антисимметри-
148
Глава 3. Линейная алгебра
ческая полилинейная форма
f
:
X
n
→
K
имеет вид
f
(
x
1
, . . . , x
n
) =
X
σ
∈
S
n
sign σ x
1
σ
(2)
x
2
σ
(2)
. . . x
nσ
(
n
)
f
(
e
1
, . . . , e
n
)
,
(1)
где
x
i
1
, x
i
2
, . . . , x
in
- координаты вектора
x
i
относительно базиса
e
1
, . . . , e
n
(
x
i
=
x
i
1
e
1
+
. . .
+
x
in
e
n
)
.
Доказательство.
Пусть
f
:
X
n
→
K
– некоторая антисимметриче-
ская полилинейная форма. Тогда из ее линейности по каждому аргументу и
разложений
x
i
=
x
i
1
e
1
+
. . .
+
x
in
e
n
, i
= 1
, . . . , n
получаем, что
f
(
x
1
, . . . , x
n
) =
X
1
≤
i
1
,...,i
n
≤
n
x
1
i
1
x
2
i
2
. . . x
ni
n
f
(
e
i
1
, . . . , e
i
n
)
.
(2)
Из свойства 1) леммы 1 получаем, что
f
(
e
i
1
, . . . , e
i
n
) = 0
, если имеются оди-
наковые числа среди индексов
1
≤
i
1
, . . . , i
n
≤
n.
Поэтому в формуле (2)
суммирование осуществляется по индексам, для которых
σ
=
1
2
. . .
n
i
1
i
2
. . . i
n
– перестановка из
S
n
. Следовательно, формулу (2) можно переписать в виде
f
(
x
1
, . . . , x
n
) =
X
σ
∈
S
n
x
1
σ
(1)
x
2
σ
(2)
. . . x
nσ
(
n
)
f
(
e
σ
(1)
, . . . , e
σ
(
n
)
) =
=
X
σ
∈
S
n
x
1
σ
(1)
x
2
σ
(2)
. . . x
nσ
(
n
)
signσf
(
e
1
, . . . , e
n
)
,
если использовать свойство 3) из леммы 1.
Докажем, что отображение
g
:
X
n
→
K,
определенное формулой
g
(
x
1
, . . . , x
n
) =
X
σ
∈
S
n
sign σ x
1
σ
(1)
·
x
2
σ
(2)
. . . x
nσ
(
n
)
,
(3)
является антисимметрической полилинейной формой.
Пусть
α, β
∈
K
и
x
k
, y
k
∈
X.
Тогда
g
(
x
1
, . . . , x
k
−
1
, αx
k
+
β y
k
, x
k
+1
, . . . , x
n
) =
§
21. Полилинейные операторы и формы
149
=
X
σ
∈
S
n
sign σ x
1
σ
(1)
·
(
αx
kσ
(
k
)
+
βy
kσ
(
k
)
)
. . . x
nσ
(
n
)
=
=
αg
(
x
1
, . . . , x
k
−
1
, x
k
, x
k
+1
, . . . , x
n
) +
β g
(
x
n
, . . . , x
k
−
1
, y
k
, x
k
+1
, . . . , x
n
)
.
Пусть теперь
i
6
=
j,
1
≤
i < j
≤
n.
Тогда
g
(
x
1
, . . . , x
j
, . . . , x
i
. . . , x
n
) =
X
σ
∈
S
n
sign σ x
1
σ
(1)
. . . x
jσ
(
i
)
. . . x
iσ
(
j
)
. . . x
nσ
(
n
)
=
=
−
X
˜
σ
∈
S
n
sign
(˜
σ
)
x
1˜
σ
(1)
. . . x
i
˜
σ
(
i
)
. . . x
j
˜
σ
(
j
)
. . . x
n
˜
σ
(
n
)
,
где
˜
σ
– перестановка из
S
n
вида
σ
·
ψ, ψ
– транспозиция, переставляющая
числа
i
и
j
и
σ
∈
S
n
.
Если
σ
пробегает множество
S
n
, то
˜
σ
◦
ψ
также пробе-
гает все
S
n
(см. упражнение 15 из
§
6
), и поэтому правая часть полученного
равенства равна
−
g
(
x
1
, . . . , x
i
, . . . , x
j
. . . , x
n
)
,
т.е.
g
– антисимметрическая
полилинейная форма. Теорема доказана.
Замечание 1.
Непосредственно из определения полилинейных форм
следует, что сумма любых антисимметрических полилинейных форм
f
1
,
f
2
:
X
n
→
K
, определенная формулой
(
f
1
+
f
2
)(
x
) =
f
1
(
x
) +
f
2
(
x
)
,
и произведение числа
α
∈
K
на
f
1
, определенное формулой
(
αf
1
)(
x
) =
αf
1
(
x
)
,
также являются антисимметрическими полилинейными формами.
Отсюда получаем, что множество антисимметрических полилинейных
форм, определенных на
X
n
,
образует линейное пространство, которое обо-
значим символом
L
n
(
X, K
)
.
Замечание 2.
Непосредственно из теоремы 1 и ее доказательства сле-
дует, что любая форма
f
∈
L
n
(
X, K
)
представима в виде
f
=
αg,
где
α
=
f
(
e
1
, . . . , e
n
)
и
g
определена формулой (3). Это означает, что
L
n
(
X, K
)
–
одномерное линейное пространство
(
{
g
}
– одноэлементный базис в
L
n
(
X, K
)
).
150
Глава 3. Линейная алгебра
Замечание 3.
Функция
g
1
:
X
n
→
K
, определенная формулой
g
1
(
x
1
, . . . , x
n
) =
X
σ
∈
S
n
sign σ x
σ
(1)1
x
σ
(2)2
. . . x
σ
(
n
)
n
,
(4)
является полилинейной антисимметрической формой (доказательство анало-
гично доказательству для
g
), причем
g
1
(
e
1
, . . . , e
n
) = 1
.
Поэтому
g
1
=
g.
Упражнения к § 21
1. Покажите, что
g
(
e
1
, . . . , e
n
) = 1
.
2. Что можно сказать об антисимметрических полилинейных формах
f
:
X
m
→
K
в случае, если
m > dimX
?
3. Пусть
f
:
X
n
→
K
– антисимметрическая полилинейная форма и
A
:
X
→
X
– линейный оператор. Докажите, что функция
f
A
:
X
m
→
K,
определенная формулой
f
A
(
x
1
, . . . , x
N
) =
f
(
Ax
1
, . . . , Ax
n
)
,
также явля-
ется антисимметрической полилинейной формой.
§
22
.
Определители
Рассмотрим алгебру квадратных матриц
M atr
n
(
K
)
,
которая как линей-
ное пространство (согласно следствию 3 теоремы 4 из
§
19) изоморфна
линейному пространству
(
K
n
)
n
. Построенные в следствии 3 изоморфизмы
позволяют рассматривать каждую матрицу
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
либо как
упорядоченный набор
n
строк матрицы (каждая строка считается элементом
из
K
n
), либо как упорядоченный набор
n
столбцов матрицы (столбцы счита-
ются элементами из
K
n
)
.
Такой взгляд на линейное пространство
M atr
n
(
K
)
позволяет воспользоваться результатами предыдущего параграфа при изуче-
нии определителей матриц.
Определение 1.
Пусть
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
.
Число из
K
вида
X
σ
∈
S
n
signσ a
1
σ
(1)
a
2
σ
(2)
. . . a
nσ
(
n
)
(1)
§
22. Определители
151
называется
определителем матрицы
A
и обозначается символом
det
A
.
Таким образом, сумма в (1) состоит из
n
!
слагаемых, каждое из которых
является произведением элементов матрицы, взятых (по одному) из каждой
строки и каждого столбца матрицы и умноженных на знак соответствующей
перестановки
σ
(которая строится так:
σ
(
k
)
- номер столбца матрицы
A
для
элемента из
k
-ой строки
a
Kσ
(
k
)
матрицы, участвующего в этом произведе-
нии).
В частности, при
n
= 2
получаем формулу
det
A
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
(здесь
S
2
=
1 2
1 2
,
1 2
2 1
). Ясно, что
det
О
= 0
и
det E
= 1
.
Совсем
просто считается определитель диагональной матрицы
A
= (
a
ij
)
(
a
ij
= 0
для
i
6
=
j
):
det
A
=
a
11
a
22
. . . a
nn
.
Таким образом, в определении 1 задана функция
det
:
M atr
n
(
K
)
→
K.
Из
ее
сопоставления
с
антисимметрической
полилинейной
формой,
g
:
X
n
→
K
при
X
=
K
n
,
заданной формулой (3) из
§
21
, видно, что
функция
det
является антисимметрической полилинейной формой, если ее
рассматривать как функцию на линейном пространстве строк матриц (на
пространстве
(
K
n
)
n
)
.
Поэтому из леммы 1,
§
21
следует
Т е о р е м а 1.
Функция
det
:
M atr
n
(
K
)
→
K
обладает следующими
свойствами:
1)
det E
= 1;
2) при перестановке местами двух строк матрицы ее определитель ме-
няет свое значение на противоположное;
3)
если
k
- ая строка
a
k
= (
a
k
1
, . . . , a
kn
)
∈
K
n
матрицы
A
=
(
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
представлена в виде
a
k
=
αb
k
+
βc
k
,
где
α, β
∈
K, b
k
=
= (
b
k
1
, . . . , b
kn
)
, c
k
= (
c
k
1
, . . . , c
kn
)
∈
K
n
,
то ее определитель
det
A
равен числу
α det
B
+
β det C,
где матрицы
B
, C
принадлежат пространству
M atr
n
(
K
)
,
все их строки, кроме
k
- ой, те же, что и у
A
, а
k
- ые строки равны соот-
ветственно
b
k
и
c
k
;
4) определитель матрицы
A
равен нулю, если ее строки линейно зави-