ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3493
Скачиваний: 14
142
Глава 3. Линейная алгебра
4. Найдите
A
n
, n
≥
2
для оператора
A
:
C
[0
,
1]
→
C
[0
,
1]
вида
а)
(
Aϕ
)(
t
) =
ϕ
(
t
2
)
,
б)
(
Aϕ
)(
t
) =
ϕ
(
√
t
)
.
5. Найдите обратный к оператору
A
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
,
вида
(
Aϕ
)(
z
) =
=
ϕ
(
−
z
)
, ϕ
∈ P
n
(
C
)
.
6. Приведите пример двух ненулевых операторов
A, B
∈
L
(
K
n
)
,
где
k
≥
2
,
таких , что
AB
=
BA
= 0
.
Всегда ли из условия
AB
= 0
следует, что
BA
= 0 ?
7. Найдите произведение матриц
A
,
B
, если
a
)
A
= (2
,
0
,
−
2)
,
B
=
3
5
3
;
b
)
A
=
2
1
1 3
4
−
1 1 1
−
1
1
2 1
,
B
=
0
1
−
1
0
;
c
)
A
= (2
,
3
,
1
,
1)
,
B
=
1 0
1 0
−
1 1
1 1
.
8. Докажите, что всякий линейный оператор
A
∈
L
(
X, Y
)
можно пред-
ставить в виде произведения инъективного и сюръективного линейных
операторов.
9. Пусть
A
:
P
n
−
1
(
C
)
→ P
n
(
C
)
, B
:
P
n
(
C
)
→ P
n
−
1
(
C
)
- линейные операто-
ры, определенные формулами
(
Aϕ
)(
z
) =
zϕ
(
z
)
,
(
Bϕ
)(
z
) =
ϕ
(
z
)
−
ϕ
(0)
z
.
Проверьте, что
BA
– тождественный оператор в
P
n
−
1
(
C
)
,
а
AB
не яв-
ляется тождественным.
§
20. Линейные операторы и матрицы линейных операторов
143
10. Найдите матрицы операторов
A, B, AB BA
из упражнения 9 относи-
тельно стандартных базисов в
P
n
−
1
,
P
n
.
11. Пусть
A
:
P
(
K
)
→ P
(
K
)
- оператор вида
(
Aϕ
)(
z
) =
zϕ
(
z
)
и
D
:
P
(
K
)
→ P
(
K
)
- оператор дифференцирования. Найдите опера-
торы
A
D
,
D
A, A
D − D
A
и докажите равенство
D
m
A
−
A
D
m
=
m
D
m
−
1
(
m
= 1
,
2
, . . . ,
D
0
=
I
)
.
12. Докажите, что отношение подобия между линейными операторами из
L
(
X
)
есть отношение эквивалентности.
13. Пусть
A
и
B
- подобные операторы из
L
(
X
)
, тогда подобны также опе-
раторы
A
k
и
B
k
, k
≥
2
.
14. Пусть
A
и
B
- подобные операторы из
L
(
X
)
и
A
- обратимый оператор.
Тогда
B
обратим и операторы
A
−
1
и
B
−
1
подобны.
15. Докажите, что подобные операторы имеют одинаковый ранг и размер-
ности их ядер совпадают.
16. Пусть
H
- евклидово пространство и
A, B
∈
L
(
H
)
- операторы ранга 1,
имеющие вид
Ax
= (
x, a
)
b, Bx
= (
x, c
)
d,
(
b, a
)
6
= 0
.
Для каких векторов
a, b, c
и
d
из
H
они подобны?
17. Пусть
A, B
∈
L
(
H
)
и
A
- обратимый оператор. Докажите, что операто-
ры
AB
и
BA
подобны. Приведите пример необратимых операторов
A
и
B
, для которых операторы
AB
и
BA
не подобны (рассмотрите матрицы
1 0
0 0
и
0 0
1 0
).
18. Оператор
A
∈
L
(
P
2
(
R
))
в базисе
1
, t, t
2
задан матрицей
0 0 1
0 1 0
1 0 0
.
144
Глава 3. Линейная алгебра
Найдите матрицу этого оператора в базисе, составленном из многочленов
3
t
2
,
5
t
2
+ 3
t,
7
t
2
+ 5
t
+ 3
.
19. Пусть оператор
A
∈
L
(
R
3
)
в стандартном базисе пространства
R
3
имеет
матрицу
1 1 1
2 2 2
3 3 3
.
Какой будет матрица этого оператора в базисе
(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)?
20. Докажите, что отношение изоморфизма в множестве всех конечномер-
ных линейных пространств, рассматриваемых над одним и тем же полем,
является отношением эквивалентности.
21. Докажите утверждения задач 12 - 14 и 17 для матриц.
22. Пусть матрицы
A
и
B
подобны:
B
=
U
−
1
AU
.
Однозначно ли определена
матрица
U
?
23. Докажите, что если
A
и
B
- подобные матрицы, то подобны матрицы
A
k
и
B
k
, k
≥
1
.
24. Покажите, что матрица
A ∈
M atr
n
(
K
)
переходит в подобную, если с
ней выполняются следующие преобразования:
a)
i
- строка умножается на ненулевое число
α
∈
K
, а
i
- ый столбец
умножается на число
1
/α
;
b) к
i
- ой строке прибавляется
j
- ая строка (строки и столбцы
рассматриваются как элементы пространства
K
n
), умноженная на число
α
∈
K
, а затем из
j
- го столбца вычитается
i
- ый, умноженный на
α
;
c) переставляются
i
- ая и
j
- ая строки и
i
- ый и
j
- ый столбец.
В каждом случае найдите трансформирующую матрицу.
25. Покажите, что множество обратимых операторов (матриц) из
L
(
X
)
(из
M atr
n
(
K
)
) образует группу относительно операции умножения опера-
торов (матриц).
§
21. Полилинейные операторы и формы
145
26. Докажите, что матрицы
0 1 2
0 0 1
0 0 0
и
0 1 0
0 0 1
0 0 0
подобны.
27. Докажите, что каждая матрица
A
∈
M atr
n
(
K
)
подобна своей транспо-
нированной.
28. Найдите матрицу линейного оператора
A
:
K
n
→
K
n
, Ax
= (
x
σ
(1)
,
x
σ
(2)
, . . . , x
σ
(
n
)
)
, x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
K
n
, σ
∈
S
n
в стандартном базисе
пространства
K
n
.
29. Пусть
A
= (
a
ij
)
- матрица оператора
A
∈
L
(
X
)
относительно базиса
e
1
, . . . , e
n
из
X
и
σ
- некоторая перестановка из
S
n
.
Пусть
A
σ
- матри-
ца оператора
A
в базисе
e
σ
(1)
, . . . , e
σ
(
n
)
.
Укажите трансформирующую
матрицу
U
такую, что
A
σ
=
U
−
1
AU
.
30. Пусть
A, B
∈
L
(
X
)
.
Докажите, что
rangAB
≤
min
{
rangA, rangB
}
.
31. Докажите следствие 2.
32. Приведите пример двух матриц
A
,
B
∈
M atr
2
(
R
)
таких, что
k A
,
B k
>
k AB k
,
если
k A k
= max
i
j
=1
,
2
|
a
ij
|
.
33. Пусть
B
- коммутативная алгебра над полем
K
. Символом
M atr
n
(
B, K
)
обозначим множество матриц размера
n
×
n
с элементами из алгебры
B
. Если
A
= (
a
ij
)
,
B
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
B, K
)
,
то положим
A
+
B
= (
a
ij
+
b
ij
)
, α
A
= (
αa
ij
)
∀
α
∈
K.
Произведение
C
=
AB,
матриц
A
и опреде-
лим формулой
C
ij
=
n
P
k
=1
a
ik
b
kj
,
1
≤
i, j
≤
n.
Докажите, что
M atr
n
(
B, K
)
является алгеброй над полем
K
.
§
21
.
Полилинейные операторы и формы
В этом параграфе рассматривается специальный класс функций многих
переменных, обладающих свойством линейности по каждой переменной. По-
лученные здесь результаты будут существенно использоваться в следующем
параграфе при изложении теории определителей матриц.
146
Глава 3. Линейная алгебра
Определение 1.
Пусть
X
и
Y
- линейные пространства над полем
K
.
Отображение
f
:
X
n
=
X
×
. . . X
→
Y
называется
полилинейным опера-
тором
(при
n
= 2
-
билинейным оператором
), если оно является линейным
оператором по каждой переменной, т.е. для каждого
k
(1
≤
k
≤
n
)
и любых
фиксированных
n
−
1
векторов
x
0
1
, . . . , x
0
k
−
1
, x
0
k
+1
, . . . , x
0
n
из
X
отображение
f
k
:
X
→
Y,
определенное формулой
f
k
(
x
) =
f
(
x
0
1
, . . . , x
0
k
−
1
, x, x
0
k
+1
, . . . , x
0
n
)
x
∈
X,
является линейным оператором.
Если
Y
=
K
, то полилинейные операторы называются также
полили-
нейными формами (функциями, функционалами)
.
Пример 1.
Пусть
H
- вещественное линейное пространство со скаляр-
ным произведением
ϕ
:
H
×
H
→
R
.
Из свойств скалярного произведения
следует, что
ϕ
- билинейная форма.
Пример 2.
Если
A
∈
L
(
H
)
, то отображение
ϕ
A
(
x, y
) = (
Ax, y
)
является
билинейной формой.
Пример 3.
Пусть
f
:
K
2
×
K
2
→
K
- отображение, определенное фор-
мулой
f
(
x, y
) =
x
1
y
2
−
x
2
y
1
,
где
x
= (
x
1
, x
2
)
, y
= (
y
1
, y
2
)
∈
K
2
.
Легко
проверяется, что
f
- билинейная форма.
Определение 2.
Полилинейный оператор
f
:
X
n
→
Y
называется
1)
симметрическим
, если значения
f
не меняются, когда мы переста-
вим любые два аргумента (для первых двух аргументов это выглядит так:
f
(
x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
f
(
x
2
, x
1
, . . . , x
n
)
,
(
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
∈
X
n
)
и
2)
антисимметрическим
, если значения отображения
f
меняют знак,
когда меняем местами любые два его аргумента (например,
f
(
x
1
, x
2
,
x
3
, . . . , x
n
) =
−
f
(
x
2
, x
1
, x
3
, . . . , x
n
)
,
∀
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
X
n
)
.
Билинейная форма из примера 1 является симметрической, а билинейная
форма из примера 3 - антисимметрической.
Для каждого отображения
f
:
X
n
→
Y
и любой перестановки
σ
из
группы перестановок
S
n
множества
{
1
, . . . , n
}
определим отображение
f
σ