ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3487
Скачиваний: 14
§
26. Собственные значения и собственные векторы
187
Пусть утверждение теоремы имеет место для
k
собственных векторов
e
1
, . . . , e
k
(
Ae
j
=
λ
j
e
j
, j
= 1
, . . . , k
)
.
Присоединим к ним собственный вектор
e
k
+1
(
Ae
k
+1
=
λ
k
+1
e
k
+1
)
и допустим, что имеет место равенство
k
+1
X
j
=1
α
j
e
j
= 0
(5)
для некоторых
α
1
, . . . , α
k
+1
∈
K.
Применяя к обеим частям этого равенства
оператор
A
−
λ
k
+1
I,
получим следующие равенства
(
A
−
λ
k
+1
I
)
k
+1
X
j
=1
α
j
e
j
!
=
k
+1
X
j
=1
α
j
(
A
−
λ
k
+1
I
)
e
j
=
k
X
j
=1
α
j
(
λ
j
−
λ
k
+1
)
e
j
= 0
.
Поскольку
λ
k
+1
6
=
λ
j
,
∀
j
= 1
, . . . , k
и ввиду того, что векторы
e
1
, . . . , e
k
ли-
нейно независимы, по предположению индукции, получаем:
α
1
=
α
2
=
· · ·
=
=
α
k
= 0
.
Тогда из равенства (5) (учитывая условие
e
k
+1
6
= 0
) следует ра-
венство нулю числа
α
k
+1
.
Теорема доказана.
Непосредственно из теоремы 4 вытекает следующая теорема, в которой
получено достаточное условие для того, чтобы оператор имел простую струк-
туру.
Т е о р е м а 5.
Если характеристический многочлен оператора
A
∈
L
(
X
)
имеет
n
различных корней, где
n
=
dim X
(т.е. собственные
значения оператора
A
просты), то
A
- оператор простой структуры.
Замечание 7.
Все введенные в этом параграфе понятия: оператор про-
стой структуры, собственное значение, собственный вектор, нильпотентный
оператор, спектр оператора, характеристический многочлен относились к ли-
нейным операторам. Однако все эти понятия можно ввести также для матриц
из алгебры
M atr
n
(
K
)
.
Если
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
,
то рассмотрим оператор
A
∈
L
(
K
n
)
, кото-
рый задается матрицей
A
(см. формулу (2) из
§
18). Каждое из упомянутых
понятий вводится для матрицы
A
следующим образом.
Матрица
A
называется
матрицей простой структуры
, если оператор
A
является оператором простой структуры; число
λ
0
∈
K
называется
соб-
188
Глава 3. Линейная алгебра
ственным значением
матрицы
A
, если
λ
0
- собственное значение оператора
A
; матрица
A
называется
нильпотентной
, если
A
- нильпотентный опера-
тор. Cпектр матрицы
A
,
обозначаемый
σ
(
A
)
,
совпадает с
σ
(
A
)
,
характери-
стический многочлен
p
A
,
матрицы
A
есть многочлен вида
p
A
(
λ
) =
det
(
A −
λE
)
.
Несмотря на удобства так вводимых для матриц понятий (позволяющих
применять полученные для операторов результаты), желательно некоторое
внутреннее определение (без использования ассоциированного с данной мат-
рицей оператора). Так, матрица
A
является матрицей простой структуры,
если она подобна диагональной; собственные значения матрицы совпадают с
корнями ее характеристического многочлена
p
A
,
ненулевая матрица
A
ниль-
потентна, если существует такое натуральное число
m
, что
A
m
= 0
(см.
упражнение 14).
Определение 9.
Для заданного многочлена
p
(
z
) =
z
n
+
a
n
−
1
z
n
−
1
+
· · ·
+
a
1
z
+
a
0
из
P
(
K
)
матрица
A ∈
M atr
n
(
K
)
вида
A
=
0
1
. . .
0
0
·
·
. . .
·
·
0
0
. . .
1
0
−
a
0
−
a
1
. . .
−
a
n
−
2
−
a
n
−
1
называется
сопровождающей
. Её характеристический многочлен будет сов-
падать с многочленом
p
(докажите !).
Упражнения к § 26
1. Найдите спектр следующих линейных операторов
A
i
:
K
2
→
K
2
,
i
= 1
,
2
,
3
,
4
,
определенных равенствами
A
1
x
= (
x
1
+
x
2
, x
1
+
x
2
)
, A
2
x
= (
x
1
+
x
2
, x
2
)
, A
3
x
= (
x
2
,
0)
,
A
4
x
= (
x
1
+
x
2
, x
1
−
x
2
)
, x
= (
x
1
, x
2
)
∈
K
2
.
Рассмотрите случаи
K
=
R
и
K
=
C
. Какие из этих операторов явля-
ются операторами простой структуры, какие нильпотентны?
§
26. Собственные значения и собственные векторы
189
2. Найдите спектры следующих матриц из
M atr
n
(
C
) :
a
)
0 1
0 0
;
b
)
2 1 1
0 2 1
0 0 2
;
c
)
1 0
0
0
i
0
0 1
−
i
;
d
)
i
0 0
1 2 1
1 2 1
;
e
)
0 0 0
1 0 0
1 1 1
;
g
)
2 1 1
0
i
1
0 1
i
;
Какие из этих матриц нильпотентны и какие из них подобны диагональ-
ной матрице ?
3. Пусть
A
- обратимый оператор из
L
(
X
)
и
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
.
Дока-
жите, что
σ
(
A
−
1
) =
{
1
/λ
1
, . . . ,
1
/λ
m
}
и что собственные векторы опера-
торов
A
и
A
−
1
совпадают.
4. Какие из следующих линейных операторов
A
i
:
C
2
→
C
2
, i
= 1
,
2
,
3
,
4
имеют простые собственные значения:
A
1
x
= (
x
1
−
x
2
,
2
x
1
+ 4
x
2
)
, A
2
x
= (
x
1
,
2
x
1
+
x
2
)
,
A
3
x
= (3
x
1
,
2
x
2
)
,
A
4
x
= (cos
α x
1
+ sin
α x
2
−
sin
α x
1
+ cos
α x
2
)?
Найдите собственные подпространства этих операторов.
5. Докажите, что спектр каждой матрицы
A ∈
M atr
n
(
K
)
совпадает со
спектром транспонированной к ней матрицы
A
t
.
6. Найдите спектр и собственные векторы следующих линейных операто-
ров
A
i
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
, i
= 1
,
2
,
3
,
4
,
где
(
A
1
ϕ
)(
z
) =
zϕ
0
(
z
)
,
(
A
2
ϕ
)(
z
) =
ϕ
(
z
+
a
)
−
ϕ
(
z
)
, a
∈
C
,
(
A
3
ϕ
)(
z
) =
z
2
ϕ
00
(
z
)
,
(
A
4
ϕ
)(
z
) = 2
ϕ
00
(
z
)
−
ϕ
0
(
z
) +
ϕ
(
z
)
.
Какие из них нильпотентны и какие являются операторами простой
структуры?
190
Глава 3. Линейная алгебра
7. Найдите собственные значения и собственные векторы (функции) опе-
ратора дифференцирования
D
:
T
n,w
→
T
n,w
.
Будет ли он оператором
простой структуры?
8. Пусть
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
- спектр оператора
A
∈
L
(
X
)
и
α
∈
K.
Докажите, что спектр оператора
A
+
αI
есть множество вида
{
λ
1
+
α, . . . , λ
m
+
α
}
.
9. Докажите, что подобные операторы и матрицы имеют одинаковые спек-
тры и одинаковую алгебраическую кратность собственных значений.
10. Пусть
A
и
B
- подобные операторы из
L
(
X
)
, причем
A
=
U
−
1
BU,
где
U
- обратимый оператор из
L
(
X
)
.
Докажите, что если
x
0
- собственный
вектор оператора
A
, отвечающий собственному значению
λ
0
∈
σ
(
A
)
,
то
вектор
U x
0
- собственный вектор оператора
B
, отвечающий тому же
собственному значению
λ
0
∈
σ
(
A
)(=
σ
(
B
))
.
11. Пусть
A
и
B
- подобные операторы. Докажите, что если один из них
является оператором простой структуры, то таким является и второй
оператор.
12. Пусть
B
- обратимый оператор из
L
(
X
)
. Докажите, что для любого
оператора
A
∈
L
(
X
)
операторы
AB
и
BA
имеют одинаковый спектр.
Верно ли это утверждение для любых операторов
A, B
?
13. Пусть
A
∈
L
(
X
)
и
A ∈
M atr
n
(
K
)
- его матрица. Докажите, что опера-
тор
A
нильпотентен тогда и только тогда, когда нильпотентна матрица
A
.
Кроме того, они имеют одинаковые индексы нильпотентности.
14. Пусть
X
- вещественное пространство нечетной размерности. Докажите
непустоту его спектра
σ
(
A
) (
⊂
R
)
.
15. Найдите спектр и собственные векторы оператора
A
:
H
→
H,
опреде-
ленного на евклидовом пространстве формулой
Ax
= (
x, a
)
b,
где
§
26. Собственные значения и собственные векторы
191
a, b
∈
H
(указание: рассмотрите ортонормированный базис вида
e
1
, . . . , e
n
,
где
e
1
=
a/
||
a
||
).
16. Пусть
A
∈
L
(
X
)
и
λ
0
∈
σ
(
A
)
.
Чему равна размерность собственного
подпространства
E
(
λ
0
, A
)
,
если
rang
(
A
−
λ
0
I
) =
r
?
17. Какой вид имеет матрица линейного оператора, если первые
k
базисных
векторов являются его собственными векторами?
18. Докажите, что характеристический многочлен и след оператора не за-
висят от выбора матрицы оператора.
19. Пусть матрица
(
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
оператора
A
∈
L
(
X
)
верхнетреуголь-
ная (нижнетреугольная). Найдите его собственные значения.
20. Пусть
k
- натуральное число и
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
- спектр оператора
A
∈
L
(
X
)
.
Докажите, что числа
λ
k
1
, . . . , λ
k
m
входят в спектр оператора
A
k
.
21. Найдите спектр и собственные векторы оператора
A
∈
L
(
X
)
,
удовле-
творяющего условию
A
2
=
I.
22. Докажите, что размерность каждого собственного подпространства
E
(
λ
0
, A
)
,
отвечающего ненулевому собственному значению
λ
0
оператора
A
∈
L
(
X
)
, не превосходит его ранга.
23. Рассмотрим отображение
tr
:
L
(
X
)
→
K,
где
tr A
- след оператора
A
∈
L
(
X
)
.
Докажите, что
tr
- линейный функционал и
tr AB
=
tr BA
∀
A, B
∈
L
(
X
)
.
24. Рассмотрим линейное пространство
P
n
(
K
)
и некоторый многочлен
g
∈ P
n
(
K
)
степени
degr g
=
m < n.
Рассмотрим отображение
Q
:
P
n
(
K
)
→ P
n
(
K
)
,
определенное равенством
r
=
Q
(
f
)
- остаток от
деления многочлена
f
на
g
(
f
=
gq
+
r, degr r < m
)
.
Докажите, что