ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3484
Скачиваний: 14
192
Глава 3. Линейная алгебра
Q
- линейный оператор, удовлетворяющий условию
Q
2
=
Q.
Найдите
собственные значения и собственные векторы этого оператора.
25. Пусть
τ
:
M atr
n
(
K
)
→
M atr
n
(
K
)
- отображение транспонирования мат-
риц, т.е.
τ
(
A
) =
A
t
.
Найдите собственные значения и собственные век-
торы оператора
τ
.
26. Пусть
A
∈
L
(
E
)
,
где
E
- конечномерное линейное пространство. Рас-
смотрим отображение
Φ(
X
) =
AX,
Φ :
L
(
E
)
→
L
(
E
)
.
Докажите, что
оно является линейным оператором. Найдите его спектр.
27. Пусть
Y
- обратимый оператор из
L
(
E
)
.
Докажите, что отображение
Φ(
X
) =
Y
−
1
XY,
Φ :
L
(
E
)
→
L
(
E
)
является линейным оператором.
Найдите его собственные значения и собственные векторы.
28. Докажите, что для любого оператора
A
∈
L
(
E
)
не существует оператора
X
∈
L
(
E
)
такого, что имеет место равенство
AX
−
XA
=
I.
29. Докажите, что спектр матрицы
A
=
2
−
1
0
. . . . . . . . .
. . .
−
1
2
−
1
. . . . . . . . .
. . .
...
...
... ...
...
...
...
0
0
0
. . .
−
1
2
−
1
0
0
0
. . .
0
−
1
2
∈
M atr
n
(
C
)
имеет вид
σ
(
A
) =
{
2
−
2 cos
kπ
n
+1
;
k
= 1
, . . . , n
}
.
30. Докажите, что всякая верхнетреугольная (нижнетреугольная) матри-
ца с различными диагональными элементами подобна диагональной мат-
рице.
§
27. Проекторы и прямые суммы подпространств
193
§
27. Проекторы и прямые суммы подпространств
При построении структурной теории линейных операторов далее будет
использоваться метод, позволяющий свести изучение рассматриваемого опе-
ратора к изучению конечного набора операторов, действующих в линейных
пространствах меньшей размерности (подпространствах исходного простран-
ства) и имеющих несложную структуру.
Для изложения такого метода в этом и следующих двух параграфах вво-
дится ряд важных понятий и вспомогательных утверждений для линейных
операторов, действующих в конечномерном линейном пространстве
X
.
Определение 1.
Линейный оператор
P
∈
L
(
X
)
называется
проекто-
ром (или идемпотентом)
, если
P
2
=
P.
Матрица
P ∈
M atr
n
(
K
)
называется
идемпотентной
, если
P
2
=
P
.
Поскольку
(
I
−
P
)
2
=
I
−
2
P
+
P
2
=
I
−
2
P
+
P
=
I
−
P
для любого
проектора
P
, то
I
−
P
также является проектором. Он называется
дополни-
тельным проектором
.
Примером проектора является оператор проектирования
P
M
:
H
→
H
(
H
- евклидово пространство) на подпространство
M
из
H
, введенный в
примере 5 из
§
18.
С каждым проектором
P
∈
L
(
X
)
связано разложение пространства
X
в
прямую сумму
X
1
⊕
X
2
своих подпространств. А именно, положим
X
1
=
ImP
и
X
2
=
KerP.
В этом случае говорят, что
P
- проектор на
X
1
параллельно
X
2
или осуществляет разложение пространства
X
в прямую сумму
X
=
X
1
⊕
X
2
.
Лемма 1.
X
=
X
1
⊕
X
2
.
Доказательство.
Вначале
отметим
равенство
X
2
=
KerP
=
=
Im
(
I
−
P
)
(ибо
x
∈
KerP
⇐⇒
(
I
−
P
)
x
=
x
)
.
Поэтому любой век-
тор
x
∈
X
можно представить в виде
x
=
P x
+ (
I
−
P
)
x
=
x
1
+
x
2
,
где
x
1
=
P x
∈
X
1
и
x
2
= (
I
−
P
)
x
∈
X
2
.
Если
y
0
∈
X
1
T
X
2
,
то
y
0
=
P x
0
для некоторого
x
0
∈
X
и
P y
0
= 0
.
Тогда
0 =
P y
0
=
P
(
P x
0
) =
P x
0
=
y
0
. Лемма доказана.
194
Глава 3. Линейная алгебра
Если
X
1
⊕
X
2
- разложение в прямую сумму подпространств, то опреде-
лим отображение
P
:
X
→
X,
положив
P x
=
x
1
,
где вектор
x
1
∈
X
1
однозначно определяется из разложения
x
=
x
1
+
x
2
,
x
2
∈
X
2
.
Лемма 2.
P
- проектор из
L
(
X
)
, причем
ImP
=
X
1
и
Ker P
=
X
2
.
Доказательство.
Линейность оператора
P
очевидна. Если
P x
=
x
1
,
то
P
(
P x
) =
P x
1
=
x
1
=
P x,
так как вектор
x
1
допускает разложение вида
x
1
=
x
1
+0
.
По определению проектора
P
имеют место равенства
Im P
=
X
1
и
Ker P
=
X
2
.
Таким образом, в леммах 1 и 2 установлено соответствие между про-
екторами и разложениями в прямую сумму подпространств. Этот результат
позволяет привлечь теорию линейных операторов при изучении прямых сумм
подпространств.
Иногда удобно каждому разложению
X
=
X
1
⊕
X
2
в прямую сум-
му подпространств сопоставить
пару проекторов
P
1
, P
2
∈
L
(
X
)
, где
P
1
-
проектор на
X
1
параллельно
X
2
, а
P
2
=
I
−
P
1
- дополнительный проек-
тор (т.е.
P
2
- проектор на
X
2
параллельно
X
1
). Ясно, что
I
=
P
1
+
P
2
и
P
1
P
2
=
P
1
(
I
−
P
1
) =
P
1
−
P
2
1
=
P
1
−
P
1
= 0
.
Замечание 1.
Пусть
X
=
X
1
⊕ · · · ⊕
X
m
- разложение линейного про-
странства
X
в прямую сумму подпространств
X
1
, . . . , X
m
. Пусть
P
k
- проек-
тор на подпространство
X
k
параллельно подпространству
X
1
⊕ · · · ⊕
X
k
−
1
⊕
X
k
+1
⊕ · · · ⊕
X
m
(т.е.
P
k
x
=
x
k
,
если
x
=
x
1
+
x
2
+
· · ·
+
x
k
−
1
+
x
k
+
x
k
+1
+
· · ·
+
x
m
, x
j
∈
X
j
, j
= 1
, . . . , m
). Тогда проекторы
P
k
, k
= 1
, . . . , m
обладают
следующими свойствами:
1)
ImP
k
=
X
k
,
2)
P
k
P
j
=
P
j
P
k
= 0
для
j
6
=
k,
3)
P
1
+
P
2
+
· · ·
+
P
m
=
I.
Свойство 2) влечет свойство
2
0
)
X
j
⊂
Ker P
k
,
j
6
=
k.
§
28. Инвариантные подпространства. Разложение операторов
195
Итак, с разложением линейного пространства
X
в прямую сумму не-
скольких подпространств связан упорядоченный набор проекторов, облада-
ющих указанными свойствами. Верно и обратное. Если
P
1
, . . . , P
m
проекто-
ры из
L
(
X
)
со свойствами 1)-3), то
X
=
X
1
⊕ · · · ⊕
X
m
,
где
X
j
=
ImP
j
,
j
= 1
, . . . , m
(доказательство аналогично доказательству леммы 2).
Определение 2.
Система проекторов
P
1
, . . . , P
m
∈
L
(
X
)
,
удовлетворя-
ющая условиям 2) и 3) из замечания 1, называется
разложением единицы
.
§
28. Инвариантные подпространства. Разложение операторов
Пусть
A
:
X
→
X
- линейный оператор и
λ
0
- некоторое его собственное
значение. Если
X
0
=
E
(
λ
0
, A
)
- его собственное подпространство, отвечаю-
щее собственному значению
λ
0
, то для любого вектора
x
∈
X
0
имеет место
равенство
Ax
=
λ
0
x.
Отсюда, в частности, следует, что оператор
A
векторы
из
X
0
переводит в векторы из
X
0
. Если оператор
A
рассматривать только
на этом подпространстве, то он является оператором вида
λ
0
I
0
(
I
0
- тожде-
ственный оператор на
X
0
).
Это замечание приводит нас к следующему понятию.
Определение 1.
Подпространство
M
из линейного пространства
X
называется
инвариантным
для оператора
A
∈
L
(
X
)
, если
A
(
M
)
⊂
M,
т.е.
Ax
∈
M
∀
x
∈
M.
Таким
образом,
каждое
собственное
подпространство
оператора
A
∈
L
(
X
)
является для него инвариантным. Очевидно, что нулевое под-
пространство
{
0
}
и все пространство являются инвариантными для любого
линейного оператора. Эти подпространства называются
тривиальными
, а все
остальные инвариантные подпространства -
нетривиальными
.
Замечание 1.
Наличие одномерного инвариантного подпространства и
наличие у оператора
A
∈
L
(
X
)
собственного вектора - задачи равносильные.
Если
x
0
- собственный вектор оператора
A
и
Ax
0
=
λ
0
x
0
,
то
A
(
αx
0
) =
αλ
0
x
0
∀
α
∈
K,
т.е. одномерное подпространство
{
αx
0
:
α
∈
K
} ⊂
X
196
Глава 3. Линейная алгебра
инвариантно относительно
A
. Обратно, если
M
- одномерное инвариантное
подпространство для
A
и
y
o
- ненулевой вектор из
M
, то
Ay
0
∈
M,
и поэтому
существует такое число
µ
0
∈
K,
что
Ay
o
=
µ
0
y
0
.
Определение 2.
Пусть
M
- инвариантное подпространство оператора
A
∈
L
(
X
)
. Линейный оператор
A
M
:
M
→
M
называется
сужением
опе-
ратора
A
на подпространство
M
. Оператор
A
M
называется также
частью
оператора
A
.
Сужение
A
M
оператора
A
∈
L
(
X
)
на подпространство
M
рассматрива-
ется как самостоятельный оператор, как элемент пространства
L
(
M
)
(игно-
рируется тот факт, что оператор
A
определен вне
M
).
Т е о р е м а 1.
Пусть
X
- комплексное линейное пространство и
dim X
≥
2
.
Тогда каждый линейный оператор
A
∈
L
(
X
)
имеет нетривиаль-
ное инвариантное подпространство.
Доказательство следует из теоремы 3,
§
26 и замечания 1.
Наличие некоторого нетривиального подпространства
M
у линейного
оператора
A
∈
L
(
X
)
позволяет выбрать базис в
X
таким образом, чтобы
матрица
A
= (
a
ij
)
оператора
A
имела довольно-таки простой вид. С этой
целью базис в
X
выберем следующим образом. Рассмотрим произвольный
базис
e
1
, . . . , e
k
в
M
и дополним его векторами
e
k
+1
, . . . , e
n
до базиса в
X
.
Тогда ввиду инвариантности
M
векторы
Ae
j
, j
= 1
, . . . , k
имеют разложения
вида
Ae
j
=
n
X
i
=1
a
ij
e
i
=
k
X
i
=1
a
ij
e
i
, j
= 1
, . . . , k,
т.е. числа
a
ij
= 0
для всех
j
= 1
, . . . , k, i
=
k
+ 1
, . . . , n.
Это означает, что
имеет место
Лемма 1.
Если
M
- нетривиальное инвариантное подпространство опе-
ратора
A
∈
L
(
X
)
, то существует базис в
X
такой, что матрица